四川省成都市成都外国语学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

四川省成都市成都外国语学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

成都外国语学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）‎ A. 11 B. 9 C. 5 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由双曲线定义得，即，解得，故选B．‎ 考点：双曲线的标准方程和定义．‎ ‎2.点关于平面的对称点为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据关于平面对称点的坐标的变化特征可直接写出结果.‎ ‎【详解】由对称关系可知，点关于平面对称的点为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查空间直角坐标系中点对称问题，需明确点关于平面对称点的坐标为，属于基础题.‎ ‎3.已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 直线经过点，且斜率为，则 即 故选A ‎4.已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，，，又因为，解得，故选C.‎ 考点：椭圆的基本性质 ‎5.若 ，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎.‎ 分子分母同时除以，即得：.‎ 故选D.‎ ‎6.已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，‎ 所以抛物线焦点坐标为，故答案选 考点：抛物线方程和性质.‎ ‎7.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以．‎ 考点：1、直线和平面垂直判断和性质；2、三棱锥体积．‎ ‎8.直线与圆相切，则（ ）‎ A. -2或12 B. 2或-12 C. -2或-12 D. 2或12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.‎ 考点：本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.‎ ‎9.已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据对称性，不妨设在第一象限，则，‎ ‎∴，故双曲线的方程为，故选D.‎ ‎【考点】双曲线的渐近线 ‎【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：‎ ‎（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．‎ ‎（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．‎ ‎①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．‎ ‎②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．‎ ‎10.曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由曲线方程可知曲线为以为圆心，为半径的圆的的部分，又直线恒过，由数形结合可确定临界状态，分别利用圆的切线的求解和两点连线斜率公式求得临界状态时的取值，进而得到结果.‎ ‎【详解】可化为 曲线表示以为圆心，为半径的圆的的部分 又直线恒过定点 可得图象如下图所示：‎ 当直线为圆的切线时，可得，解得：‎ 当直线过点时，‎ 由图象可知，当与曲线有两个不同交点时，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确曲线所表示的图形和直线恒过的定点，利用数形结合的方式得到临界状态，进而利用直线与圆的知识来进行求解.‎ ‎11.为双曲线上一点，分别为的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. 或 D. 2或3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由于为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于，所以，故外接圆半径为.设内切圆半径为，根据三角形的面积公式，有，解得，故两圆半径比为，化简得，解得或.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的基本概念和性质，考查双曲线的通径长，考查直角三角形的外心和内心的求法.首先根据题意画出图象.根据双曲线的定义，可将直角三角形的三条边长求出来.直角三角形的外心在斜边的中点，而内切圆半径可以采用面积公式，利用等面积法来计算.‎ ‎12.已知双曲线左焦点为，为双曲线右支上一点，若的中点在以O为圆心，以为半径的圆上，则的横坐标为（ ）‎ A. B. 4 C. D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的右焦点，的中点为，因为为底边的中线和高，得到为等腰三角形，在求得的值，再由倍角公式求得，最后利用公式，求得点的横坐标.‎ ‎【详解】如图所示，设双曲线的右焦点，的中点为，‎ 因为为圆的直径，所以，所以，‎ 所以为等腰三角形，所以，‎ 根据双曲线的定义，所以.‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、圆的知识，与三角函数的倍角公式等知识交会，具有较强的综合性，对平面几何知识的要求也较高，考查综合分析问题和解决问题的能力.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可知所求角为，设正方体棱长为，利用勾股定理可求得，从而得到，即为所求结果.‎ ‎【详解】连接 ‎ 异面直线与所成角即为与所成角，即 设正方体棱长 平面，平面 ‎ 又， ‎ 即异面直线与所成角的正切值为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解，关键是能够通过平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题.‎ ‎14.已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意，，解得或者，‎ 而数列是递增的等比数列，所以，‎ 即，所以，‎ 因而数列的前项和，故答案为.‎ 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前项和公式.‎ ‎15.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设A，B，则①，②，‎ ‎∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是，‎ ‎∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即．‎ 考点：椭圆的简单性质 ‎16.如图，已知双曲线的左右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，直线交轴于点，的内切圆切边与点，若，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 设内切圆与AP切于点M,与AF1切于点N，‎ ‎|PF1|=m,|QF1|=n，‎ 由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a,即有m−(n−1)=2a，①‎ 由切线的性质可得|AM|=|AN|,|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，‎ ‎|MF2|=|NF1|=n，‎ 即有m−1=n，②‎ 由①②解得a=1，‎ 由|F1F2|=4，则c=2，‎ 由双曲线的离心率为.