数学理卷·2018届湖北省孝感市八校高三上学期期末考试（2018

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2017-2018 学年度上学期孝感市八校教学联盟 期末联合考试 高三理科数学试卷 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 4}32{1 ，，，A ，集合 6}5432{1 ，，，，，BA ，下列集合中，不可能满足条件的集 合 B 是（ ） A． }6,5,1{ B． }5,4,3{ C． }6,5,4{ D． }6,5,3,2{ 2.若复数 i iaz   1 为纯虚数，其中 a 为实数，则 || z （ ） A． 1 B． 2 C． 3 D．4 3.记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，若 1274  aa ，则 10S （ ） A．30 B．40 C． 50 D． 60 4.已知函数      0,ln 0,)( xx xexf x ，其中 e 为自然对数的底数，则 ))3 1(( ff （ ） A．2 B．3 C. 3 1 D． 2 1 5.已知函数 )32sin(3)(  xxf ，下列函数中，最小正周期为 的偶函数为（ ） A． )12( xf B． )62 1( xf C. )32( xf D． )3( xf 6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，若输入的 2x ， 3n ，依次输入的 a 的值分别为-1，-4，2，4，则输出的 S 的值为（ ） A． -2 B． 5 C. 6 D．-8 7.一个用铁皮做的烟囱帽的三视图如图所示（单位： cm ），则制作该烟囱帽至少要用铁皮 （ ） A． 21300 cm B． 21500 cm C. 21200 cm D． 21000 cm 8.已知直线 042:1  yxl ，直线 2l 经过点 )5,0( P 且不经过第一象限，若直线 2l 截圆 922  yx 所得的弦长为 4，则 1l 与 2l 的位置关系为（ ） A． 21 //ll B． 21 ll  C. 1l 与 2l 相交但不垂直 D． 1l 与 2l 重合 9.已知 )cos()2sin(2sin   ，则 )42cos(2   的值为（ ） A． 5 1 B． 5 1 C. 3 1 D．2 10.当实数 yx, 满足约束条件       0 1 33 y yx yx 表示的平面区域为C ，目标函数 yxz 2 的最小 值为 1p ，而由曲线 )0(32  yxy ，直线 3x 及 x 轴围成的平面区域为 D ，向区域 D 内 任投入一个质点，该质点落入C 的概率为 2p ，则 21 42 pp  的值为（ ） A． 2 1 B． 3 2 C. 5 3 D． 3 4 11.已知双曲线 E ： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0, 0)a b  的右顶点为 A ，右焦点为 F ， B 为双曲线在 第二象限上的一点， B 关于坐标原点O 的对称点为C ，直线CA 与直线 BF 的交点 M 恰好 为线段 BF 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A． 2 1 B． 5 1 C. 2 D．3 12.已知函数 211|1| )22(3)( aaexf xxx   有唯一零点，则负实数 a （ ） A． 3 1 B． 2 1 C. -3 D．-2 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 6 2 )1)(11( xx  的展开式中， x 的系数为 ． 14.非零向量 ba, 满足 |||| baba  ， 2|| a ，则  aba )2( ． 15.已知命题 01,: 2  xRxp ，命题 axxRxq  cossin3,: ，且 qp  为假命 题，则实数 a 的取值范围为 ． 16.已知函数 xeexf x x sin21)(  ，其中 e 为自然对数的底数，若 0)0()3()2( 2  fafaf ，则实数 a 的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 0)cos(sinsinsin  CCBA ， 2b ， 2c . （1）求角 B 的大小； （2）函数 xBxCxxf 2cos)2sin(2)2cos()(  ，求 )(xf 的单调递增区间. 18. 中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族，各民族有许多优良的传统习俗，如过大年吃 饺子，元宵节吃汤圆，端午节吃粽子，中秋节吃月饼等等，让人们感受到浓浓的节目味道， 某家庭过大年时包有大小和外观完全相同的肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子，一家 4 口人围 坐在桌旁吃年夜饭，当晚该家庭吃饺子时每盘中混放 8 个饺子，其中肉馅饺子 4 个，蛋馅饺 子和素馅饺子各 2 个，若在桌上上一盘饺子大家共同吃，记每个人第 1 次夹起的饺子中肉馅 饺子的个数为 X ，若每个人各上一盘饺子，记 4 个人中第 1 次夹起的是肉馅饺子的人数为Y ， 假设每个人都吃饺子，且每人每次都是随机地从盘中夹起饺子. （1）求随机变量 X 的分布列； （2）若 YX , 的数学期望分别记为 )(XE 、 )(YE ，求 )()( YEXE  . 19. 已知抛物线 xy 342  的焦点也是椭圆 E ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点，而 E 的 离心率恰好为双曲线 13 2 2  yx 的离心率的倒数. （1）求椭圆 E 的方程； （2）各项均为正数的等差数列 na 中， 11 a ，点 ),( 2 3 1 a aaP 在椭圆 E 上，设 1 1   nn n aab ， 求数列 }{ nb 的前 n 项和 nT . 20. