2018-2019学年福建省厦门外国语学校高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年福建省厦门外国语学校高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 福建省厦门外国语学校2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．“大自然是懂数学的”，自然界中大量存在如下数列：1，1，2，3， ，8， ，21， ，则其中 的值是（    ）‎ A． 11                                            B． 13                                            C． 15                                            D． 17‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，如下数列：，得到数列满足，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，如下数列：，可得数列满足，‎ 所以，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的概念的应用，其中解答中根据给定数列的前几项，找出数列的排列规律上解答关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。‎ ‎2．若 ，则（   ）‎ A．                                B．                              C．               D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质，利用作差比较，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，因为，‎ 对于A中，，所以，所以不正确；‎ 对于B中，，所以，所以不正确；‎ 对于C中，，则，所以是正确的；‎ 对于D中，，则，所以不正确，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用不等式的性质比较大小问题，其中解答中根据不等式的性质，合理利用作差比较求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。‎ ‎3．设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（   ）‎ A． 0                                            B． 4                                          C． 8                                            D． 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，画出约束条件所表示的平面区域，结合图象可知，当直线过点A时，在轴上的截距最大，此时取得最大值，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，画出约束条件所表示的平面区域，‎ 如图所示，‎ 又由目标函数，则，‎ 结合图象可知，当直线过点A时，在轴上的截距最大，此时取得最大值，‎ 又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用简单的线性规划求最值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想的应用。‎ ‎4．不等式 的解集是（ ）‎ A．                         B．                         C．                   D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意 ，得，利用一元二次不等式的解法，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意 ，得，解得或，‎ 即不等式的解集为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的一元二次不等式的求解问题，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎5．已知关于x的不等式的解集是 ，则的值是 　　 ‎ A．                                         B． 11                                        C．                                         D． 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，关于的不等式的解集是，则是方程的根，根据韦达定理，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，关于的不等式的解集是，‎ 则是方程的根，所以，则，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，其中解答中一元二次不等式的解集的端点与一元二次方程的根之间的关系是解此类的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。‎ ‎6．在 中，， ，且 ，则 （    ）‎ A．                                        B．                                        C．                                        D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，由正弦定理得，又，所以，再利用余弦定理，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 在中，因为，‎ 由正弦定理知，又，所以，‎ 又由余弦定理知：，‎ 解得，即，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在 中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.‎ ‎7．在等差数列 中， 表示 的前 项和，若 ，则 的值为（    ）‎ A．                                            B．                                            C．                                            D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，利用等差数列的性质，得，在利用等差数列的前n项和公式，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，数列为等差数列，所以，‎ ‎∴由等差数列的求和公式可得 ，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质，及前项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎8．已知 ， ， ， 成等比数列， ， ， ， ， 成等差数列，则 的值是 A．                                      B．                                      C． 2                                  D． 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质，可得，由等差数列的性质，可得，代入即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知成等比数列，成等差数列，‎ 由等比数列的性质，可得，由等差数列的性质，可得，‎ 所以，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列和等比数列的性质，合理应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。‎ ‎9．已知：，，，则M，N大小关系为（ ）‎ A．                                      B．                              C．                                 D． 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用作差比较法，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得，‎ 因为，所以，即，所以，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中利用作差比较法求解是解答关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎10．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ， ， 成等比数列， ，则 的值为（   ）‎ A．                                       B．                                       C．                                       D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知 成等比数列化简得，再由余弦定理，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意知 成等比数列得 ，代入，‎ 所以，‎ 由余弦定理得，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的性质，及余弦定理的应用问题，其中解答中根据等比数列的性质求解，再利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎11．