2017-2018学年福建省莆田市第二十四中学高二上学期第二次月考（12月）数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年福建省莆田市第二十四中学高二上学期第二次月考（12月）数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年福建省莆田市第二十四中学高二上学期第二次月考（12月）数学（文）试题 一、单选题 ‎1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点的抛物线方程是（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】解答：‎ ‎(1)抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点(−2,3)，‎ 设它的标准方程为y2=−2px(p>0)‎ ‎∴9=4p，解得p=，‎ ‎∴.‎ ‎(2)抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且经过点(−2,3)，‎ 设它的标准方程为x2=2py(p>0)‎ ‎∴4=6p，‎ 解得：p=.‎ ‎∴‎ ‎∴抛物线方程是或.‎ 故选：D.‎ ‎2．下列有关命题的叙述：‎ ‎①若为假命题，则为真命题；‎ ‎②“”是“”成立的充分不必要条件；‎ ‎③命题，则；‎ ‎④命题“若，则”的逆命题为真，其中正确的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】①若¬p为假命题，则p为真命题，∴p∨q为真命题，①正确；‎ ‎②由,解得x<−1或x>5,∴“x>5”是“”成立的充分不必要条件，②正确；‎ ‎③命题p:∃x∈R, ,则¬p:∀x∈R, ，③正确；‎ ‎④命题“若,则a0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；‎ 当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；‎ 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．‎ 由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x1＝2处取得极小值f(2)＝c－16.‎ 由题设条件知16＋c＝28得c＝12.‎ 此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，‎ f(2)＝－16＋c＝－4，‎ 因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.‎ 点睛: 函数的导数与极值点的关系：(1)定义域上的可导函数在处取得极值的充要条件是，并且在两侧异号，若左负右正为极小值点，若左正右负为极大值点；(2)函数在点处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数，结合图象，知它在处有极小值，但它在处的导数不存在；(3) 既不是函数在 处取得极值的充分条件也不是必要条件．最后一定要注意对极值点进行检验．‎ ‎18．已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题关于的方程无实根。‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）若命题p为真命题，根据椭圆的定义和方程建立不等式关系，即可求实数m的取值范围；‎ ‎（2）根据复合命题的关系得到p，q为一个真命题，一个假命题，然后求解即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为方程表示焦点在轴上的椭圆，‎ 所以，解得。‎ ‎（2）若为真命题，则，解得，‎ 因为“”为假命题，“”为真命题，等价于恰有一真一假，‎ 当真假时， ，则，‎ 当假真时， ，则，‎ 综上所述，实数的取值范围是。‎ 点睛：（1）焦点在轴上的椭圆，包含两层意思： ， ，其中容易被同学们所忽视；（2）命题“”：一假俱假，命题“”：一真俱真.‎ ‎19．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标方程为.‎ ‎（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线与曲线的两个交点为，求的值.‎ ‎【答案】(1) ， .(2)6.‎ ‎【解析】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标的互化，以及参数方程化普通方程，根据公式，易得P点的直角坐标，消去参数可得曲线C的普通方程为；（2）本问考查直线参数方程标准形式下t的几何意义，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得到关于t的一元二次方程，根据几何意义有，于是可以求出的值.‎ 试题解析：(1)由极值互化公式知：点的横坐标，点的纵坐标，‎ 所以，消去参数的曲线的普通方程为： .‎ ‎(2)点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程得：‎ ‎，设其两个根为， ，所以： ， ，‎ 由参数的几何意义知： .‎ ‎20．已知，动点满足成等差数列。‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）对于轴上的点，若满足，则称点为点对应的“比例点”，问：对任意一个确定的点，它总能对应几个“比例点”？‎ ‎【答案】(1) (2) 对任意一个确定的点，它总能对应2个“比例点”‎ ‎【解析】试题分析：(1)利用等差中项的定义可得利用双曲线定义写出轨迹方程即可；（2）考虑到在上，故可设出其坐标，设，写出｜｜、｜｜即，根据｜｜·｜｜＝计算得出关于的方程，判断此方程根的个数确定“比例点”.‎ 试题解析：（1）由已知得 ‎∴P点的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支，且，‎ ‎∴P点的轨迹方程为（标不扣分，不标扣1分） 5分 ‎（2）设 则 又 由得10分 ‎，∴方程恒有两个不等实根 ‎∴对任意一个确定的点P，它总能对应2个“比例点” 12分 ‎【考点】等差中项、向量数量积的计算、双曲线定义.‎ ‎21．已知抛物线，直线与E交于A、B两点，且，其中O为原点.‎ ‎（1）求抛物线E的方程；‎ ‎（2）点C坐标为，记直线CA、CB的斜率分别为，证明： 为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将直线与抛物线联立，消去y，得到关于x的方程，得到两根之和、两根之积，设出A、B的坐标，代入到中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到p，从而求出抛物线标准方程．（2）先利用点A，B，C的坐标求出直线CA、CB的斜率，再根据抛物线方程轮化参数y1，y2，得到k和x的关系式，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得到常数即可 试题解析：（Ⅰ）将代入 ，得．‎ 其中 设， ，则， ．‎ ‎．‎ 由已知，，．所以抛物线的方程．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，．‎ ‎，同理，‎ 所以．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导在x＞0上恒成立即可．‎ ‎（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数图象与x轴的交点的问题．‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的定义域为， ，依题意 在时恒成立，则在时恒成立，即 ‎，当时， 取最小值，所以的取值范围是.‎ ‎（2），由得在上有两个不同的实根，设， ，‎ ‎， 时， ， 时， ，‎ ‎， ， ，‎ ‎ ，得则.‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