【导与练】2017届高三数学（文）二轮复习（全国通用）方法突破 专题二 数学思想方法
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专题二 数学思想方法
(限时:45分钟)
重点把关
1.(2016·河南六市二联)已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于( A )
(A)1 (B)2 (C)-2 (D)3
2.(2016·安徽百校二联)已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,c=λa+μb,若a⊥c,则下列结论正确的是( D )
(A)λ-μ=0 (B)λ+μ=0
(C)2λ-μ=0 (D)2λ+μ=0
3.(2016·湖北高三模拟)已知x,y满足+y2=1,则u=|2x+y-4|+
|3-x-2y|的取值范围为( D )
(A)[1,12] (B)[0,6]
(C)[0,12] (D)[1,13]
解析:根据椭圆方程可得,直线2x+y-4=0与直线x+2y-3=0均与椭圆相离,且在含有椭圆的半平面内,均使2x+y-4<0,x+2y-3<0,所以u=-(2x+y-4)-(x+2y-3)=-3x-3y+7.
设x=cos α,y=sin α,则u=-3(cos α+sin α)+7=-6sin(α+
)+7∈ [1,13].故选D.
4.(2016·江西景德镇重点中学一联)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=a·b=2,(a-c)·(b-2c)=0,则|b-c|的最小值为( B )
(A) (B)
(C) (D)
解析:法一 由已知,得向量a,b的夹角为.(a-c)·(b-2c)=0,即(a-c)·(-c)=0,即向量(a-c)⊥(-c),
如图,把向量a,b,c的起点放置在点O,记OB中点为D,则点C在以AD为直径的圆E上,点B,C之间的距离即为|b-c|,所以|b-c|的最小值为
|BE|-|AD|.
在△OAD中,OA=2,OD=1,∠AOD=60°,可得|AD|=,且AD⊥OB,
所以|BE|==,
所以|BE|-|AD|=,即为所求的最小值.故选B.
法二 由已知,得向量a,b的夹角为.建立平面直角坐标系,设a=(2,0),b=(1,),c=(x,y),则(2-x,-y)·(1-2x,-2y)=0,整理,得(x-)2+(y-)2=()2.
|b-c|的几何意义是圆(x-)2+(y-)2=()2上点(x,y)到点(1,)的距离,故其最小值为-=.故选B.
5.(2016·福建厦门一检)已知点列An(an,bn)(n∈N*)是函数y=ax(a>0,a≠1)图象上的点,点列Bn(n,0)满足|AnBn|=|AnBn+1|,若数列{bn}中任意相邻三项能构成三角形三边,则a的取值范围是( B )
(A)0
(B)
(D)1时,bn-1bn+1,解得10),则a=3t,
于是c2=a2+b2=9t2+·25t2=49t2.
即c=7t.
由余弦定理得cos C===-.
所以C=.
能力提升
9.(2016·安庆二模)已知数列{an}是各项均不为零的等差数列,Sn为其前n项和,且an=(n∈N*).若不等式≤对任意n∈N*恒成立,则实数λ的最大值为 .
解析:an=⇒an=
=,
⇒=(2n-1)an⇒an=2n-1,n∈N*.
≤就是λ≤⇒λ≤2n-+15.
2n-+15在n≥1时单调递增,其最小为9,所以λ≤9,
故实数λ的最大值为9.
答案:9
10.(2016·吉林四调)已知公差不为零的等差数列{an}中,a3=7,且a2,a4,a9成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足bn=(),设其前n项和为Sn,
求证:≤Sn<.
(1)解:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
由已知得=a2a9,
即(a3+d)2=(a3-d)(a3+6d),
又a3=7,d≠0,故d=3.
从而a1=1,数列{an}的通项公式an=3n-2.
(2)证明:由(1)知bn=()3n-2,
故Sn==[1-()n]<.
又bn=()3n-2>0.
因此Sn≥S1=,
故≤Sn<.
11.(2016·江西九江三模)已知函数f(x)=x2+ax-ln x,g(x)=ex(a
∈R).
(1)是否存在a及过原点的直线l,使得直线l与曲线y=f(x),y=g(x)均相切?若存在,求a动点值及直线l动点方程;若不存在,请说明
理由;
(2)若函数F(x)=在区间(0,1]上是单调函数,求a的取值范围.
解:(1)因为g′(x)=ex,设曲线y=g(x)在点(x1,)处切线过原点,
则切线方程为y=x,
因为点(x1,)在切线上,
所以=·x1,
所以x1=1,
所以切线方程为y=ex,
设直线y=ex与曲线y=f(x)切于点(x2,y2),
因为f′(x)=2x+a-,
所以f′(x2)=2x2+a-=e,
所以a=e-2x2+.
又因为+ax2-ln x2=ex2,
所以+(e-2x2+)x2-ln x2=ex2,
所以+ln x2-1=0,解得x2=1,
所以a=e-1.
故存在a=e-1及l:y=ex,使得直线l与曲线y=f(x),y=g(x)均相切.
(2)F(x)=,
F′(x)=,
令h(x)=-x2+(2-a)x+a-+ln x,
则h′(x)=-2x+++2-a,
易知h′(x)在(0,1]上单调递减,从而h′(x)≥h′(1)=2-a.
①当2-a≥0时,即a≤2时,h′(x)≥0,h(x)在区间(0,1]上单调递增,
因为h(1)=0,
所以h(x)≤0在(0,1]上恒成立,
即F′(x)≤0在(0,1]上恒成立.
所以F(x)在区间(0,1]上单调递减,
所以a≤2满足题意.
②当2-a<0时,即a>2时,
因为h′(1)=2-a<0,
当x>0且x→0时,h′(x)→+∞,
故函数h′(x)存在唯一零点x0∈(0,1],且h(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,
又因为h(1)=0,
所以F(x)在(x0,1)上单调递增.
注意到h(e-a)<0,e-a∈(0,x0),
所以F(x)在(0,e-a)上单调递减,这与F(x)在区间(0,1]上是单调函数矛盾,
所以a>2不合题意.
综合①②得,a的取值范围是(-∞,2].
创新选做
12.(2016·湖北武汉调研)若关于x的不等式acos 2x+cos x≥-1恒成立,则实数a的取值范围是 .
解析:不等式可以化为2acos2 x+cos x-a+1≥0,
令t=cos x,则t∈[-1,1].
令f(t)=2at2+t-a+1.
若a=0,则f(t)=t+1≥0恒成立.
若a<0,二次函数y=f(t)开口向下,故只要即可,此时
无解.
a>0时,二次函数y=f(t)的对称轴方程为t=-.
若0,则只要f(-)=--a+1≥0,
整理,得8a2-8a+1≤0,
解得≤a≤,
所以
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