2018-2019学年内蒙古集宁一中(西校区)高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

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绝密★启用前 内蒙古集宁一中(西校区)2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，则为 A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】因为， ‎ 所以=或，故选A。‎ ‎2．“”是“”的（ ）‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出满足条件的A的值，再结合充分必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以或，‎ 故“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关充分条件必要条件的判断问题，涉及到的考点有充分条件必要条件的定义和判断方法，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.‎ ‎3．已知为非零实数，且，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ A选项不正确，当时，不等式就不成立；‎ B选项不正确，因为时，不等式就不成立；‎ C选项不正确，因为时，不等式就不成立；‎ D选项正确，因为是一个增函数，故当时一定有，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关不等式的性质的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点是对于不正确的结论只要举出一个反例即可，再者要熟练掌握不等式的性质.‎ ‎4．已知命题p：，，则为　　‎ A． ， B． ， C． ， D． ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 全称命题的否定是存在性命题，按规则写出其否定即可.‎ ‎【详解】‎ 命题的否定为：.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，全称命题 “”的否定为“”，而存在性命题“”的否定为“”.‎ ‎5．已知命题(R), 命题函数在区间上单调递增, 则下列命题中为真命题的是（ ）.‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的性质先判断命题p,q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出.‎ ‎【详解】‎ 命题，是真命题，命题函数在区间上单调递增，在区间上不单调，因此是假命题；‎ 则下列命题中位真命题的是，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关复合命题的真值表的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有不等式的性质以及二次函数的性质，首先判断出命题p,q的真值是解题的关键.‎ ‎6．椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：因为椭圆，a=1,b=,c=,则椭圆的离心率为，选A ‎7．设四个正数a, b, c, d成等差数列，则下列各式恒成立的是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的定义和性质可得，再由基本不等式可得，等量代换变形可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为四个正数成等差数列，‎ 所以，‎ 又由基本不等式可得：，即，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关基本不等式的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质，基本不等式成立的条件，从而可以选出正确的结果.‎ ‎8．公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ，则等于 （ ）‎ A． 18 B． 24 C． 60 D． 90‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比中项的定义可得，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出和，进而求出.‎ ‎【详解】‎ 因为是与的等比中项，‎ 所以，‎ 即，‎ 整理得，‎ 又因为，所以，故，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关等差数列求和问题，‎ 涉及到的知识点有等差数列的通项，等比中项的定义，等差数列的求和公式，正确应用相关公式是解题的关键.‎ ‎9．已知变量x，y满足约束条件则的最小值为 (　　)‎ A． B． C． 8 D． 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，之后结合目标函数的形式，得出其表示的意义，从而判断得出其最小值在哪个点处取得，得出最优解，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示：‎ 因为的几何意义是点与可行域上点间距离的平方，‎ 显然长度最小，则的最小值为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关线性规划的有关问题，在解题的过程中，需要明确约束条件对应的可行域，再者需要根据目标函数的形式判断其类型，从而得出其在哪个点处取得最值，代入求得结果.‎ ‎10．设椭圆的短轴长为，离心率为. 则椭圆C的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题中所给的条件，建立相应的等量关系式，列出对应的方程组，从而求得a,b的值，最后求得椭圆的方程.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，解得，‎ 所以椭圆的方程为，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关椭圆的方程的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有椭圆的短轴长为，椭圆的离心率，以及椭圆中三者之间的关系，认真审题是正确解题的关键.‎ ‎11．在中，，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎12．已知分别是椭圆的左、右焦点， 是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且,则这个椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，所以，因为，所以。在中，因为，所以，由椭圆定义可得，所以。‎ 故选A。 ‎ ‎ 【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系。由是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，得为直角三角形。由求出两锐角，根据斜边求两直角边，再根据椭圆定义得关于的关系式，可求离心率。