福建省福州市2020届高三5月调研卷理科数学试题

福建省福州市2020届高三5月调研卷理科数学试题

福州市2020届高三理科数学5月调研卷 ‎（完卷时间120分钟；满分150分）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．复数满足，则 A. B. C. D.‎ ‎3．设等差数列的前项和为，若，，则 A． B． C． D．‎ ‎4．棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为，则此棱锥的高被分成的上、下两段之比为 A． B． C． D．‎ ‎5. 若，则 A． B． C． D．‎ ‎6．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数(单位:万人)与同比增长情况统计图.则下面结论中正确的是 ‎①2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；‎ ‎②2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；‎ ‎③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；‎ ‎④2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%.‎ A.①②③ B.②③④ C.①② D.③④‎ ‎7．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如右1图，“大衍数列”：0，2，4，8，12，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．右2图是求大衍数列前项和的程序框图.执行该程序框图，输入，则输出的 A． B． C． D．‎ ‎8．若，，，则 A． B． C． D．‎ ‎9. 将函数的图象向右平移个周期后得到函数的图象，则图象的一条对称轴可以是 A． B． C． D．‎ ‎10．设双曲线的左焦点为，直线过点且与在第二象限的交点为，为原点，，则的离心率为 A．5 B. C. D. ‎ ‎11. 设数列的前项和为，且，（），则的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 若关于的不等式解集中恰有两个正整数解，的取值范围为 A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.已知向量和的夹角为，，，则_______________.‎ ‎14.椭圆的左，右焦点分别为，焦距为，点在上，，直线的斜率为（为半焦距），则的方程为_______________.‎ ‎15.已知点满足过点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为_______________.‎ ‎16.已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切（，且），则球的体积等于__________，球的表面积等于__________．（本题第一空2分，第二空3分）‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 如图，已知的内角，，的对边分别是,,,且，点是的中点，，交于点，且，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在五面体中，，，，，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，，求二面角的余弦值．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的顶点为，焦点为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点作直线交于，两点，若直线，分别交直线于，两点，求的最小值．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知函数（）.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 某医药开发公司实验室有瓶溶液，现需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：‎ 方案一：逐瓶检验，则需检验次；‎ 方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.‎ ‎（1）若，其中瓶中含有细菌，采用方案一，求恰好检验次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；‎ ‎（2）现对该瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为.‎ 若采用方案一，需检验的总次数为，若采用方案二，需检验的总次数为.‎ ‎(i)若与的期望相等.试求关于的函数解析式；‎ ‎(ii)若，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求的最大值.‎ 参考数据：，，，.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎ （1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎ （2）设为上的点，，垂足为，若的最小值为，求的值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修：不等式选讲 已知为正数，且满足.证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ 福州市2020届高三理科数学5月调研卷参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．C 2．B 3．A 4. C 5. C 6．C ‎7. C 8. B 9. D 10. A 11. B 12. D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 14. 15． 16.，‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17．【解析】（1），‎ 由得， 2分 由余弦定理得， 4分 ‎，. 6分 ‎（2）连接，如右图，是的中点，，，， 7分 在中，由正弦定理得，‎ ‎，， 8分 ‎，， 9分 ‎，，， ‎ ‎，， 11分 ‎. 12分 ‎18. 【解析】（1）证明：因为，，‎ 所以． 1分 取中点为，连接，所以， ‎ 因为，，所以且， ‎ 所以四边形为平行四边形，所以，且. 3分 因为，，‎ 所以，所以， 4分 因为，所以．‎ 因为，所以平面． 5分 ‎（2）由（1）知，平面，‎ 因为，所以平面． ‎ 故以点为坐标原点，分别以、的方向为轴、‎ 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 所以 所以，‎ 设平面的法向量为，‎ 则， 7分 所以，‎ 取，则， 8分 设平面的法向量为，因为，‎ 所以， 9分 所以，‎ 取，则， 10分 所以， 11分 所以二面角的余弦值为． 12分 ‎19.【解析】（1）由已知可设的方程为，则,得，‎ 所以的方程是. 2分 ‎（2）设，，所以，,‎ 所以直线的方程是：,由，，‎ 同理由，， 4分 所以 ‎，① 5分 设，由得，‎ ‎，，‎ 代入①得， 7分 设，则，‎ 当时，， 9分 当时，‎ ‎，‎ 当时，取得最小值，此时； 11分 综上，的最小值是. 12分 ‎20.【解析】（1）， 1分 由得，解得（），‎ 由得，解得或（）4分 所以的单调递增区间为（）；‎ 的单调递减区间为和（）. 5分 ‎（2）要证当时，，‎ 即证当时，， 6分 ‎ ， 7分 令，则，在上单调递增，‎ 故，即， 8分 所以 ‎， 10分 所以，在上单调递增，故， 11分 故当时，. 12分 ‎21.【解析】（1）记事件为为“恰好检验次就能确定哪两瓶溶液含有细菌”，‎ 事件为“第三次含有细菌且前2次中有一次含有细菌”， ‎ 事件为“前三次均不含有细菌”，则，且事件互斥，‎ 所以. 4分 ‎（2）（i），的取值为，‎ ‎， 6分 所以，‎ 由得，所以； 8分 ‎(ii),所以，所以， 9分 所以，设，，‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减， 11分 又，‎ ‎，‎ 所以的最大值为. 12分 ‎22.【解析】（1）因为的极坐标方程为，即，则，化简得，所以的直角坐标方程为. 3分 参数方程消去参数，得的普通方程为. 5分 ‎（2）设，由点到直线的距离公式得， 7分 由题意知，‎ 当时，，得， 8分 当时，，得， 9分 所以或. 10分 ‎23.证明：证法一、（1）由条件得 ‎ ， 2分 由二元基本不等式可得，，，（等号成立当且仅当），将上述三个不等式相加，从而 ‎， 4分 得证. 5分 ‎（2）由条件得 ‎， 8分 由三元基本不等式得（等号成立当且仅当），‎ 从而得证. 10分 证法二、（1）因为为正数，且满足，‎ 欲证，只需证，‎ 即证. 1分 因为，（当且仅当时取等号） 2分 ‎，（当且仅当时取等号）‎ ‎，（当且仅当时取等号） 3分 将上述三个不等式相加，得，（当且仅当时取等号） 4分 即成立，‎ 所以原不等式成立. 5分 ‎（2）略，同证法一.‎