专题03+算法初步、框图（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

专题03+算法初步、框图（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

本专题要特别小心：‎ ‎1.注意赋值陷阱；‎ ‎2.算法类型陷阱；‎ ‎3.隐含条件陷阱；‎ ‎4.与几何概型联系陷阱；‎ ‎5.与数列联系陷阱；‎ ‎6.古典算法陷阱；‎ ‎7.数学文化类型；‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．了解算法的含义，了解算法的思想；理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．‎ ‎2．理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．‎ ‎3．初步了解几个典型的算法案例．‎ ‎【知识要点】‎ ‎1．算法通常是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤，必须是明确和有序的，而且能够在有限步之内完成．‎ ‎2．程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．通常程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤，流程线带方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来．‎ ‎3．三种基本逻辑结构 ‎(1)顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，其结构形式为：‎ ‎(2)条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式，即：‎ ‎(3)循环结构是指从某处开始，按照一定的条件反复执行处理某一步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．循环结构又分为当型循环和直到型循环．结构形式为：‎ ‎4．基本算法语句 ‎(1)输入、输出语句和赋值语句：‎ 输入语句格式：INPUT“提示内容”；变量；‎ 输出语句格式：PRINT“提示内容”；表达式；‎ 赋值语句格式：变量＝表达式．‎ ‎(2)条件语句：‎ ‎①框图：‎ ‎②条件语句格式：‎ IF—THEN格式 IF—THEN—ELSE格式 ‎5．循环语句 循环语句的格式 ‎①UNTIL语句 ‎②WHILE语句 ‎③顺序结构是每个算法结构都含有的，而对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体．循环结构和条件结构都含有顺序结构．‎ ‎④利用循环结构表示算法，第一要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累计的变量；第三要注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．‎ ‎6．算法案例 ‎(1)辗转相除法与更相减损术 ‎①辗转相除法：求两个正整数的最大公约数的方法，用较大的数m除以较小的数n得到余数r ‎ 反复操作，直到余数为0为止，即m＝nt＋r(0≤r＜n)．因此要用“后测试型”循环语句表示，其程序如下：‎ INPUT m，n DO r＝m MOD n m＝n n＝r LOOP UNTIL r＝0‎ PRINT m END ‎②更相减损术是求两个正整数的最大公约数的算法 ．用较大数减去较小数，再用差数和较小数构成一对新数，再用大数减去小数，以同样的操作一直做下去，直到所得的数相等为止．这一过程可由循环语句表达算法，其程序如下：‎ INPUT a，b WHILE a＜＞b IF a＞b THEN a＝a－b ELSE b＝b－a END　IF WEND PRINT a，b END ‎(2)秦九韶算法 n次多项式 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0‎ ‎＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0‎ ‎…‎ ‎＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0‎ 得到递推公式 v0＝an且vk＝vk－1x＋an－k，其中k＝1，2，…，n 其算法可用循环语句来实现．‎ ‎(3)进位制 ‎①将十进制数化为二进制数的算法称为除2取余法；将十进制数化为k进制数的算法称为除k取余法．‎ ‎②将k进制数化为十进制数的算法步骤为：‎ 第一步：从左到右依次取k进制数anan－1…a‎1a0(k)各位上的数字乘以k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即an·kn，an－1·kn－1，…，a1·k，a0·k0；‎ 第二步：把所有积加起来，就得到十进制数．‎ 训练试题 一、单选题 ‎1．【朝阳市2018届高三第三次模拟试题】执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）‎ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【方法总结】： 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎2．【华大联盟2018届高三4月检测题】秦久韶算法是中国古代数学史上的—个“神机妙算”，它将一元次多项式转化为个一次式的算法，大大简化了计算过程，即使在现代用计算机解决多项式求值问题时，秦久韶算法依然是最优的算法.如图所示的程序框图展示了求值的秦久韶算法，那么判断框可以填入的条件的输出的结果表示的值分别是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为 ‎，‎ 所以选A.‎ ‎3．