2018届二轮复习专题15导数法巧解单调性问题学案（全国通用）

2018届二轮复习专题15导数法巧解单调性问题学案（全国通用）

专题15 导数法巧解单调性问题 ‎ 考纲要求:‎ ‎1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)．‎ ‎2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).‎ 基础知识回顾:‎ 用导数研究函数的单调性 ‎（1）用导数证明函数的单调性 证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0‎ ‎（2）用导数求函数的单调区间 求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间。‎ 一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数 一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数 ‎（3）单调性的应用（已知函数单调性）‎ 一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥‎ ‎【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式＞（＜)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。‎ ‎②已知函数的增（减）区间，应得到≥（≤）0，必须要带上等号。‎ ‎③求函数的单调增（减）区间，要解不等式＞0，此处不能带上等号。‎ ‎④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“”连接。‎ 应用举例:‎ 类型一、判断或证明函数的单调性 ‎【例1】【云南省师范大学附属中学2018届高三高考适应性月考】‎ 设函数 ‎（1）若，求过原点与相切的直线方程；‎ ‎（2）判断在上的单调性并证明.‎ ‎【答案】(1)；(2)当时，在上单调递增；当时，在 上单减，在上单增．.‎ 即当时，在上单调递增；‎ 当，即时，解得，‎ 即当时，在上单减，在上单增．‎ 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在 上单减，在上单增．‎ ‎【例2】【2017广东省珠海市高三摸底考试】函数f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)．讨论f(x)的单调性．‎ ‎【答案】见解析 点评：导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的3步骤 ‎(1)一求．求f′(x)；‎ ‎(2)二定．确认f′(x)在(a，b)内的符号；‎ ‎(3)三结论．作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．‎ ‎[提醒]　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．‎ 类型二、求函数的单调区间 ‎【例3】【山东省济南第一中学2018届高三上学期开学考试】已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)求函数的单调区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）增区间是和，减区间是.‎ ‎(2)，令，即，‎ 解得，，当或时，，‎ 当时，，‎ 故的增区间是和.‎ 减区间是.‎ ‎【例4】【2017四川省成都市高三摸底】已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．‎ ‎(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)ex，求g(x)的单调区间．‎ ‎【答案】a＝；减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)．‎ ‎【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－处取得极值，‎ 所以f′＝0，即‎3a·＋2·＝－＝0，解得a＝ ‎(2)由(1)得g(x)＝ex，故g′(x)＝ex＋ex＝x(x＋1)(x＋4)ex.‎ 令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝－4.‎ 当x＜－4时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当－4＜x＜－1时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数；‎ 当－1＜x＜0时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当x＞0时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数．‎ 综上知，g(x)的减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)．‎ 点评：确定函数单调区间4步骤 ‎(1)确定函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f′(x)；‎ ‎(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ 类型三、已知函数的单调性求参数的范围 ‎【例5】【黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考】已知函数在点处的切线方程为.‎ ‎（1）若函数在时有极值，求的解析式；‎ ‎（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)f(x)＝－x3－2x2＋4x－3(2)[4，＋∞)‎ 由①②③解得a＝－2，b＝4，c＝－3，所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.‎ ‎(2)因为函数f(x)在区间[－2，0]上单调递增，所以导函数f′(x)＝－3x2－bx＋b在区间[－2，0]上的值恒大于或等于零，则 得b≥4，所以实数b的取值范围是[4，＋∞)．‎ ‎【例6】【2017山西省长治二中等四校高三联考】已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．‎ ‎【答案】a＝；减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)．‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1、利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：‎ ‎(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；‎ ‎(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；‎ ‎(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．‎ ‎2、求函数的单调区间的“两个”方法 方法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；‎ ‎(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ 方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；‎ ‎(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；‎ ‎(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．‎ 实战演练:‎ ‎1．【河南省郑州外国语学校2018届高三上学期第一次月考】设为奇函数，为常数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断函数在上的单调性，并说明理由.‎ ‎【答案】(1)（2）.‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴在上是增函数 ‎2．已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若，求函数的单调区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）在单调递减，在单调递增.‎ ‎3．已知函数（）.‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；；‎ ‎（2）设函数，求函数的单调区间；‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增．‎ ‎4．已知函数（）‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）若函数在上的最小值为，求的值.‎ ‎【答案】（1）的单调增区间为（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）先对函数（）求导，再对实数分类解出不等式的解集，进而求出函数的单调区间；（2）借助问题（1）的结论，分别就实数的取值进行分类讨论，进而 ‎ ‎ ‎5．【2017届山东省济宁市高三3月模拟考试】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当时，讨论函数的单调性．‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出当 的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线方程；（Ⅱ）对进行变形，得在恒成立，再构造（），再对进行求导，即可求出，即可得到实数的取值范围；（Ⅲ）求出函数的导数，求出的零点或，分别对两个零点的大小关系作为分类讨论，即可得到函数的单调性.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）当时，，∴切线的斜率，‎ 又，在点处的切线方程为，‎ 即．‎ ‎（Ⅱ）∵对，恒成立，∴在恒成立，‎ 令（），，‎ 当时，，当时，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，故实数的取值范围为．‎ ‎∴单调增区间为，，单调减区间为．‎ 综上所述：当时，在上单调递增；‎ 当时，单调增区间为，，单调减区间为；‎ 当时，单调增区间为，，单调减区间为．‎ ‎6．已知函数，.‎ ‎(1)当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(2)设函数，讨论的单调性.‎ ‎【答案】(1)；(2)如解析所示 ‎7．已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数的单调性.‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎（2）时，递减区间为；当时，在递减，在递增.‎ ‎8．设函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线．‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间．‎ ‎【答案】(1)；(2)的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调区间.‎ 试题解析：（1）对求导得，‎ 由在点处的切线垂直于直线知，解得.‎ ‎（2）由（1）知，则.‎ 令，解得或.‎ 因为不在的定义域内，故舍去.‎ 当时，，‎ 故在内为减函数；‎ 当时，，‎ 故在内为增函数.‎ 综上，的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎9．【2017四川省成都市高三摸底】已知函数的导函数为，为自然对数的底数，若函数满足，且，则不等式的解集是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎10.【2017新疆兵团农二师华山中学高三试题】已知函数f(x)＝lnx－.‎ ‎(1)求证：f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；(2)若f[x(3x－2)]＜－，求实数x的取值范围．‎ ‎【答案】见解析