高二数学选修4-4~4_1_2(2)极坐标与直角坐标互化

高二数学选修4-4~4_1_2(2)极坐标与直角坐标互化

4.1.2(2) 极坐标和直角坐标的互化 学习目标 : 1 ）掌握极坐标和直角坐标的互化关系式； 2 ）会实现极坐标和直角坐标之间的互化； 学习难点 : 对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解； 学习重点 : 互化关系式的掌握； 高中数学选修 4-4 坐标系与参数方程 新课引言 经过前面学习我们知道：极坐标系与直角坐标系是两种不同的坐标系，而在这两种坐标系中都可以用来确定点的位置，且其各有特点。通常在运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点作旋转变动，则采用极坐标系。 为研究问题方便，充分发挥两种坐标系的长处，又需将点的极坐标与直角坐标进行互化。 (1) 极坐标系是怎样定义的 ? (2) 极坐标系与直角坐标系有何异同 ? 已知平面内的一个点的直角坐标是 (1, ) 思考 2: 问这个点如何用极坐标表示 ? 复习回顾 思考 1: O x y 在直角坐标系中 , 以原点作为极点 , x 轴的正半轴作为极轴 , 并且两种坐标系中取相同的长度单位 . （如图示） 由点 M 的直角坐标为 θ 设点 M 的极坐标为 ( ρ ,θ) 思考分析 ∴ 点 M 的直角坐标为 极坐标与直角坐标的互化关系式 : 设点 M 的直角坐标是 ( x, y ) 其极坐标是 ( ρ , θ ) 则有 x =ρ cosθ , y =ρ sinθ 结论归纳 O x y θ 互化公式的三个前提条件： 1 ）极点与直角坐标系的原点重合 ; 2 ）极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合 ; 3 ）两种坐标系的单位长度必须相同 . 友情提醒 示例 1. 将点 M 的极坐标 化成直角坐标 . 解 : 所以 , 点 M 的直角坐标为 例题分析 则有 特此声明 已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。 练一练 示例 2. 将点 M 的直角坐标 化成极坐标 . 解 : 因为点在第三象限 , 所以 故点 M 的极坐标为 例题分析 则有 特此声明 通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时， 取 . 思考 : 当直角坐标化为极坐标时 , 极角是如何确定的？ 练习 : 已知点的直角坐标 , 求它们的极坐标 . 练一练 O x A B 例题分析 例 3 已知两点（ 2 ， ），（ 3 ， ） 求两点间的距离 . 数形结合分析 ! 练一练 某地区原计划经过 B 地沿着东北方向修建一条高速公路 . 但在 A 村北偏西 30 0 方向距 A 村 500 米处，发现一古代文物遗址 W ， 经过初步勘测，文物管理部门将遗址 W 周围 200 米划为禁区。 已知 B 地位于 A 村的正西方向 1 千米处，试问：修建高速公路 的计划需要改变吗？如图示： A W B C 课堂小结 极坐标系与直角坐标系是两种不同的坐标系，而在这两种坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常在运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点作旋转变动，则采用极坐标系。 互化公式 课外作业