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b值为___________‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆焦距为，由已知可得，结合隐含条件求得b，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设焦距为，则有，解得，即，‎ 故答案是4.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关椭圆方程中对应参数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有等差数列的概念，椭圆的相关性质，以及三个参数之间的关系，熟练掌握基础知识是解题的关键.‎ ‎14．已知实数，满足约束条件则的最大值为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 解：绘制由不等式组表示的平面区域，结合目标函数可知目标函数在点 处取得最大值 .‎ ‎15．设x，y都是正数，且，则 的最小值______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用基本不等式求出它的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为都是正数，且，‎ 则，‎ 当且仅当且时取等号，‎ 故答案是.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关量的最小值的求解问题，涉及到的知识点有基本不等式的应用，以及两个正数的分式形式和为定值，其整式形式和的最小值的求解方法，在乘的过程中，注意乘1是保持不变的.‎ ‎16．数列的前项和为，则它的通项公式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由数列的前项和为，当时， ，当时， ，当时上式不成立， ，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝2，cos B＝ .‎ ‎(1)若b＝4，求sin A的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b、c的值．‎ ‎【答案】（1）sin A＝ ,;（2）; ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由同角间的三角函数关系可得sinB的值；（2）由正弦定理代入数据可求得sinA的值；（3）由三角形面积公式可求得值，代入三角形余弦定理可得值 试题解析：（1）∵cosB＝＞0，且0＜B＜π ∴sinB＝＝‎ ‎（2）由正弦定理得sinA＝＝＝．‎ ‎（3）∵S△ABC＝4，即acsinB＝4 ∴×2×c×＝4，∴c＝5‎ 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB ∴b＝＝．‎ 考点：1．同角间三角函数关系；2．正余弦定理解三角形；3．三角形面积公式 ‎18．在中，内角所对的边分别为.已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）因为，利用同角的基本关系可得，再利用三角形内角之间的关系，可得即可求出的值； （2）由（1）可知，又由正弦定理知：，故，再对对角A运用余弦定理：，解得，再根据三角形的面积公式即可求出结果．‎ 试题解析：（1）∵，∴，‎ 又．‎ 整理得：．‎ ‎（2）由（1）可知．‎ 又由正弦定理知：，故． ①‎ 对角A运用余弦定理：．②‎ 解①②得：或（舍去）．‎ ‎∴△ABC的面积为：．‎ 考点：1．同角的基本关系；2．正弦定理；3．余弦定理．‎ ‎19．已知数列是等差数列，且，.‎ ‎⑴ 求数列的通项公式；‎ ‎⑵ 令 ，求数列的前项和的公式.‎ ‎【答案】（1）2n（2）‎ ‎【解析】‎ 解:（1）， ‎ ‎（2）由已知：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①-②得 ‎=‎ ‎20．设椭圆C：过点，离心率为 ． ‎ ‎（1）求椭圆C的方程； ‎ ‎（2）设斜率为1的直线过椭圆C的左焦点且与椭圆C相交于A，B两点，求AB的中点M的坐标．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据题中所给的椭圆方程，可以判断得出其为焦点在x轴上的椭圆，根据其过的点的坐标，从而判断出b的值，结合离心率，列出相应的等量关系式，借助于椭圆中的关系，求得结果；‎ ‎（2）首先根据题中的条件，写出直线的方程，之后与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由椭圆C：可知其焦点在x轴上，‎ 因为椭圆过点，所以，‎ 因为其离心率，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）由题意可知：直线方程为，‎ 由，整理得，显然，‎ 设，，‎ 由韦达定理可得，，‎ 所以AB中点M的坐标是.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的短轴端点，椭圆的离心率，椭圆中三者之间的关系，直线方程的点斜式，直线与椭圆的综合题，韦达定理以及中点坐标公式，认真求解时正确解题的关键.‎ ‎21．已知两点，直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为.‎ ‎(1)求点M的轨迹方程；‎ ‎(2)记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P的斜率不为零且互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R（异于点P），求直线QR的斜率.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点，通过，即可求出曲线C的方程；‎ ‎（2）把代入曲线C的方程，可得，直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，由于是方程的一个解，所以方程的另一个解为，同理，可得直线QR的斜率.‎ ‎【详解】‎ 设点，因为，所以，‎ 整理得点所在的曲线C的方程为：.‎ ‎（2）由题意可得点，‎ 直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为，‎ 与椭圆的方程联立消去y，得，‎ 由于是方程的一个解，所以方程的另一个解为，‎ 同理，‎ 故直线RQ的斜率为 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，在解题的过程中，涉及到的知识点有动点的轨迹方程的求解问题，直线与椭圆相交对应的解题的步骤与解题的思路，注意联立方程组是少不了的，注意对不满足条件的点的去除问题.‎ ‎22．求证：（其中）；‎ ‎(2)已知（0，+∞），且，求证：‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用关系式的恒等变换求出结果；‎ ‎（2）直接利用关系式的恒等变换求出结果.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）；‎ ‎（2），且，‎ 故 ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关不等式的证明问题，在解题的过程中，需要抓住的是基本不等式成立的条件，第一小题需要对式子进行变形，凑出基本不等式的条件，第二问需要结合题中的条件，对1进行变形，得到结果.‎