高二数学上学期期中试题文(5)

高二数学上学期期中试题文(5)

黑龙江省××市第一高级中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题 文 一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.抛物线的准线方程是 （ ）‎ ‎ ‎ ‎2.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为 （ ）‎ ‎ ‎ ‎3.双曲线的渐近线方程是（ ）‎ ‎ ‎ ‎4.若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是(　　)‎ ‎ 抛物线 线段 直线 射线 ‎5.过点与抛物线只有一个公共点的直线共有几条 (　　 )‎ ‎ 1 2 3 4‎ ‎6.点在椭圆的内部，则的取值范围是（ ） ‎ ‎ ‎ ‎7.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎8.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为(　　)‎ ‎ 1 - 6 -‎ ‎9.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（ ）‎ ‎ 2 1 ‎ ‎10．若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为( )‎ ‎ ‎ ‎11．椭圆与双曲线有相同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是（ ）‎ ‎ 4 2 1 ‎ ‎12. 双曲线的左右焦点分别为,过作圆的切线分别交双曲线的左右两支于点、，且,则（ ）‎ ‎ ‎ 二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率 ‎ ‎14. 抛物线的准线方程是，则________‎ ‎15．已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，，则____‎ ‎16．已知椭圆E:（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A、B两点；若，点到直线的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是 ‎ 三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.(10分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线变为曲线 ‎ - 6 -‎ ‎，求曲线的标准方程及参数方程.‎ ‎18．(12分)若圆与轴相切于点,与轴的正半轴交于两点,且,求圆的标准方程 ‎19.(12分)在极坐标系中，极点为，已知曲线与曲线交于不同的两点 ‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求过点且与直线平行的直线的极坐标方程．‎ ‎20.（12分）已知点是椭圆与直线的交点，点是的中点，且点的横坐标为.若椭圆的焦距为8，求椭圆的方程．‎ ‎21．(12分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数,）．在以坐标原点为极点轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ‎(1)说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在 - 6 -‎ 上，求.‎ ‎ ‎ ‎22. （12分）已知抛物线C的一个焦点为，对应于这个焦点的准线方程为 ‎（1）写出抛物线的方程；‎ ‎（2）过点的直线与曲线交于两点，点为坐标原点，求重心的轨迹方程；‎ ‎（3）点是抛物线上的动点，过点作圆的切线，切点分别是.当 点在何处时，的值最小？求出的最小值.‎ - 6 -‎ 数学（文）试题 选择 1—6 B D C A B A 7—12 A C A B C D ‎13. 14.2 15.2 16.‎ ‎17.设M(x，y)是曲线C上任意一点，变换后的点为M′(x′，y′)．由 且M′(x′，y′)在曲线＋4y′2＝1上， 得＋＝1，‎ ‎∴x2＋y2＝4. 因此曲线C的方程为x2＋y2＝4， （ 为参数）‎ ‎18．设AB的中点P(x，y)，B(x1，y1)，则有x＋y＝4，且x＝ ，y＝.∴x1＝2x－2，y1＝2y.‎ ‎∴(2x－2) 2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1.当A、B重合时，P与A点重合，不合题意，‎ ‎∴所求轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．‎ ‎19. (1)∵＝2，∴x2＋y2＝4. 又∵ρsin＝，∴y＝x＋2，∴|AB|＝2＝2＝2.‎ ‎(2)∵曲线C2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C2平行的直线的直角坐标方程为y＝x－1，‎ ‎∴直线的极坐标为，即.‎ ‎20．点为由题意知:点,满足:∴‎ ‎∴∴又∵∴,经检验,,符合题意∴椭圆的方程为.‎ ‎21. (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ - 6 -‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，‎ 解得a＝－1(舍去)或a＝1.当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.‎ ‎22．解：（1）抛物线方程为：. ‎ ‎（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为，代入，得：‎ 设，则，设△AOB的重心为则，消去k得为所求， ‎ ‎②当直线垂直于x轴时， △AOB的重心也满足上述方程.‎ 综合①②得，所求的轨迹方程为 ‎ ‎（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径，‎ 根据圆的性质有：当最小时，|MN|取最小值，‎ 设P点坐标为，则 ‎∴当，时，取最小值5，‎ 故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值. ‎ - 6 -‎