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及其内部）以 AB 边所在直 线为旋转轴旋转 0120 得到的，点G 是弧 DF 上的一点，点 P 是弧CE 的中点. （1）求证：平面 ABP 平面CEG ； （2）当 2 BCAB 且 030DAG 时，求二面角 CAGE  的正弦值. 21. 已知函数 2)1()2()(  xaexxf x . （1）当 1a 时，求曲线 )(xfy  在点 ))0(,0( fP 处的切线方程； （2）讨论函数 )(xfy  的单调性； （3）当 0a 时，曲线 )(xfy  与 x 轴交于点 )0,(),0,( 21 xBxA ，证明： 221  xx . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为      ty tx 1 1 （t 为参数），以坐标原点 O 为极点， 以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 9)2cos45(2   ，直线l 与 曲线 C 交于 BA, 两点. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若点 P 的极坐标为 )4 3,2(  ，求 PAB 的面积. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 axxf  2 1)( ， |1|||)(  xxxg . （1）当 2a 时，求不等式 )()( xgxf  的解集； （2）若不等式 )()( xgxf  的解集包含 ]4,1[ ，求实数 a 的最小值. 2017-2018 学年度上学期孝感市八校教学联盟期末联合考试 高三理科数学参考答案及评分细则 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D C A D B A A B D C 二、13、 14 14、4 15、  ,2 16、 3 ,12     三、17. 解：(1) .A B C     sin sin ( ) sin( )A B C B C      . sin sin (sin cos ) 0A B C C    , sin( ) sin sin sin cos 0B C B C B C     . sin cos cos sin sin sin sin cos 0B C B C B C B C     . sin (sin cos ) 0C B B   . sin 0C  , sin cos 0.B B   tan 1B   . 0 B   , 3 4B   .(6 分). (2)由(1)知 3 ,4B  又 2, 2b c  . 由正弦定理 sin sin c b C B  得 22sin 12sin ,2 2 c BC b     又 0 2C   , 6C   .(8 分) 3( ) cos(2 ) 2 sin(2 ) cos26 4f x x x x       3 3cos2 cos sin 2 sin 2(sin 2 cos cos2 sin ) cos26 6 4 4x x x x x        3 1cos2 sin 2 sin 2 cos2 cos22 2x x x x x     3 3sin 2 cos2 3sin(2 )2 2 6x x x     . (10 分) 由 2 2 22 6 2k x k        解得 3 6k x k      ， k z . 故 ( )f x 的递增区间为 , ( )3 6k k k z        (12 分) 18. 解(1)随机变量 X 的可取值为 0,1,2,3,4 0 4 4 4 4 8 1( 0) ;70 C Cp X C    1 3 4 4 4 8 16 8( 1) ;70 35 C CP X C     2 2 4 4 4 8 36 18( 2) ;70 35 C CP X C     3 1 4 4 4 8 16 8( 3) ;70 35 C CP X C     4 0 4 4 4 8 1( 4) 70 C Cp X C    故随机变量 X 的分布列为: X 0 1 2 3 4 P 1 70 8 35 18 35 8 35 1 70 (2)随机变量 X 服从超几何分布: 4 4( ) 28E x    ; 随机变量 1 1(4, ), ( ) 4 22 2Y B E Y    . ( ) ( ) 2 2 4.E X E Y     (12 分) 19.解(1)依题意可得: 3c ， 3 3,2 2 ce a    2a  , 2 2 1b a c    .故椭圆 E 的方程为 2 2 14 x y  .(5 分) (2)点 ),( 2 3 1 a aaP 在椭圆 E 上, 2 31 2 2 14 aa a    ,又 1 1a  ， 2 3 24 3a a  ,又 na 是等差数列, 24(1 2 ) 3(1 )d d    . 1d  或 1 3d   ,当 1 3d   时, 4 11 3 03a     ,与 0na  矛盾. 1d  . 1 ( 1) 1na n n      (9 分). 1 1 1 ( 1) 1nb n n n n      . 1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1 1 1n nT n n n n                .(12 分) 20.(1)证明:在圆 B 中,点 P 为 CE 的中点, BP CE  . 又 AB  平面 BCE , AB CE  ,而 AB BP B , CE  平面 ABP ,又 CEG平面CE 平面 ABP  平面CEG (6 分). (2)解:以点 B 为坐标原点,分别以 BC,BA 为 y 轴, z 轴建立如图所示的平面直角坐标系. 则 (0,0,2), (0,2,0), (1, 3,2), ( 3 1 0)A C G E ， ， .设平面 ACG 的法向量 1 1( , ,1)m x y 由 1 1 1 1 1 11 1 1 ( , ,1) (1, 3,0) 3 0 3 1.