【天一大联考数学试题】转化为十进制数是( )‎ A. 46 B. 47 C. 66 D. 67‎ ‎【答案】B ‎【方法总结】由二进制转化为十进制的方法,我们只要依次累加各位数字上的数乘以该数位的权重,即可得到十进制数；二进制、八进制、十进制与十六进制，它们之间区别在于数运算时是逢几进一位。比如二进制是逢进一位，十进制也就是我们常用的是逢进一位.‎ ‎4．【广东省2018高三下学期模拟】在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 详解：由题意，得每个格子所放麦粒数目形成等比数列，且首项，公比，所设计程序框图的功能应是计算，经验证，得选项B符合要求.故选B. ‎ ‎【方法总结】本题以数学文化为载体考查程序框图的功能，属于基础题.‎ ‎5．【湖南省株洲市2018届检测（二）】《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。其书中的更相减损法的思路与右边的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的 分别为 12，15，则输出的等于( )‎ A. 3 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】执行程序一次，，执行第二次程序，，第三次执行程序，，第四次执行程序后，因为跳出循环，输出，故选A. ‎ ‎6．【安徽省安庆市2018届高三二模】中国古代有计算多项式的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，3，7，则输出的s等于 A. 7 B. 8 C. 21 D. 49‎ ‎【答案】C ‎【方法总结】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎7．【贵阳第一中学2018届高考适应性月考卷（七）】已知函数，执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎8．【贵州省2018年普高等学校招生适应性考试】阅读如下框图，运行相应的程序，若输入的值为8，则输出的值为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】第一次n=8，8不能被3整除，n=8﹣1=7，n=7≤3不成立，‎ 第二次n=7，不能被3整除，n=7﹣1=6，n==2≤3成立，‎ 输出n=2，‎ 故选：C．‎ ‎【方法总结】本题的实质是累加满足条件的数据，可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分以下步骤：‎ ‎（1）观察S的表达式分析，确定循环的初值、终值、步长；‎ ‎（2）观察每次累加的值的通项公式；‎ ‎（3）在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值；‎ ‎（4）在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长；‎ ‎（5）输出累加（乘）值．‎ ‎9．【辽宁省辽南2018学年高三下学期模拟】.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内正接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为(参考数据： )（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎10．【衡水金卷】数学猜想是推动数学理论发展的强大动力，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.下面是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的为 （ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B 故输出，结束算法.‎ 故选 ‎11．[2018·厦门期末]习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前项和的程序框图．执行该程序框图，输入，则输出的（ ）‎ A. 44 B. 68 C. 100 D. 140‎ ‎【答案】C 第6次运行， ，不符合 ，继续运行；‎ 第7次运行， ，不符合 ，继续运行；‎ 第8次运行， ，符合 ，推出运行，输出 ；‎ 故选C ‎12．【2018年衡水金卷调研卷 】意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出.则最后输出的结果等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 故选：D ‎【方法总结】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) ‎ 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. ‎ ‎13．【内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗试题】某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间(小时)，不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是(　　)‎ A. 11小时 B. 13小时 C. 15小时 D. 17小时 ‎【答案】B ‎【解析】经到的时间为小时， 经、到时间为小时； 经到时间为小时； 经到时间为小时，故到三道工序都完成的最短时间就为小时，则经到时间为小时，即组装该产品所需要的最短时间是小时，故选B.‎ ‎14． 【衡水金卷】执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）‎ A. 25 B. 26 C. 24 D. 23‎ ‎【答案】A 本题选择A选项.‎ ‎15．【湖南省张家界市2018届高三第三次模拟】数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”.