高三数学同步辅导教材(第5讲)

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高三数学总复习教程（第 5 讲） 一、本讲内容 简易逻辑 本讲进度， 命题，四种命题的关系，充要条件 二、学习指导 逻辑是正确解题的基础，逻辑错误会导致全功尽弃 是否命题的关键是看它能否判定真假，是否复合命题的标准在于该命题是否含有逻辑联结词：或、 且、非，如果……，那么…… 原命题：若 p，则 q：逆命题：若 q，则 p： 否命题：若非 p，则非 q，逆否命题：若非 q，则非 p 原命题与逆否命题互为逆否，同真假 逆命题与否命题互为逆否，同真假. 反证法就是从原命题的否定出发，推出矛盾（这个矛盾，指的是与已知条件矛盾，或与公理，定理 矛盾，或与假设矛盾）从而说明原命题的否定是错误的，这样就确立了原命题的正确性。 要分清充分条件和必要条件，在证明充要条件时要分清充分性和必要性，若 p q，则 p 是 q 的充 分条件，q 是 p 的必要条件，即“推出人者为充分，被人推出者为必要” 三、典型例题讲评 例 1．在△ABC 中，P：∠A＞∠B， q1=sinA＞sinB，q2：cosA＜cosB，q3：cotA＜cotB，q4：sinA ＞cosB 其中 p 是 iq ：（ i=1，2，3，4）的什么条件？ P 是 q1 的充要条件，原因如下：∠A＞∠B  a＞b  2RsinA＞2RsinB， sinA＞sinB； P 是 q2 的充要条件，原因如下：函数 y=cosx 在[0，π ]上单调递减，而 A，B∈[0，π ]，∴∠A＞∠ B cosA＜cosB； P 是 q3 的充要条件，理由类似② P 既不是 q4 的充分条件，也不是 q4 的必要条件，理由如下： 若△ABC，A=900，B=600，则 sinA＞cosB，若△ABC 中，A=1350，B=300，则 sinA＜cosB 例 2．P 为△ABC 内（含边界）任一点，“p 到三边距离之和为定值”是“△ABC 是正三角形”的什 么条件？证明你的结论。 充要条件. 充分性，分别取 p 为 A、B、C，则它到三边距离之和分别为 ha，hb，hc，由题设 ha=hb=hc，由面积 公式，a=b=c，△ABC 为正三角形 必要性，若 p 在顶点处（不妨设 p 在 A 点），则 p 到三边距离之和即 ha（当然与 ha，hc 相等，为定 值）；若 p 点在边上（不妨设在 BC 上），则 P 到三边距离之和即 p 到 b，c 两边距离之和 db+dc，∵ S△ABC=S △ABP+S△ACP.故有 aha=a(db+db+dc)，∴db+dc 当定值 ha；若 P 点在三角形内部则 S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP， 从而有 aha=a(da+db+dc)，即 da+db+dc=ha. 例 3．已知函数 f(x)在（－∞，+∞）上单调递增，a、b∈R，对命题“若 a+b≥0，则 f(a)+f(b)≥f(－ a)+f(－b)，则 a+b≥0” （1）写出其逆命题，并证明它的真假. （2）写出其逆否命题，并证明它的真假. （1）逆命题：“若 f(a)+f(b) ≥f(－a)+f(－b)，则 a+b≥0”这是一个真命题，我们用反证法证明： 假设 a+b＜0，即 a＜－b，b＜－a，而 f(x)单调递增. 故 f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a). 从而 f(a)+f(b)＜f(－a)+ f(－b).与已知矛盾，说明假设错误. ∴a+b≥0 (2)逆否命题：“f(a)+f(b)＜f(－b)+ f(－a)，则 a+b＜ 0” 这也是一个真命题，可类（1）用反证法证明. 例 4．已知 p： 3 21  x ≤2，q：x2―2x+1―m2≤0（m＞0） 又知非 p 是非 q 的必要条件，但不是充分条件，求取 m 的取值范围。 