浙江省浙东北联盟2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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www.ks5u.com 浙东北联盟（ZDB）2019-2020学年高一上学期期中联考 数学试题 总分150分　　考试时间120分 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合交集的定义，即可求出答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.本题需注意集合交集的定义：且.需注意区分交集符号： ；并集符号： .‎ ‎2.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的真数大于0,即可解出其定义域.‎ ‎【详解】‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域,属于基础题.函数的定义域一般考查：①偶次根式大于等于0；②分式的分母不为0；③0的0 次幂无意义；④对数的底数大于0且不等于1、真数大于0.‎ ‎3.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据初等函数的性质，分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同，对每个选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】对于A，函数，所以两个函数的对应法则不相同，故A错误；‎ 对于B，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，故B错误；‎ 对于C，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，故C错误；‎ 对于D，函数的定义域为，的定义域为，，两个函数的定义域和对应法则相同，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系，相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系．要使数与的同一函数，必须满足定义域和对应法则完全相同即可，注意分析各个选项中的个函数的定义域和对应法则是否相同，通常的先后顺序为先比较定义域是否相同，其次看对应关系或值域.‎ ‎4.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的单调性，可知道、，有指数函数的单调性知道，即可选出答案.‎ ‎【详解】因为为增函数，所以.‎ 因为增函数，所以.‎ 因为为增函数，所以.‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用指数函数与对数函数的单调性比较大小，属于基础题.解此类题型一般都只需将所给数与0或1比较大小，即可得出结论.‎ ‎5.函数的图像为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义域为可排除B、D.再由单调性即可选出答案.‎ ‎【详解】当时，，故排除B、D.‎ 当时，，故A正确.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的图像，属于基础题.解决本类题型的两种思路：①将初等函数的图像通过平移、伸缩、对称变换选出答案，对学生能力要求较高;②根据选项代入具体的值，判断 的正负号.‎ ‎6.若函数的定义域为，则的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数中，即可得出，即可选出答案.‎ ‎【详解】因为函数的定义域为，即 ‎ 所以 所以的定义域是 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查隐函数的定义域，属于基础题.解本题的关键在于正确理解函数的定义域是的取值范围与同一个函数其括号里面的取值范围一样.‎ ‎7.函数的值域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，即可根据指数函数的性质求出的值域.‎ ‎【详解】令，则.‎ ‎，因为 所以，‎ 所以 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查简单复合函数的值域，属于基础题.解决本类问题的思路是先找到内层函数的取值范围，再由外层函数的单调性求出该函数的值域.‎ ‎8.设函数，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，即可化简出，再代入,即可得出答案.‎ ‎【详解】由题意知：.‎ 所以.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查函数对称点的函数值，属于基础题,解本类题只需将已知函数值代入，化简为所求函数值的形式，即可解出答案.‎ ‎9.已知，函数，若，则下列不等式不可能成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由知函数为二次函数，且对称轴为,分别讨论开口方向，即可选出答案.‎ ‎【详解】因为.‎ 所以函数关于对称.即.选项中不等式不可能成立的，则只需找到与，都不能成立的选项.‎ ‎①若，则函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 又，故,A正确.‎ 因为，所以，又 ‎ 即，B正确.‎ ‎,即，D错误.‎ 因为，故,C错误.‎ ‎②若，则函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 又，故,A错误.‎ 因为，所以，又 ‎ 即，B错误.‎ 又,即，D正确.‎ 因为，故,C错误.‎ 综上所述：不管还是，C都不可能成立.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据二次函数的对称性与单调性比较大小,属于中档题.