2018-2019学年吉林省长春市第十一高中高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年吉林省长春市第十一高中高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年吉林省长春市第十一高中高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B．‎ ‎【解析】试题分析：复数，故其在复平面内对应点位于第二象限；故选B．‎ ‎【考点】1．复数的概念；2．复数的基本运算；3．复数的几何意义．‎ ‎2．用反证法证明“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”，下列假设中正确的是（ ）‎ A.有两个数是正数 B.这三个数都是正数 C.至少有两个数是负数 D.至少有两个数是正数 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：先求出要证的命题“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”的否定，即可得出结论．‎ 解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证的命题的否定成立，‎ 而要证的命题“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”的否定为：“至少有两个数是正数”，‎ 故选D．‎ 点评：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，写出命题的否定，属于中档题．‎ ‎3．若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】向量，，是空间的一个基底的充要条件为，，不共面，逐一按此标准检验即可 ‎【详解】‎ 向量，，是空间的一个基底，则，，不共面，‎ 对于选项A：，故，，共面，故A错误，‎ 对于选项B：[（）﹣（）]，故，，共面，故B错误，‎ 对于选项C：，，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C正确，‎ 对于选项D：由选项A得：2，故2，，共面，故D错误，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量基本定理、空间向量的基底，属简单题 ‎4．下列说法错误的是（ ）‎ A．命题“”，则：“”‎ B．命题“若,则”的否命题是真命题 C．若为假命题，则为假命题 D．若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件 ‎【答案】C ‎【解析】利用命题的否定形式判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；复合命题的真假判断C的正误；充要条件判断D的正误.‎ ‎【详解】‎ 命题p：“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”满足命题的否定形式，所以A正确；‎ 命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆命题是x＝3，则x2﹣4x+3＝0，逆命题为真命题，而逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，所以B正确；‎ 若p∧q为假命题，至少一个是假命题，当个命题都是假命题是p∨q为假命题，所以C不正确；‎ 若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，满足充要条件的定义，所以D正确；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四中命题的逆否关系的应用，涉及充要条件以及四种命题的逆否关系，复合命题的真假的判断．是基本知识的考查．‎ ‎5．下列推理不属于合情推理的是（ ）‎ A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B．由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电 C．两条直线平行，同位角相等，若与是两条平行直线的同位角，则 D．在数列中，，，猜想的通项公式 ‎【答案】C ‎【解析】由合情推理及演绎推理的特征，逐一检验即可．‎ ‎【详解】‎ 解：对于A选项：由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质是类比推理，‎ 对于B选项：由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电是归纳推理，‎ 对于C选项：两条直线平行，同位角相等，若∠A与∠B是两条平行直线的同位角，则∠A＝∠B是演绎推理，‎ 对于D选项：在数列中，a1＝2，，猜想{an}的通项公式是归纳推理，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了简单的合情推理及演绎推理，属简单题．‎ ‎6．如右图:在平行六面体中，为AC与BD的交点，若=，=，=.则下列向量中与相等的向量是 ( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得 化简得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的加法减法法则,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知得|PF2|＝6﹣4＝2，|F1F2|＝2，由此能求出△PF1F2的面积．‎ ‎【详解】‎ 解：∵椭圆1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，|PF1|＝4，‎ ‎∴F1（，0），F2（，0），‎ ‎|PF2|＝6﹣4＝2，|F1F2|＝2，则△PF1F2是直角三角形，‎ ‎∴△PF1F2的面积为S2．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质，三角形的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．‎ ‎8．已知函数，其导函数的图像如图所示，则（ ）‎ A．在上为减函数 B．在处取极小值 C．在上为减函数 D．在处取极大值 ‎【答案】C ‎【解析】：由导函数的图像可知：时，，时，，因此在为增函数，在为减函数，所以x=0取得极大值，x=2取得极小值，x=4取得极大值，因此选C。‎ ‎9．执行下图所示的程序框图,如果输入的,则输出的等于（ ）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因当；当,当,此时输出,应选C.‎ ‎【考点】算法流程图的识读和理解.