先化简 p 即 x∈[－1，11]，q 即 x∈[1－m，1+m] 非 p：x＜－1 或 x＞11，非 q：x＜1－ m 或 x＞1+m. 非 q非 p，故      111 11 m m ，解得 m≥10 当 m≥10 时，―1 与 1―m 不可能相等，故非 p  非 q. ∴m ∈ ,10 例 5．已知曲线 C1：f(x－y)=0，C2：g(x，y)=0，点 M 坐标为（a，b），则 M（C1∩C2）是      0),( 0)( yxg yxf 的什么条件？说明你的理由. M （C1∩C2）即 M∈（C1∩C2）之否定，亦即      0),( 0),( yxg yxf 之否定，也就是 f(x，y)≠0 或 g(x，y) ≠0，故 M（C1∩C2）      0),( 0),( yxg yxf      0),( 0),( yxg yxf ，即 MC1，且 MC2，亦即 M（C1∩C2）. ∴ M（C1∩C2） ∴M（C1∩C2）是 的必要条件，但不是充分条件. 例 6．α ∈（0， 4  ），求证：2α 可作为一个三边长均为整数的直角三角形的一个内角的充要条件是 tanα 是有理数. 充分性. 设 tanα = m n （m，n∈N+，m ，n 互质，m＞n） 则 tan2α = 2)(1 2 m n m n  = 22 2 nm mn  ，作两直角边长分别为 2mn，m2－n2 的直角三角形，则其斜边长为 2222 )()2( nmmn  = m2+n2，该三角形有一内角为 2α ，三角均为整数. 证法二：∵tanα = ，故可作 Rt△ABC，AC=nk，BC=mk（k∈N*）（如图）作斜边 AB 的中垂线交 BC 于 D，则 AD=BD，∠ADC=2∠B =2α ，设 CD=x，则 AD= 222 knx  +x，整 理可得 x= m knkm 2 22  ，取 k=2m 时 x 即当整数，此 时 CD=x=m2－n2，AC=2mn，AD=BD=2m2―(m2―n2) =m2+n2. 均为整数. 必要性： 设 Rt△ABC 中，∠B=2α ，三边均为整数，延长 CB 到 D，使 BD=AB，则∠D=α ，且 DC=DB+BC= DB C A BD 2α C A AB+BC 为整数，tanα = DC AC ∈Q 证法二，Rt△ABC 中，∠ABC=2α ，三边 长均为整数，BD 为角平分线 AD CD = AB BC  CDAD CD  = ABBC BC  . ∴ BC CD = ABBC AC  ∈Q 一、 巩固练习 1．（ 1）x2+5＜4 12 x （x∈R） （2）ax2+bx+c=0 是关于 x 的一元二次方程. （3）若 b2－4ac＜0，则不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为 R 或φ ， 以上哪些是命题？哪些是真命题？ 2．P 为平面四边形 ABCD 内（含边界）任意一点“p 到四边距离之和为定值”是“ABCD 是正方形”的 什么条件？证明你的结论. 3．1， 2 ， 3 不可能是同一等差数列中的项 4．已知 p：方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的负根. q：方程 4x2+4(m－2)x+1=0 没有实数根. 若 p 或 q 真而 p 且 q 假，求实数 m 的取值范围. 5．写出命题 p：“若 m＞0，则关于 x 的方程 x2+x－m=0 有实数根”的逆命题，否命题和逆命题，并分别 判断它的真假. 6．已知 p： 25 x ＞3，q： 54 1 2  xx ≥0，非 p 是非 q 的什么条件？证明你的结论。 7．求关于 x 的方程 m2x2－(m+1)x+2=0 根的总和为 2 的充要条件. 8．已知当 2x ＜a 成立时， 12 x ＜4 也成立，求实数 a 的取值范围。 9．若方程 ax2－2x+1=0（a＞0）的小根 x1＜1，大根 x2∈（1，3），求实数 a 的范围. 10．