在中，若 ， 则的形状一定是（  ）‎ A． 等边三角形                 B． 不含角的等腰三角形                 C． 钝角三角形                 D． 直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，利用三角恒等变换公式，化简得，即，求得，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，利用三角恒等变换公式，化简得，‎ 即，‎ 即，‎ 即，所以，所以三角形为直角三角形，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形形状的判定问题，其中解答中合理利用三角形的内角和定理和三角恒等变换的公式化简，求得是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎12．实数 满足 ，若 的最小值为1，则正实数 （   ）‎ A． 2 B． 1 C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由 ,舍; 由作可行域,则直线过点A 取最小值1,满足题意,所以,选C 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．不等式的解集是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由于，故可知答案为（-2，-1/3）‎ 考点：分式不等式 点评：主要是考查了不等式的求解，移项通分合并是解不等式的常用的变形方法，属于基础题。‎ ‎14．在数列 是公差不为0的等差数列中，成等比，则这个等比数列的公比为__.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由成等比数列，求得，进而求得等比数列的公比。‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 因为成等比数列，则，‎ 解得，则等比数的公比。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，其中解答中数列等差数列和等比数列的通项公式，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎15．在数列 中， ，则数列 ________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，数列中，可得，再利用等差数列的求和公式，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，数列中，满足，‎ 则 ‎ ‎。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用等差数列的递推公式求解数列的通项公式，其中解答中合理利用数列的递推公式，利用等差数列的求和公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎16．如图，在四边形ABCD中，∠ABD=45°，∠ADB=30°，BC=1，DC=2，cos∠BCD= ，三角形ABD的面积为________． ‎ ‎【答案】 ﹣1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，在中，由余弦定理，可得中，利用正弦定理，可得，利用三角形的面积公式，可得结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意，在中，由余弦定理，可得，‎ 在中，利用正弦定理，可得，‎ ‎∴三角形的面积为。‎ ‎【点睛】‎ 在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在等差数列 中， . ‎ ‎（1）求数列 的通项公式； ‎ ‎（2）设 ，求数列 的前 项和 .‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出公差，利用等差数列的通项公式可得通项公式；‎ ‎（2）利用分组求和可得数列的前 项和。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：设 公差为 ，由 ‎ ‎ ， ‎ ‎（2）解： ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA+（2c+a）cosB=0‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=4，△ABC的面积为 ， 求a+c的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理化简，通过两角和与差的三角函数求出，即可得到结果．‎ ‎（2）利用三角形的面积求出，通过由余弦定理求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），‎ 所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB 所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB ‎∴cosB=﹣‎ ‎∴B=‎ ‎（2）由=得ac=4‎ 由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2﹣ac=16‎ ‎∴a+c=2‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用正、余弦定理及三角形的面积公式解三角形问题，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎19．已知数列中，前项和和满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1).(2).‎ ‎【解析】分析：（1）利用与的关系式即可求出答案；‎ ‎（2）利用裂项相消法求和即可.‎ 详解：（1），..................①‎ 当时，， ‎ 当时，.................②‎ ‎②-①得， ‎ ‎ 又 也满足， ‎ ‎ 所以数列的通项公式. ‎ ‎(2)由（1）知，所以， ‎ ‎，‎ 所以数列的前项和 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 点睛：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．‎ ‎20．函数 ‎(1)求的解 ‎（2）的解集为全体实数，求的范围.‎ ‎【答案】（1）当时，不等式的解集为或；当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为或. （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，即，即，分类讨论即可求解不等式的解集；‎ ‎（2）由不等式的解集为全体实数，即，只需，即可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为函数，‎ 由，即，即，‎ 当时，此时不等式的解集为或；‎ 当时，不等式等价与，此时解集为；‎ 当当时，此时不等式的解集为或.‎ ‎（2）由不等式的解集为全体实数，即，‎ 则满足，解得。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含参数的一元二次不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中熟练掌握一元二次不等式的求解方法，合理分类讨论，同时注意一元二次不等式与一元二次函数的关系是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力。‎ ‎21．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ‎ ‎（1）求数列 的通项公式 ； ‎ ‎（2）令 ，求数列 的前 项和 ；‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，利用，求得和，得到数列构成首项为1，公比为2的等比数列，即可求解数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）求得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，，则，‎ 两式相减，即，‎ 又当时，，解得，‎ 所以数列构成首项为1，公比为2的等比数列，所以。‎ ‎（2）解： ‎ ‎ , ①‎ ‎ , ②‎ 由①－②得：‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎22．为了培养学生的数学建模和应用能力，某校组织了一次实地测量活动，如图，假设待测量的树木 的高度 ，垂直放置的标杆 的高度 ，仰角 三点共线），试根据上述测量方案，回答如下问题：‎ ‎（1）若测得 ，试求 的值； ‎ ‎（2）经过分析若干测得的数据后，大家一致认为适当调整标杆到树木的距离 （单位：）使 与 之差较大时，可以提高测量的精确度，.若树木的实际高为 ，试问 为多少时， 最大？‎ ‎【答案】（1）6（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意解三角形即可得出的代数式再利用即可求出。‎ ‎（2）先分别表示出，再根据两角和公式求得的代数式整理成基本不等式的形式然后根据基本不等式求出该式的最大值进而可得有最大值求出即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：，同理：．‎ ‎ ，故得 ，‎ 解得： ‎ ‎（2）解：由题设知 ，得 ，‎ ‎ ‎ 而 ，（当且仅当 时 取等号）‎ 故当 时， 最大．‎ 因为 ，则 ，‎ 所以当 时， 最大．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数恒等变换的实际应用问题，以及两角差的正切公式和基本不等式的应用，其中解答中熟记三角函数的恒等变换的公式，合理使用基本不等式求最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力。‎