解本题的关键在于找到二次函数的对称轴与开口方向.‎ ‎10.已知函数，，则方程的实根个数为（ ）‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解,即解.再分与，分别找到函数与在区间、、‎ 上的单调性，则可找到方程的实数根的个数.‎ ‎【详解】 ‎ ‎1），,.‎ ‎①当时，.即在上有1个零点.‎ ‎②当时，，记，‎ 因为 在 上单调递增，在单调递增，‎ 所以在单调递增,‎ 又，，由零点存在定理知道在上有唯一零点.‎ ‎③当时，，记,,记，开口向下，且，即恒成立,即，即在上单调递减,‎ 又，即在上存在且有唯一零点.‎ ‎2），,.‎ ‎①当时，无解.即在上无零点.‎ ‎②当时，，记，‎ 因为 在 上单调递增，在单调递增，‎ 所以在单调递增,‎ 又，，由零点存在定理知道在上无零点.‎ ‎③当时，，记,,记，开口向下，且，即恒成立,即，即在上单调递减,‎ 又，即在上存在且有唯一零点.‎ 综上所述：方程的实根个数为4个.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的零点个数,属于难题,解本题的关键在于将绝对值等式解开后，根据分段函数的性质，在各段上求出其零点个数，再加起来即为答案.‎ 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分 ‎11.用符号“”或“”填空：若，则4______，______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据元素与集合、集合与集合的关系，即可写出答案.‎ ‎【详解】因为，所以 ，‎ 故答案为：(1). (2). ‎ ‎【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合的关系，属于基础题.注意区分元素与集合：属于 、不属于 ；集合与集合的关系：包含关系 .‎ ‎12.已知幂函数的图像过点，则这个函数的解析式为___________，若，则的值为___________．‎ ‎【答案】 (1). (2). 4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出幂函数，代入即可求出,即可求出解析式，再由，即可求出的值.‎ ‎【详解】设函数，则.‎ 所以.‎ 故答案为：(1). (2). 4.‎ ‎【点睛】本题考查幂函数，属于基础题.幂函数的考查方式相对于其他函数较为单一,只需掌握幂函数简单性质即可.‎ ‎13.已知全集，，，则集合为___________，集合共有___________个子集．‎ ‎【答案】 (1). (2). 4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的交集、补集定义，即可求出,则可求出其子集个数与.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以 所以,集合的子集个数为个 故答案为：(1). (2). 4.‎ ‎【点睛】本题考查根据集合的交集与补集写出集合，集合子集的个数.属于基础题.若集合中有个元素，则其共有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集.‎ ‎14.设函数，则___________，不等式的解集是______．‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，即，即可得出答案. 要解不等式，只需按与分段解出后再求并集即可.‎ ‎【详解】因为，所以,‎ 即.‎ ‎①当时：.‎ ‎②当时：.‎ 综上所述：的解集为.‎ 故答案为：(1).1(2)..‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的函数值,解分段函数的不等式,属于基础题.多重函数的求值，只需由内向外依次求出即可,涉及分段函数的等式或者不等式，只需分段解决即可.‎ ‎15.已知是定义在上的增函数，那么的取值范围是 ‎___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数在上单调递增，其在各段上单调递增，且界点左边的函数值小于等于右边的函数值，即可列出等式，解出即为答案.‎ ‎【详解】因为是定义在上的增函数.‎ 所以 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查由分段函数在上单调递增，求出参数的取值范围,属于基础题.本类题型有两种考法：①分段函数在上单调递增：其在各段上单调递增，且界点左边的函数值小于等于右边的函数值.②分段函数在上单调递减：其在各段上单调递减，且界点左边的函数值大于等于右边的函数值.‎ ‎16.函数在区间内不单调，则的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数在区间内不单调，可知道在区间内不单调，再由得单调性，即可列出不等式，解出即可.‎ ‎【详解】令，则，因为在区间内不单调，‎ 即在区间内不单调，‎ 又因为在单调递减,在上单调递增.‎ 所以解得 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的单调性，绝对值函数的单调区间,属于基础题.解本类题型需正确理解题意，不单调即为既有单增区间也有单减区间.‎ ‎17.若已知函数，，用，表示，中的最小值，设函数，若有两个不同实根，则实数的值为___________．‎ ‎【答案】或-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论函数的对称轴位置，而后再讨论其在的零点的个数，结合的图像，即可得出结论.‎ ‎【详解】函数的对称轴为，.‎ ‎1）若，即时： 在上单调递增，即,在上单调递减，,只有一个根 .如图所示:‎ ‎2）若，即时： .‎ ‎ ①当时，，，,只有一个根 .如图所示:‎ ‎②当时，， ，‎ ‎,有两个根、.如图所示:‎ ‎③当时，要使有两个一个根，则必使，解得.‎ 综上所述：或.‎ 故答案为：或-1.