写出命题“圆的两相交弦若互相平分，则它们都是直径”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它 们的真假。 11．若命题“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”均真，则“c≤d”是“e≤f”的（ ） （A）充分条件，但不是必要条件 （B）必要条件，但不是充分条件 （C）充要条件 （D）既不是充分条件，也不是必要条件 12．（ 1）p：“数列 na 是常数列”，q：“数列 na 既是等差数列，又是等比数列” （2）p：“数列 是等比数列”，q：“数列 的前 n 项和 Sn= 1 1   q aqan ”. （3）p：“点（n，Sn）（ n∈N+）都在一条过原点的抛物线上”，q：“数列 是等差数列”（Sn 是 的前 n 项之和） （4）已知：数列 的前 n 项和 Sn=pn+q（p≠0 且 p≠1）， p：“ q=－1”q：数列 是等比数列. 以上四题中，p 是 q 的充要条件者为_______________（标出相应题号即可） 13．已知两个关于 x 的一元二次方程 mx2－4x+4=0 和 x2－4mx+4m2+(4－4m)－9=0，求两方程的根都是 整数的充要条件。 五、参考答案 1．∵x2+5=(x2+1)+4≥4 12 x .故可判断（1）是一个假命题；当 a≠0 时，ax2+bx+c=0 才是关于 x 的 一元二次方程，今不知 a 的取值情况，无法判断其真假，故（2）不是命题；当 a=0 时，b2－4ac=b2 不可 能小于 0，故由 b2－4ac＜0 知 ax2+bx+c＞0 是关于 x 的一元二次不等式，判别式＜0，解集必为 R 或φ ， A B C D 故（3）是命题，且是真命题。 2．必要条件，但不是充分条件，证明如下： 设 ABCD 为正方形，当 p 为一顶点（不妨设是 A）时，它到 AB、AD 距离为 0，到 CB、CD 都相距 a， 和为 2a；当 p 在边上（不妨设在 AB 上）时，它到 AB 距离为 0，到 BC、AD 距离之和为 a，到 CD 距离 为 a，和仍为定值 2a，当 p 在正方形内部时，P 到 AB、CD 距离之和为 a，到 AD、BC 距离之和也为 a， 总和仍为定值 2a； 另一方面，当 ABCD 虽不是正方形而是菱形时也有此性质，故不充分。 3．（反证法）假设 1， 2 ， 3 是同一等差数列中的三项，则必存在 m，n∈Z，m≠n，使 －1=md， －1=nd（m，n 均不当 0，d≠0），于是 12 13   = m n ，整理成 － = m nm  － 6 ，平方得 m n2 =1+ 2 2)( m nm  ， 左为无理数，右为有理数，矛盾，说明假设错误。 ∴1， ， 不可能是同一等差数列中的项。 4．p 或 q 真而 p 且 q 假  p，q 一真一假 当 p 真 q 假时，应满足       016)2(16 0 04 2 2 2 1 m m m 解得 m≥3， 当 p 假 q 真时，应满足            0 0404 016)2(16 2 12 1 2 2 m mm m 或 解得 m∈ 2,1 ∴m∈  2,1 ∪ ,3 5．逆命题：“若关于 x 的方程 x2+x－m=0 有实数根，则 m＞0”；否命题：“m≤0，则关于 x 的方程 x2+x －m=0 没有实数根”；逆否命题：“若关于 x 的方程 x2+x－m=0 没有实数根，则 m≤0”. 当 m＞0 时，△=1+4m＞0，方程 x2+x－m=0 必有两个不等实根，故原命题及逆否命题是真命题。 当方程 x2+x－m=0，有实数根时，△=1+4m≥0，m≥－ 4 1 ，而不一定要＞0，故逆命题及否命题是假命 题。 6．P：x＞1 或 x＜― 5 1 ，非 p：― ≤x≤1 q：x∈R， 非 q：x∈φ 非 p 与非 q 互相不能推出。∴非 p 既不是非 q 的充要条件，也不是非 q 的必要条件。 7．当 m=0 时，原方程即 x=2，满足条件 当 m≠0 时， 2 1 m m  =2，m=1 或－ 2 1 。 