高中数学选修2-2课时练习第二章 2_1

高中数学选修2-2课时练习第二章 2_1

‎§2　导数的概念及其几何意义 ‎2．1　导数的概念 ‎[学习目标]‎ ‎1．理解并掌握导数的概念．‎ ‎2．掌握求函数在一点处的导数的方法．‎ ‎[知识链接]‎ 如何理解平均速度和瞬时速度的关系？‎ 答　平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化情况的．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．导数的概念 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从 f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝，当x1趋于x0时，即Δx趋于0，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的导数．记作f′(x0)＝‎ ＝ .‎ ‎2．求在某一点x0处的导数的步骤 ‎(1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；‎ ‎(2)求平均变化率：＝；‎ ‎(3)取极限：求Δx→0时，所趋近的值，即为函数y＝f(x)在点x0处的导数.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 要点一　函数在某点处的导数 例1　求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．‎ 解　Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，‎ ‎∵＝＝3Δx＋4，‎ ‎∴y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋4)＝4.‎ 规律方法　求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：‎ ‎(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；‎ ‎(2)求平均变化率＝；‎ ‎(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .‎ 跟踪演练1　利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．‎ 解　由导数的定义知，函数在x＝2处的导数 f′(2)＝ ，而f(2＋Δx)－f(2)‎ ‎＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)‎ ‎＝－(Δx)2－Δx，‎ 于是f′(2)＝ ＝ (－Δx－1)＝－1.‎ 要点二　瞬时速度的应用 例2　一质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为‎8 m/s，求常数a的值．‎ 解　Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝‎4aΔt＋a(Δt)2，所以＝‎4a＋aΔt.‎ 由题意知，在t＝2 s时，瞬时速度为s′(2)＝ ＝‎4a，即‎4a＝8，解得a＝2.‎ 规律方法　要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt，求出相应的位移的改变量Δs，再求出平均速度＝，最后计算当Δt趋近于0时， 趋近于的常数，就是物体在该时刻的瞬时速度．‎ 跟踪演练2　物体的运动方程是s＝(位移单位：m，时间单位：s)，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．‎ 解　∵Δs＝－＝－，‎ ＝＝ ‎＝，‎ ‎∴物体在t＝1 s时的瞬时速度为s′(1)＝‎ li ＝ (m/s)．‎ 要点三　导数概念的应用 例3　已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：‎ ‎(1) ；‎ ‎(2) .‎ 解　(1)∵ ＝f′(x0)，‎ 即 ＝f′(x0)＝k.‎ ‎∴ ＝.‎ ‎(2)∵，‎ 即为函数f(x)在区间[x0－Δx，x0＋Δx]上平均变化率．‎ ‎∴当Δx→0时，必趋于f′(x0)＝k，‎ ‎∴ ＝k，‎ ‎∴ ＝2k.‎ 规律方法　在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx 选择哪种形式，Δy也必须选择相应的形式，利用函数f(x)在点x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式．‎ 跟踪演练3　已知f′(x0)＝－2，求 的值．‎ 解　∵f′(x0)＝ ＝－2.‎ ‎∴ ‎＝－ ‎＝－f′(x0)＝×(－2)＝1.‎ ‎1．函数f(x)在x0处可导，则 (　　)‎ A．与x0、h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0、h均无关 答案　B ‎2．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2) (s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为(　　)‎ A．－‎4.8 m/s B．－‎0.88 m/s C．‎0.88 m/s D．‎4.8 m/s 答案　A 解析　物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．‎ ‎3．函数y＝3x2在x＝1处的导数为(　　)‎ A．12 B．‎6 C．3 D．2‎ 答案　B 解析　f′(1)＝ ‎＝ ＝6.‎ ‎4．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.‎ 答案　－ 解析　f′(1)＝ ‎＝ ‎＝ ＝－.‎ 利用导数定义求导数三步曲：‎ ‎(1)作差，求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；‎ ‎(2)作比，求平均变化率＝；‎ ‎(3)取极限，得导数f′(x0)＝ 简记为一差，二比，三极限．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础达标 ‎1．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　)‎ A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2‎ 答案　C 解析　＝＝ ‎＝4＋2Δx.‎ ‎2．设函数f(x)在点x0处附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)‎ A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 答案　C 解析　∵＝＝a＋bΔx.‎ ‎∴f′(x0)＝ ＝a.‎ ‎3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2) (s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为(　　)‎ A．－‎4.8 m/s B．－‎0.88 m/s C．‎0.88 m/s D．‎4.8 m/s 答案　A 解析　物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．‎ ‎4．设函数f(x)可导，则 等于(　　)‎ A．f′(1) B．‎3f′(1) ‎ C.f′(1) D．f′(3)‎ 答案　A 解析　 ＝f′(1)．‎ ‎5．已知函数y＝＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.‎ 答案　 解析　Δy＝f(1.5)－f(2)＝－ ‎＝－1＝.‎ ‎6．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．‎ 答案　3‎ 解析　v初＝s′|t＝0＝ ＝ (3－Δt)＝3.‎ ‎7．利用定义求函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率．‎ 解　因为在x＝2附近，Δy＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，所以函数在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率为＝＝－8－2Δx.故函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率为 (－8－2Δx)＝－8.‎ 二、能力提升 ‎8．函数f(x)在x＝a处有导数，则 为(　　)‎ A．f(a) B．f′(a) ‎ C．f′(h) D．f(h)‎ 答案　B 解析　令h－a＝Δh，则有h＝a＋Δh.‎ h→a等价于Δh→0，原式可化为 ，由导数的定义易得B.‎ ‎9．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.‎ 答案　1‎ 解析　f′(－1)＝ ‎＝ ‎＝[a(Δx)2－‎3aΔx＋‎3a]＝‎3a＝3.∴a＝1.‎ ‎10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．‎ 答案　2‎ 解析　由导数的定义，‎ 得f′(0)＝ ‎＝ ‎＝[a·(Δx)＋b]＝b＞0.‎ 又，‎ ‎∴ac≥，∴c>0.‎ ‎∴＝≥≥＝2.‎ ‎11．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．‎ 解　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)‎ ‎＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，‎ ‎∴＝＝2Δx＋16.‎ ‎∴y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.‎ ‎12．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．‎ 解　∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c ‎＝a(Δx)2＋‎2aΔx.‎ ‎∴f′(1)＝ ＝ ‎＝ (aΔx＋‎2a)＝‎2a，即‎2a＝2，∴a＝1.‎ 三、探究与创新 ‎13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．‎ 解　由导数的定义知，‎ f′(x)＝ ＝2x，‎ g′(x)＝ ＝3x2.‎ ‎∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.‎ 即3x2－2x－2＝0，解得x＝或x＝.‎