数学文卷·2017届广西桂林市、百色市、崇左市高三上学期第一次联合调研考试（2017

数学文卷·2017届广西桂林市、百色市、崇左市高三上学期第一次联合调研考试（2017

‎ ‎ 数学试卷（文科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数的虚部为 （ ）‎ A． -3 B．-1 C．1 D．2‎ ‎3. 在如图所示一组数据的茎叶图中,有一个数字被污染后而模糊不清,但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61,则被污染的数字为( )‎ A． 1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4.若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的3倍，则等于（ ）‎ A． B．1 C． D． 2‎ ‎5.已知曲线在点处切线的斜率为1，则实数的值为（ ）‎ A． B．-1 C. D．2‎ ‎6.已知，且，则等于 （ ）‎ A． B． C. 3 D．-3‎ ‎7.如图是一个程序框图，则输出的的值是 （ ）‎ A． 18 B． 20 C. 87 D．90‎ ‎8.已知函数（，且），在集合中任取一个数为，则的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）‎ A． 6 B． 9 C. 12 D．18‎ ‎10.已知是函数图象的一条对称轴，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数在上的最小值为 （ ）‎ A． -1 B．-2 C. D．‎ ‎11.已知双曲线的右焦点分别为，圆，直线与双曲线的一条渐近线垂直且在轴上的截距为.若圆 被直线所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. 2 D．3‎ ‎12.已知函数，函数，对任意的，都有，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.已知向量，若，则 ．‎ ‎14.如果实数满足条件，则的最小值为 ．‎ ‎15.设三个内角所对的边分别为，若的面积为4，则 ．‎ ‎16.已知长方体内接于球，底面是边长为2的正方形，为的中点，平面，则球的表面积为 ．‎ 三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知等比数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 喜好体育运动 不喜好体育运动 合计 男生 ‎5‎ 女生 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6.‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由.‎ ‎（参考公式：.()）‎ 独立性检验临界值表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，平面为的中点，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知点在椭圆上，且点到两焦点距离之和为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底作等腰三角形，顶点为 ‎，求的面积.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知，其中是自然常数，.‎ ‎（1）当时，求的极值，并证明恒成立；‎ ‎（2）是否存在实数，使的最小值为3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（1）若为直线与轴的交点，是圆上一动点，求的最大值；‎ ‎（2）若直线被圆截得的弦长为，求的值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CABDB 6-10: ACBBA 11、12：CD 二、填空题 ‎13. 9 14. 4 15. 6 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）当时，，…………………………………2分 当时，，满足，……………………………………4分 ‎∴数列的通项公式为……………………………………5分 ‎∴…………………………………12分 ‎18.解：（1）设喜好体育运动的人数为人，由已知得解得 ，…………………2分 列联表补充如下：‎ 喜好体育运动 不喜好体育运动 合计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎……………………………………………………………………7分 ‎（2）∵……………………………10分 ‎∴可以在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关…………………………12分 ‎19.（1）证明：‎ ‎ ‎ 在中，，‎ ‎∴，取中点，连，则 ‎∵，∴…………………………………………1分 ‎∵平面平面，‎ ‎∴，又，即，………………………2分 又∵，∴平面，又∵面，‎ ‎∴，………………………………………3分 是的中位线，∴，∴……………………4分 又∵，∴平面.∵平面，‎ ‎∴……………………………5分 ‎（2）‎ 取中点，连.则……………………………………6分 ‎∵平面平面，‎ ‎∴平面………………………………………7分 在中，，‎ ‎∴，而，∴………………………………8分 ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面…………………………………………………9分 ‎∵，∴平面平面……………………………………10分 ‎∵平面，∴平面………………………………………12分 ‎20.解：（1） ∵，∴.‎ 又点在椭圆上，∴，解得，……………………………4分 ‎∴椭圆的方程为…………………………………………5分 ‎（2）设直线的方程为，由得.①‎ 设的坐标分别为的中点为，则.‎ 因为是等腰的底边，所以.所以的斜率，解得…………………………………………10分 此时方程①为，解得，所以，所以.此时，点到直线的距离，所以的面积…………………………………12分 ‎21.（1）证明：∵……………………………………1分 ‎∴当时，，此时单调递减；‎ 当时，，此时单调递增………………………………………2分 ‎∴的极小值为……………………………………………3分 即在上的最小值为1，‎ 令，…………………………………………4分 当时，，在上单调递增，…………………………………5分 ‎∴.‎ ‎∴恒成立…………………………………………………6分 ‎（2）解：假设存在实数，使有最小值3，‎ ‎……………………………………………………7分 ‎①当时，在上单调递减，（舍去），‎ ‎∴时，不存在使的最小值为3……………………………………………8分 ‎②当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，满足条件……………………………10分 ‎③当时，在上单调递减，（舍去），‎ ‎∴时，不存在使的最小值为3.‎ 综上，存在实数，使得当时，有最小值3……………………………12分 ‎22.解：（1）由得圆可化为，……………………1分 将直线的参数方程化为直角坐标方程，得，…………………………2分 令，得，即点的坐标为………………………………3分 又圆的圆心坐标为，半径，则，………………………………4分 所以的最大值为…………………………………5分 ‎（2）因为圆，直线，………………………………6分 所以圆心到直线的距离，………………………………7分 所以，即，………………………………………9分 解得……………………………………10分 ‎23.解：（1）由得，‎ 则，………………………………………2分 即，…………………………………………………3分 解得，∴不等式的解集为…………………………………5分 ‎（2）∵，……………………7分 又对任意恒成立，即对任意恒成立，………………8分 ‎∴，解得或，‎ ‎∴实数的取值范围是………………………………10分