但△=(m+1)2－8m2，m=1 及 m=－ 均使△＜0。 故充要条件是 m=0 8．即当 x∈（2－a，2+a）时，x2＜5 即 x∈（－ 5 ， ）一定成立，∴(2－a，2+a)（－ ， ）      52 52 a a a∈（0， －2） 9．ax2－2x+1=0（a＞0）一根＜1，一根∈（1，3）的充要条件是      0169)3( 012)1( af af  a∈（ 9 5 ，1） 10．逆命题：“圆的两直径互相平分”，否命题“圆的两条相交弦若不互相平分，则它们不都是直径”；逆 否命题：“圆的两相交弦若不都是直径，则它们不相互平分”。 ∵圆的两相交弦互相平分，∴交点是它们的中点，则交点与圆心的连线与这两条弦都垂直，这与平面内 过一点作已知直线的垂线只能作一条相矛盾，除非交点就是圆心，此时两弦都是直径。 ∴原命题和逆否命题都是正确的。 ∵两直径都过圆心，而圆心是任一直径的中点，故两直径互相平分。 ∴逆命题和逆否命题也都是正确的。 11．命题“a≥bc＞d”之逆否命题为“c≤da＜b”，又有“a＜b e≤f”∴c≤d e≤f，但由题设 条件，由 e≤f 不能保证推出 c≤d. ∴“c≤d”是“e≤f”的充分条件，但不是必要条件，选（A） 12．常数列是公差为 0 的等差数列，非零常数列是公比为 1 的等比数列，但由“0”组成的常数列不是等 比数列，故（1）中 p 是 q 的必要条件，但不是充分条件； 当 na 的公比不为 1 时，其前 n 项和 Sn= 1 )1(1   q qa n = 1 11   q aqa n = 1 1   q aqan ，但 q=1 时，Sn=na1 而不能 写为上述形式，（2）中 p 是 q 的必要条件，但不是充分条件； 等差数列前 n 项 Sn=na1+ 2 )1( nn d= 2 d n2+(a1－ )n，当 d≠0 时，（n，Sn）为过原点的抛物线 y= x2+(a1－ )x 上的点，但 d=0 时，则为直线 y=a1x 上的点，故（3）中 p 是 q 的充分条件，但不是必 要条件； 当 n=1 时，a1=S1=p+q 当 n≥2 时，an=Sn－ 1nS = 1np (p－1)，说明从第二项起 na 构成公比为 P 的等比数列，故从第一项 就构成等比数列的充要条件是 p+q=p－1，即 q=－1，（ 4）中 p 是 q 的充要条件 填④ 13．∵mx2－4x+4=0 是一元二次方程 ∴m≠0。 另一方程为 x2－4mx+4m2―4m―5=0 都要有实根 ∴      0)544(416 0)1(16 22 2 1 mmm m 解得 m∈[－ 4 5 ，1] 两根为整数，故和与积也为整数.           Zmm Zm Zm 544 4 4 2 ∴m 为 4 之约数 ∴m=－1 或 1 m=－1 时，第一个方程与 x2+4x－4=0 根非整数，而 m=1 时，两方程均为整数根 ∴两方程根均为整数的充要条件是 m=1 六、附录 例 1．∠A＞∠B  a＞b  2RsinA＞2RsinB  sinA＞sinB。 p 是 q1 的充要条件。 y=cosx 在（0，π ）单调减，A，B∈（0，π ），故∠A＞∠B cosA＜cosB，p 是 q2 充要条件 y=cotx 在（0，π ）单调减，A、B∈（0，π ），故∠A＞∠B cotA＜cotB，p 是 q3 的充要条件； 由 900＞600，sin900＞cos600，及 1350＞300，sin1350＜cos300 知，p 不是 q4 的充分条件，也不是 q4 的必要 条件。 例 2．充要条件（证明见正文） 例 3．四个命题都是真命题 例 4．非 p： 3 21  x ＞2，即 x＜－1 或 x＞11 非 q：x2―2x+1―m2＞0，即 x＜1－m 或 x＞1+m. 非 qp：      111 11 m m ∴m≥10 m≥10 时，―1 与―1―m 不可能相等，故非 p 非 q， ∴m∈ ,10 例 5．必要条件，但不是充分条件 例 6．见正文