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的零点的个数，求参数的取值.属于难题.讨论过程比较抽象，可画出图像帮助我们分析.解本题还需正确理解取小函数的意义.‎ 三、解答题：5小题，共74分 ‎18.已知集合，，．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）集合并集为两集合所有元素构成的集合，交集为两集合相同的元素构成的集合，A的补集为全集中除去集合A中的元素，剩余的元素构成的集合；（2）由可知两集合有相同的元素，从而得到集合边界值的大小关系，即关于的不等式，求解其范围 试题解析：（1）‎ ‎（2）因为，，且 所以的取值范围是 考点：集合的交并补运算 ‎19.化简或求值：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）；‎ ‎（Ⅲ）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）1 （Ⅱ） （Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将根式化为指数形式,再利用指数的运算性质，化简得出答案.‎ ‎（Ⅱ）利用指数的运算性质化简，再求和即可得出答案.‎ ‎（Ⅲ）利用对数的运算性质化简，再求和即可得出答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）原式 ‎.‎ ‎（Ⅲ）原式 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查根式化指数式，指数、对数的运算，属于基础题.解本题需熟练掌握根式与指数式的互化，指数与对数的运算性质.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）试判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明；‎ ‎（3）求函数在区间上的最值．‎ ‎【答案】（1）非奇非偶函数.（2）增函数；证明见解析 （3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据解析式，即可求出的定义域，其不关于原点对称,即可说明为非奇非偶函数.‎ ‎（2）利用单调性的定义：取值-作差-变形-判断正负号-得出结论.‎ ‎（3）由（2）知函数在区间上单调递减，即，，解出即可.‎ ‎【详解】解：（1）的定义域为,不关于原点对称 所以函数为非奇非偶函数.‎ ‎（2）任取，且，则 ‎，‎ 因为，，，‎ 所以，所以，‎ 即函数在区间上是增函数.‎ ‎（3）函数在区间上单调递减，‎ 所以，.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性，利用函数单调性的定义证明单调性,函数在定区间上的值域.属于基础题.其中函数奇偶性的判断：①定义域关于原点对称;②为偶函数，为奇函数.证明函数的单调性步骤为：取值-作差-变形-判断正负号-得出结论.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）当，求函数的单调区间；‎ ‎（2）对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）单调减区间，无单调增区间；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性，即可的出的单调减区间为，无单调增区间.‎ ‎（2）问题等价于当时，恒成立且恒成立，先解在上恒成立，利用参变分离化简即可求出.根据，函数开口向下,在上要恒大于0,只需 ，解出再与取交集即可.‎ ‎【详解】解：（1）因为，所以，定义域为,‎ 记，在上单调递增, 在上单调递减.‎ 所以在上单调递减，‎ 所以的单调减区间为，无单调增区间.‎ ‎（2）原问题等价于当时，‎ 恒成立且恒成立，‎ 恒成立 即，‎ 因为，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的单调区间与不等式恒成立问题,属于中档题.解本题需要注意的是：对于，不等式恒成立的等价命题是当时，恒成立且恒成立.其中的这个条件是非常容易忽略的.在研究函数的性质时需牢记一点：定义域优先.‎ ‎22.已知函数在区间上是单调函数．‎ ‎（1）求实数所有取值组成的集合；‎ ‎（2）试写出在区间上最大值；‎ ‎（3）设，令，若对任意，总有，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2） （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为为开口向上的二次函数，故其在对称轴左边单调递减，对称轴右边单调递增. 函数在区间上是单调函数，等价于区间在对称轴的左边或者右边.列出不等式解出即可.‎ ‎（2）讨论在上的单调性，分别求出其最大值,再写成分段函数的形式即可.‎ ‎（3）根据题意写出,对任意，总有等价于且，则分别讨论与 的大小关系，找到其对应的与，代入即可解出答案.‎ ‎【详解】解：（1）对称轴.‎ 所以或.‎ ‎（2）①当 ，即时.‎ 函数上单调递增.‎ 所以.‎ ‎②当，即时.‎ 函数在上单调递减.‎ 所以.‎ 综上所述：. （3）.‎ 由题意得，，‎ 画出函数的图像：‎ ‎①当时，在单调递减.‎ 所以，.‎ 代入，解得，舍.‎ ‎②当时，在单调递减，在上单调递增. ，.‎ 代入，解得，所以，‎ ‎③当时，在单调递减，在上单调递增. ， .‎ 代入，化简得,解得或，‎ 所以.‎ ‎④当时，在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎，.‎ 代入，解得，所以，‎ ‎⑤当时，在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎，.‎ 代入，解得，‎ 综上所述：.即 .‎ ‎【点睛】本题考查含参二次函数的单调性、在定区间上的最值，含绝对值的不等式恒成立问题.属于难题.解本题的关键在于能够正确画出函数的图像，根据图像确定参数的讨论标准.‎ ‎ ‎