‎ ‎【易错点晴】算法是高中数学新增内容中重要知识点之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.这类题型的求解关键要读懂算法流程图中提供的有效信息,这是非常重要的一个环节.因为只有读懂和理解算法流程图中的操作程序才能解决问题中所提供的问题.本题在求解时,充分运用题设中算法流程图中的信息,搞明白和的含义,抓住的计算方式,进而求得,从而使本题获解.‎ ‎10．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】当n=k到n=k+1时，左端式子为(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k)(k+1+k+1),所以需要增加的式子为,应选B.‎ ‎11．已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k＝-2．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠NMP＝﹣k＝2，从而得到|PN|＝2|PM|，进而算出|MN||PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），点A坐标为（0，2），‎ ‎∴抛物线的准线方程为l：x＝﹣1，直线AF的斜率为k＝﹣2，‎ 过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|，‎ ‎∵Rt△MPN中，tan∠NMP＝﹣k＝2，‎ ‎∴2，可得|PN|＝2|PM|，‎ 得|MN||PM|，‎ 因此可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1：．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值，着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．‎ ‎12．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知，得到方程a﹣x2＝﹣2lnx⇔﹣a＝2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）＝2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 由已知，得到方程a﹣x2＝﹣2lnx⇔﹣a＝2lnx﹣x2在上有解．‎ 设f（x）＝2lnx﹣x2，求导得：f′（x）2x，‎ ‎∵x≤e，∴f′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，‎ ‎∵f（）＝﹣2，f（e）＝2﹣e2，f（x）极大值＝f（1）＝﹣1，且知f（e）＜f（），‎ 故方程﹣a＝2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．‎ 从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2＝﹣2lnx⇔﹣a＝2lnx﹣x2在上有解．‎ 二、填空题 ‎13．定积分 __________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先化简，再求定积分得解.‎ 详解：由题得=.‎ 所以 .‎ 故填.‎ 点睛：本题必须要先化简再求定积分，因为不化简，无法找到原函数.‎ ‎14．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为：‎ 根据题意：，所以 所以，‎ 所以答案应填：.‎ ‎【考点】双曲线的标准方程与简单几何性质 ‎15．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出函数的导数，得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 对函数求导可得，f′（x）＝3x2+4x﹣a，此时对称轴，‎ 函数f（x）＝x3+2x2﹣ax+1在区间（0，1）上不是单调函数，‎ ‎∴，解得：0＜a＜7，‎ 故答案为：（0，7）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性与函数导数的关系的应用，是一道中档题．‎ ‎16．如图所示，在三棱锥中，，且，，分别是，的中点．则异面直线与所成角的余弦值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以S为原点，SA，SB，SC为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线SM与BN所成角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SC＝2SB，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA，‎ M，N分别是AB，SC的中点．‎ ‎∴以S为原点，SA，SB，SC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设SA＝SC＝2SB＝2，‎ 则S（0，0，0），N（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），M（1，，0），‎ ‎（1，，0），（0，﹣1，1），‎ 设异面直线SM与BN所成角为θ，‎ 则cosθ．‎ ‎∴异面直线SM与BN所成角的余弦值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查向量法、异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知，，其中.‎ ‎（1）若，且为真，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）为真时的条件,当且仅当与都为真时才为真；（2）判断充分不必要条件时,如果无法进行正面判断,则可以使用其逆否命题进行判断,然后转化为集合之间的包含关系,得出答案．‎ 试题解析：解：（1）由，解得，所以 又，因为，解得，所以．‎ 当时，，又为真，都为真，所以．‎ ‎（2）由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，‎ 由（1），，所以，即．‎ ‎【考点】1．一元二次不等式．2．命题及其关系．3．充分必要条件．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化,进而成为命题所表示的范围间的大小关系,转化为集合的问题．另外需注意等号的取舍．‎ ‎18．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到准线的距离为．