图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ）‎ A. 336 B. 510 C. 1326 D. 3603‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，图2中的“结绳计数”法是七进制计数法，所以图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为.故选B.‎ ‎16．【广西陆川县中学2018届高三3月月考】习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入，则输出的S=‎ A. 26 B. 44 C. 68 D. 100‎ ‎【答案】B ‎【方法总结】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. ‎ ‎17．【黑龙江省齐齐哈尔市2018届高三第一次模拟】我国南宋时期的数学家秦九部(约1202-1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输人的n=5,v=1,x=2,则程序框图计算的是 A. 2+2+2+2+2+1　　B. 2+2+2+2+2+5　　C. 2+2+2+2+2+2+1　　D. 2‎ ‎+2+2+2+1‎ ‎【答案】A ‎【方法总结】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎18．【陕西省榆林市2018届高三高考模拟第二次测试】《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重长两；石方一寸，重六两。今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的分别为（ ）‎ A. 90，86 B. 94，82 C. 98，78 D. 102，74‎ ‎【答案】C ‎【解析】执行程序：x = 86，y = 90，y ≠27；x = 90，y = 86，y ≠27；x = 94，y = 82，y ≠27；x = 98，y = 78，y = 27，故输出的x，y分别为98，78. ‎ 故选：C ‎19．【新疆乌鲁木齐市2018年高三年级第二次质量监测】公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（已知： ) ‎ A. 12 B. 20 C. 24 D. 48‎ ‎【答案】C ‎20．【河北省邯郸市2018届高三第一次模拟考试数学】我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S的单位为钱，则输出的x，y分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【方法总结】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. ‎ ‎21．给出以下四个问题:‎ ‎(1)输入x,输出|x-2|的值.‎ ‎(2)求面积为6的等边三角形的边长.‎ ‎(3)求三个数a,b,c中的最小数.‎ ‎(4)求函数f(x)=的函数值.‎ 其中不需要用条件分支结构来描述其算法的有(　　)‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】A ‎【解析】（1）（3）（4）都是需要判断的，需要采用条件分支结构；（2）只需根据面积公式计算得到边长即可。所以不需要条件分支结构的1个。故选A。‎ ‎22．【浙江省温州市十五校联合体2017-2018学年联考】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“今有中试举人壹百名，第一名官给银一百两，自第二名以下挨次各减五钱，问：该银若干？”其大意是：现有100名中试举人，朝廷发银子奖励他们，第1名发银子100两，自第2名起，依次比前一名少发5钱（每10钱为1两），问：朝廷总共发了多少银子？经计算得，朝廷共发银子______两.‎ ‎【答案】7525‎ ‎23．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟】如图所示的茎叶图为高三某班54名学生的政治考试成绩，程序框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的和的值分别是__________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】86，13‎ ‎【解析】S为大于等于80分的学生的平均成绩，计算得S=86；n表示60分以下的学生人数，由茎叶图可知n=13.‎ ‎24．给出下面程序框图,其功能是求函数_______的函数值. ‎ ‎【答案】y=‎ 方法规律总结 ‎1．了解算法思想，理解算法含义的关键在于体现程序或步骤的明确性和有限性．‎ ‎2．深刻理解算法的三种逻辑结构特征，需通过实际例子体会算法流程的全过程，认清所解决问题的实质．如解决分段函数的求值问题时，一般采用条件结构设计算法；如累加求和，累乘求积等问题，往往包含循环过程，非常适合计算机处理，这类问题很多程序框图都用循环结构进行设计，同时也要注意三种基 ‎3．特别提醒的是，程序框图主要包括三个部分：(1)弄清相应操作框的内容；(2)带箭头的流程线及判断框的条件；(3)框内外必要的文字说明和算法功能．读懂流程图要从这三方面研究，流程线反映了流程执行的先后顺序，主要看箭头方向，框内外文字说明了操作内容以及流向．‎ ‎4．(1)辗转相除法与更相减损术是求两个正整数的最大公约数的两种方法，关键是掌握这两种算法的操作步骤，计算时应认真、细心，确保中间结果的准确性，因为下一次计算要用到上一次计算的结果．‎ ‎(2)利用“除k取余法”将十进制数化为k 进制数时，要把各步所得余数从下到上排，切莫把顺序弄错．‎ ‎(3)利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是正确地将多项式改写，然后由内向外逐次计算．由于本次计算用到上一次计算的结果，同样应认真、细致地计算每一步，确保每一步结果的准确性．‎