‎ 点睛：利用的是图中的几何关系，即数形结合的思想研究数量关系，运算量较小，但是寻找几何关系应该属于难点，解析中常见的几何关系有：中位线定理，直角三角形的勾股定理，斜边中线长为斜边的一半，直角顶点在以斜边为直径的圆上，解三角形的正余弦定理，直线与圆相切时的切线长相等，直线与圆相交的垂径定理等.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn，并求Sn的最小值．‎ ‎【答案】（1）an＝2n－9（2）Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16，最小值为－16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由等差数列通项公式可得：；‎ ‎(2)由等差数列前项和公式可得：，再结合二次函数求最值即可.‎ ‎【详解】解：(1)设的公差为d，由题意得由 得， ‎ 所以通项公式为； ‎ ‎ (2)由(1)得， ‎ 所以当时，取得最小值，最小值为－16.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前项和，属基础题.‎ ‎18.在中，，‎ 求的值；‎ 若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，根据正弦定理可得，从而可求出答案；根据同角的三角函数的关系求出，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出，利用三角形面积公式计算即可．‎ ‎【详解】（1），，‎ 由正弦定理可得.‎ ‎（2）若，则，‎ ‎，‎ ‎，又由可得，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎ 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎19.在平面直角坐标系xOy中，双曲线：经过点，其中一条近线的方程为，椭圆：与双曲线有相同的焦点椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为．‎ 求双曲线的方程；‎ 求椭圆的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线经过点，可得m；再由渐近线方程可得m，n方程，求得n，即可得到所求双曲线的方程；‎ 由椭圆的a，b，c的关系式，求得F，A，B的坐标，可得直线AB的方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程．‎ ‎【详解】解：双曲线：经过点，‎ 可得，‎ 其中一条近线的方程为，可得，‎ 解得，，‎ 即有双曲线的方程为；‎ 椭圆：与双曲线有相同的焦点，‎ 可得，‎ 椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为，，，‎ 由点F到直线AB：的距离为，可得 ‎，化为，‎ 由解得，，‎ 则椭圆的方程为．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎20.已知点，及圆．‎ ‎（1）求过点的圆的切线方程；‎ ‎（2）若过点的直线与圆相交，截得的弦长为，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）或；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当直线斜率不存在时可知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，从而得到所求切线方程；‎ ‎（2）由（1）知直线斜率必存在，设直线方程为，根据垂径定理可知圆心到直线距离，从而构造出方程求得，进而得到所求直线方程.‎ ‎【详解】（1）当直线斜率不存在时，方程为：，与圆相切；‎ 当直线斜率存在时，设方程为：，即 圆心到直线距离，解得：‎ 切线方程为：，即 综上所述：过的切线方程为：或 ‎（2）由（1）知，过直线与圆相交，则直线斜率必存在 设直线方程为：，即 圆心到直线距离 又相交弦长为，圆半径为，则，即 解得：或 所求直线方程为：或 ‎【点睛】本题考查圆的切线方程的求解、根据直线与圆相交所得弦长求解直线方程的问题；关键是能够熟练应用圆心到直线的距离构造方程求得结果，属于常考题型.‎ ‎21.设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）求过点且与的准线相切的圆的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设直线的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式可构造方程求得的值，即可求得直线的方程；‎ ‎（2）设圆心坐标为，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．‎ ‎【详解】（1）由题意知：抛物线的焦点为 设直线的方程为，设， ‎ 由整理得：，则，‎ 由，解得：‎ 直线的方程为：‎ ‎（2）由（1）可得的中点坐标为 则直线的垂直平分线方程为：，即 设所求圆的圆心坐标为，则 解得：或 圆的半径为或 所求圆的方程为：或 ‎【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，转换思想的应用，属于中档题．‎ ‎22.已知椭圆 的长轴长为4，焦距为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过动点的直线交轴与点，交于点 (在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点.‎ ‎（ⅰ）设直线的斜率分别为，证明为定值；‎ ‎（ⅱ）求直线的斜率的最小值. ‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）见解析，（ⅱ）直线AB 的斜率的最小值为 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）分别计算a,b即得.‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）设，由M(0,m)，可得的坐标，进而得到直线PM的斜率，直线QM的斜率，可得为定值.‎ ‎（ⅱ）设.直线PA的方程为y=kx+m，直线QB的方程为y=–3kx+m.联立应用一元二次方程根与系数的关系得到，，进而可得应用基本不等式即得.‎ 试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c.‎ 由题意知，‎ 所以.‎ 所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）设，‎ 由M(0,m)，可得 所以直线PM的斜率，‎ 直线QM的斜率.‎ 此时.‎ 所以为定值–3.‎ ‎（ⅱ）设.‎ 直线PA的方程为y=kx+m，‎ 直线QB的方程为y=–3kx+m.‎ 联立 整理得.‎ 由，可得，‎ 所以.‎ 同理.‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以 由，可知k>0，‎ 所以，等号当且仅当时取得.‎ 此时，即，符号题意.‎ 所以直线AB 的斜率的最小值为.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，基本不等式 ‎【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）的方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系，得到关于参数的解析式或方程是关键，易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错误百出..本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分析问题、解决问题的能力等.‎ ‎ ‎