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）设直线与抛物线的另一交点为，求的值 ‎【答案】（1） (2) ‎ ‎【解析】（1）由题意，解得即可求出p的值，写出抛物线的方程即可；‎ ‎（2）先求出直线MF的方程为4x+3y﹣4＝0，联立方程得方程组，求出x，y的值，由由焦半径公式|MF|，|NF|＝5，问题得以解决．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意 ，消去得，‎ 因为，解得，所以，‎ 所以抛物线标准方程为.‎ ‎（2）因为，,所以,‎ 直线的方程为，‎ 联立方程得方程组，消去得，‎ 解得或，‎ 将代入，解得，‎ 由焦半径公式,又 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的标准方程，焦半径公式，方程组的解法，培养了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．‎ ‎19．若函数，当时，函数有极值.‎ ‎（1）求函数的解析式及函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）根据f（2），f′（2）＝0列方程解出a，b得出f（x）的解析式，利用导数的几何意义求出切线方程；‎ ‎（2）求出f（x）的极大值和极小值，则k介于f（x）的极大值与极小值之间．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）,由题意得，‎ 解得 故所求函数的解析式为. ‎ ‎， ，‎ 在点处的切线方程为： ，‎ 即. ‎ ‎（2）由(1)可得，‎ 令，得或.‎ 当变化时， ， 的变化情况如下表：‎ 因此，当时， 有极大值，当时， 有极小值，‎ 所以函数的图象大致如图所示．‎ 若有个不同的根，‎ 则直线与函数的图象有个交点 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性，极值的关系，考查了数形结合的思想，属于中档题．‎ ‎20．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，且，交于点，是上任意一点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若为的中点，且二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】（1）先求证AC⊥平面PBD，再证AC⊥DE.(2)先证明 EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求出EC与平面PAB所成角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，‎ 因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，‎ 又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，‎ 因为DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE．‎ ‎（2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD，‎ 所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），‎ E（0，0，），P（0，﹣，t）．‎ 设平面PAB的一个法向量为（x，y，z），‎ 则 ，令，得，‎ 平面PBD的法向量（1，0，0），‎ 因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，‎ 所以 ，‎ 所以或（舍），‎ 则 ‎ ‎∴，‎ ‎∴EC与平面PAB所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力。（2）直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）‎ ‎，其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.‎ ‎21．已知椭圆上的点到焦点的最大距离为3，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于不同两点，与轴交于点，且满足,若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ，或 ‎【解析】（1）由椭圆的性质可知：，解得a和c的值，即可求得椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得：，，λ，根据向量的坐标坐标，（x1+1，y1）＝λ（x2+1，y2），求得，由，代入即可求得实数m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由已知，解得，‎ 所以 ，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由已知,设，‎ 联立方程组，消得，‎ 由韦达定理得 ①② ‎ 因为，所以，‎ 所以③，将③代入①②‎ ‎，，‎ 消去得，‎ 所以. ‎ 因为，所以，‎ 即，‎ 解得，所以，或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量的坐标表示，不等式的解法，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎22．已知为函数的导函数，且.‎ ‎（1）判断函数的单调性；‎ ‎（2）若，讨论函数零点的个数.‎ ‎【答案】(1) 时， 单调递减， 时， 单调递增(2) 当时， 有一个零点；当和或时， 有两个零点，当且， 由三个零点.‎ ‎【解析】试题分析：(1)首先明确的表达式，求出在上单调递增，且，从而得到的单调区间；‎ ‎（2）由，得或，若，即，‎ 转而判断直线与的交点个数即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）对，求导可得，‎ 所以，与是，所以，‎ 所以，‎ 于是在上单调递增，注意到，‎ 故时， 单调递减， 时， 单调递增.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 由，得或，‎ 若，则，即，‎ 设 ‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 分析知时， 时， 时， ，‎ 现考虑特殊情况：‎ ‎①若直线与相切，‎ 设切点为，则 ，整理得，‎ 设，显然在单调递增，‎ 而，故，此时.‎ ‎②若直线过点，由，则，则，‎ 结合图形不难得到如下的结论：‎ 当时， 有一个零点；‎ 当和或时， 有两个零点，‎ 当且， 由三个零点.‎ 点睛：‎ ‎（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．‎ ‎（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。‎