( , ,1) (0,2, 2) 2 2 0 m AG x y x y x ym AC x y y                         ，得 ( 3,1,1)m   (8 分) 设平面 AGE 的法向量 2 2( , ,1)n x y ， ~ 由 22 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ( , ,1) (1, 3,0) 3 0 2 1( , ,1) ( 3, 1, 2) 3 2 0 .2 xn AG x y x y n AE x y x y y                           ，， 得 3 1( , ,1)2 2n   .（10 分）设二面角 E AG C  的平面角大小为 ， 则 1cos 10 m n m n          , 10 3 10sin 1 100 10     . 21.解:(1)当 1a  时， 2( ) ( 2) 2 1xf x x e x x     ， ( ) ( 2) 2 2 ( 1) 2( 1)x x xf x e x e x e x x          = ( 1)( 2)xx e  切线的斜率 (0) 3k f    ，又 (0) 1f   ， 故切线的方程为 1 3( 0)y x    ，即 3 1 0x y   （3 分）. （2） ( , ),x   且 ( ) ( 2) 2 ( 1) ( -1)( 2 )x x xf x e x e a x x e a        , (i )当 0a  时, 0xe  , 2 0xe a   . 当 1x  时, ( ) 0f x  ;当 1x  时, ( ) 0f x  . 故 ( )f x 在 ( ,1) 上单调递减,在 (1, ) 上单调递增. (ii )当 0a  , ( ) 0f x  有两个实数根 1 21, ( 2 )x x ln a   . ①当 02 e a   时, 1 2x x ,故 1x  时, ( ) 0, ( 2 ) 1f x ln a x     时 ( ) 0;f x  ( 2 )x ln a  时, ( ) 0f x  . 故 ( )f x 在 ( , ( 2 ) (1, )ln a  、 上均为单调增函数,在 ( ( 2 ),1)ln a 上为减函数. ②当 2 ea   时, 2 1 1x x  , ( ) 0f x  ， 当且仅当 1x  时, ( ) 0f x  ,故 ( )f x 在 ( , )  上为增函数. ③ 当 2 ea   时 , 2 1x x . 当 ( 2 )x ln a  时 , ( ) 0;f x  当 1 ( 2 )x ln a   时 ， ( ) 0, 1 , ( ) 0,f x x f x   当 时 故 ( )f x 在 ( ,1),(ln( 2 ), )a   上为增函数，在（1， ln( 2 )a ）上为减函数，综上所述,当 0a  时, ( )f x 在 ( ,1) 上单调递减,在 (1, ) 上单 调递增;当 02 e a   时, ( )f x 在 ( , ( 2 ))ln a  、 (1, ) 上单调递增，在 ( ( 2 ),1)ln a 上单调递减； 当 2 ea   时 ， ( )f x 在 ( , )  上 单 调 递 增 ； 当 2 ea   时 ， ( )f x 在 ( ,1) 、 ( ( 2 ), )ln a  上为单调递增；在 (1, ( 2 ))ln a 上单调递减（8 分）. （3）当 0a  ，由（2）知， 1 21x x  ， 22 1x   . 又 2 2 2 2 2( ) ( 2) ( 1) 0xf x x e a x     . 2 2 22 22 2 2 2 2 2(2 ) (1 ) ( 2)x x xf x x e a x x e x e           . 设 2( ) ( 2) ,x xg x xe x e    则 2( ) ( 1)( )x xg x x e e    . 当 1x  时 ， ( ) 0,g x  故 ( )g x 在 (1, ) 上 递 减 ， 而 (1) 0,g  故 当 1x  时 ， ( ) (1) 0g x g  . 又 2 2 2 1 2 11, ( ) (2 ) 0, ( ) 0, (2 ) ( )x g x f x f x f x f x        又 ，又 ( )f x 在 ( ,1) 上 单调递减； 2 12 x x   . 1 2 2x x   . 22.解：（1） 直线l 的参数方程为 1 , 1 , x t y t      ① ② （t 为实数） ，①+②得 2x y  ，故 l 的普通方程为 2 0x y   . 又曲线C 的极坐标方程为 2 2 25 4 (2cos 1) 9     ，即 9 2 2 28 cos 9    ， 2 2 2 , cosx y x     . 2 2 29( ) 8 9x y x    ，即 2 2 19 x y  ，（5 分） （2）点 P 的极坐标为 3( 2, )4  ， P 的直角坐标为（-1，1）. 点 P 到直线l 的距离 2d  . 将 1 1 x t y t      ，代入 2 29 9x y  中得 210 16 1 0t t   . 设交点 A 、 B 对应的参数值分别为 1 2,t t ，则 1 2 8 5t t  ， 1 2 1 10t t  . 2 1 2 1 2 64 2 6 32 ( ) 4 2( )25 5 5AB t t t t         ∴△PAB 的面积 1 6 3 3 622 5 5S     . 23.解：（1）当 2a  时， 1( ) 22f x x  又 2 1, 1 ( ) 1,0 1 2 1, 0 x x g x x x x         故 ( )g x 在 ( ,0) 上递减，在 (1, ) 上递增 由 12 1 22x x    得 1 2 5x   ，由 12 1 22x x   得 2 2x  . 故当 ( ) ( )f x g x 时， 2 25 x   . 不等式 ( ) ( )f x g x 的解集为 2 ,25     . （2）由 12 1 2x x a    得 3 2 2 5 ax  . 由 12 1 2x x a   得 4 2 2 3 ax  故当 ( ) ( )f x g x 时， 2 2 2 2 5 3 a ax     2 2 2 21,4 ,5 3 a a       2 2 15 2 2 43 a a      ， ， ， 5a  .故 a 的最小值为 5.