2013江西卷（文）数学试题
2013·江西卷(文科数学)
1． 复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
1．D [解析] z＝1－2i，故选D.
2． 若集合A＝{x∈|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A．4 B．2 C．0 D．0或4
2．A [解析] 当a＝0时，A＝∅；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，则a＝4，故选A.
3． 若sin＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
3．C [解析] cos α＝1－2sin2 ＝，故选C.
4． 集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}, 从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A. B.
C. D.
4．C [解析] 从A，B中任取一个数，共有6种取法，其中两数之和为4的是(2，2)，(3，1)，故P＝＝，故选C.
5． 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B．07
C．02 D．01
5．D [解析] 选出来的5个个体编号依次为：08，02，14，07，01.故选D.
6． 下列选项中，使不等式x<
0⇒x<0或x>1，求交集得x<－1，故选A.
7． 阅读如图1－1所示的程序框图，如果输出i
＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )
图1－1
A．S<8 B．S<9
C．S<10 D．S<11
7．B [解析] i＝2，S＝5，i＝3，S＝8，i＝4，S＝9，因输出i＝4，故填S<9，故选B.
8． 一几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积为( )
图1－2
A．200＋9π B．200＋18π
C．140＋9π D．140＋18π
8．A [解析] 该几何体上面是半圆柱，下面是长方体，半圆柱体积为π·32·2＝9π，长方体体积为10×5×4＝200.故选A.
9． 已知点A(2，0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )
A．2∶ B．1∶2
C．1∶ D．1∶3
9．C [解析] FA：y＝－x＋1，与x2＝4y联立，得xM＝－1，FA：y＝－x＋1，与y＝－1联立，得N(4，－1)，由三角形相似知＝＝，故选C.
10． 如图1－3所示，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图像大致为( )
图1－3
图1－4
10.
B [解析] 如图，设∠MOA＝α，cos α＝1－t，cos 2α＝2cos2 α－1＝2t2－4t＋1，x＝2α·1＝2α，y＝cos x＝cos 2α＝2t2－4t＋1，故选B.
11． 若曲线y＝xα＋1(α∈)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．
11．2 [解析] y′＝αxα－1，y′＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，该切线过原点，得α＝2.
12． 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈*)等于________．
12．6 [解析] Sn＝＝2n＋1－2≥100，得n≥6.
13． 设f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．
13．a≥2 [解析] |f(x)|max＝2，则a≥2.
14． 若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．
14．(x－2)2＋＝ [解析] r2＝4＋(r－1)2，得r＝，圆心为.故圆C的方程是(x－2)2＋＝.
15． 如图1－5所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
图1－5
15．4 [解析] 直线EF与正方体左右两个面平行，与其他四个面相交．
16． 正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
16．解：(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以an＝2n.
(2)由an＝2n，bn＝，则bn＝＝，
Tn＝
＝＝.
17． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.
(1)求证：a，b，c成等差数列；
(2)若C＝，求的值．
17．解：(1)证明：由题意得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2 B，
因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，
由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．
(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，
即有5ab－3b2＝0，所以＝.
18． 小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图1－6)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．
(1)写出数量积X的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
图1－6
18．解：(1)X的所有可能取值为－2，－1，0，1.
(2)数量积为－2的有·，共1种；
数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；
数量积为0的有·，·，·，·，共4种；
数量积为1的有·，·，·，·，共4种．
故所有可能的情况共有15种．
所以小波去下棋的概率为P1＝；
因为去唱歌的概率为P2＝，所以小波不去唱歌的概率P＝1－P2＝1－＝.
19．， 如图1－7所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.
(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；
(2)求点B1到平面EA1C1的距离．
图1－7
19．解：(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.
在Rt△BEF中，BE＝.
在Rt△CFB中，BC＝.
在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.
由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1.
所以BE⊥平面BB1C1C.
(2)三棱锥E－A1B1C1的体积V＝·AA1·S△A1B1C1＝.
在Rt△A1D1C1中，A1C1＝＝3 .
同理，EC1＝＝3 ，A1E＝＝2 .
故S△A1C1E＝3 .
设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1－A1C1E的体积
V＝·d·S△A1C1E＝d，
从而d＝，d＝.
20．， 椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图1－8所示，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.
证明：2m－k为定值．
图1－8
20．解：(1)因为e＝＝，
所以a＝c，b＝c，代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)方法一：因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)，①
①代入＋y2＝1，解得P.
直线AD的方程为y＝x＋1.②
①与②联立解得M.
由D(0，1)，P，N(x，0)三点共线知
＝，解得N.
所以MN的斜率为m＝＝＝，
则2m－k＝－k＝(定值)．
方法二：
设P(x0，y0)(x0≠0，±2)，则k＝.
直线AD的方程为：y＝(x＋2)，
直线BP的方程为：y＝(x－2)，
直线DP的方程为：y－1＝x，令y＝0，由于y0≠1可得N，
联立
解得M，
因此MN的斜率为
m＝＝
＝＝.
所以2m－k＝－
＝
＝
＝
＝(定值)．
21．， 设函数
f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．
(1)当a＝时，求f；
(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；
(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间上的最大值和最小值．
21．解：(1)当a＝时，f＝，
f＝f＝2＝.
(2)f(f(x))＝
当0≤x≤a2时，由x＝x解得x＝0，
因为f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；
当a20.
(或令g(a)＝a3－2a2－2a＋2，
g′(a)＝3a2－4a－2＝3，
因a∈(0，1)，g′(a)<0，则g(a)在区间上的最小值为g＝>0，
故对于任意a∈，g(a)＝a3－2a2－2a＋2>0，
S′(a)＝·>0)
则S(a)在区间上单调递增，
故S(a)在区间上的最小值为S＝，最大值为S＝.
