高二数学同步辅导教材(第15讲)

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高二数学同步辅导教材（第 15 讲） 本章主要内容 8.4 双曲线的简单几何性质 一、 本讲主要内容 1、双曲线的第二定义 2、双曲线的几何性质及应用 3、直线与双曲线的位置关系 二、 学习指导 1、双曲线的几何性质分为两大类 （1）自身固有的几何性质： ① 位置关系：中心是两焦点，两顶点的中点；焦点在实轴上；实轴与虚轴垂直；双曲线有两条过中 心的渐近线；准线与实轴垂直； ② 数量关系：实轴长、虚轴长、焦距分别为 2a，2b，2c。两准线之间距离为 c a2 2  ； 焦准距（焦 参数） c bp 2  ； ③ 离心率 a ce  ，e>1，e 越大，双曲线开口越阔。 （2）解析性质（与坐标系有关），列表比较如下： 焦点在 x 轴上的双曲线 焦点在 y 轴上的双曲线 方 程 1 b y a x 2 2 2 2  （a>0，b>0） 1 b x a y 2 2 2 2  （a>0，b>0） 顶 点 （±a，0），（0，±b） （0，±a），（±b，0） 焦 点 F1（-c，0）， F2（c，0） F1（0，-c）， F2(0，c) 准 线 x=± c a 2 y=± c a 2 渐近线 y=± xa b y=± xb a 对称性 关于 x 轴、y 轴轴对称，关于原点中心对称 范 围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 焦半径 P 在左支：|PF1|=-a-ex0,|PF2|=a-ex0 P 在右支：|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a P 在下支：|PF1|=-a-ey0，|PF2|=a-ey0 P 在上支：|PF1|=ey0+a，|pF2|=ey0-a 2、双曲线的第二定义与椭圆第二定义相同，见教材 P112.例 3。第一定义与第二定义的关系见前面 椭圆内容。 3、直线与双曲线的位置关系研究完全类似于直线和椭圆。但由于双曲线多了渐近线，因此当直线与 双曲线有一个公共点时，其位置有两种情形：一是直线与双曲线相切，此时直线与双曲线方程联立消元 后所得关于 x（或 y）的二次方程．．．．的判别式△=0；二是直线与双曲线相交，具体地说，也就是直线与双曲 线的渐近线平行。此时直线与双曲线方程联立消元之后所得关于 x（或 y）的方程为一次方程。 直线与双曲线相交时，基本处理途径有二：一是列方程组；二是用点差法。不管是哪一种途径，都 要强化设而不求的思想。 4、在 1 b y a x 2 2 2 2  （a>0，b>0）中，若 a=b，则双曲线为等轴双曲线，其离心率 2e  。 5、 双曲线 1 b y a x 2 2 2 2  与 1 b y a x 2 2 2 2  称为共轭双曲线。 5、它们的实轴顶点和虚轴顶点互换；它们的焦点共圆；它们的离心率 e1、e2 满足 2 2 2 1 e 1 e 1  =1。 6、已知双曲线方程为 ，则其渐近线方程为 0 b y a x 2 2 2 2  ；若已知渐近线方程为 )0b y a x(0 b y a x 2 2 2 2  ，则对应的双曲线方程为 )0( b y a x 2 2 2 2  三、 典型例题 例 1、直线：ax+by-3a=0 与双曲线 14 y 9 x 22  只有一个公共点，求直线的方程。 解题思路分析： 含字母的问题应分类讨论。本题在化简直线方程的过程中，需对 b (或 a)讨论；在直线方程与双曲 线方程联立消元后，需对方程的类型进行讨论。 由 ax+by-3a=0 得：by=-ax+3a （1）当 b=0 时，a≠0，∴x=3，代入 14 y 9 x 22  得 y=0，∴此时直线：x=3 与双曲线只有一个公共 点（3，0）； （2）当 b≠0 时，直线方程为 )3x(b ay  由         14 y 9 x )3x(b ay 22 得(4b2-9a2)x2+54a2x-9(a2+4b2)=0 ①当 4b2-9a2=0， 3 2 b a  时，方程可化为 x=3，∴y=0，∴此时直线： )3x(3 2y  与双曲线 14 y 9 x 22  只有一个公共点； ②当 4b2-9a2≠0 时，由已知得△=0， 但△=542a4+36(4b2-9a2)(4b2+9a2) =36×1664>0 恒成立 ∴ 此时直线与双曲线必相交 综上所述，满足条件的直线共有三条：x-3=0，2x±3y-6=0 注：含参数的直线方程若化简为 a(x-3)+6y=0，则可知必定点（3，0），因（3，0）正好为双曲线 实轴顶点。所以过此点的切线 x=3 及过此点与渐近线平行的直线 y= )3x(3 2  均与双曲线只有一个公共点。由此可见，重视几何图形特征分析会简化计算。 例 2、双曲线 H 的一条渐近线过点 P（2，1），两准线间的距离为 5 4 ，求 H 的标准方程。 解题思路分析： 用待定系数法。注意对焦点位置进行分类讨论。 （i）当焦点在 x 轴上时，设 H： 1 b y a x 2 2 2 2  ，则其渐近线为 0 b y a x 2 2 2 2  ∴             222 2 22 2 bac 5 4 c a2 0 b 1 a 2 解之得：      4 1b 1a 2 2 ∴ H 方程为 1 4 1 yx 2 2  （ii）当焦点在 y 轴上时，同理可求得双曲线方程为 116 x 4 y 22  。 例 3、双曲线 H 的离心率为 e，左、右焦点为 F1、F2，能否在 H 的左支上找到点 P，使|PF1|是 P 到右 准1 的距离 d1 与|PF2|的等比中项。 解题思路分析： 本题称为开放性题型，需要首先对结论作出是否存在的判断。通常总是肯定结论成立，然后求出满 足条件的元素，如本题点 P。 设双曲线 H： 1 b y a x 2 2 2 2  （a>0，b>0）， P(x0，y0)，x0≤-a 则|PF1|=-a-ex0= e exa e |PF|d 01 1  ，|PF2|=a-ex0 代入|PF1|2=d1·|PF2|得： )exa(e exa)exa( 0 02 0  整理得： 20 ee )e1(ax   ∵ 点 P 在左支上 ∴ x0≤-a ∴ 2ee )e1(a   ≤∴≤-a ∴ e2-2e-1≤0 ∴ 10 不能正确反映与 C 的位置关系。 法一：由      6yx 2kxy 22 得：(1-k2)x2-4kx-10=0 ∵ 1-k2≠0 ∴ 方程可等价化为 0 k1 10x k1 k4x 22 2      令 f(x)= 22 2 k1 10x k1 k4x     则方程 f(x)=0 在区间[ 6 ，+∞）上有两个不同的根 利用函数与方程的思想，得到对应的函数 f(x)的示意图 ∴                   0)6(f 6 k1 k2 a2 b 0 k1 40) k1 k4( 2 2 2 2 解之得： 1k3 15  法二：对于法一中的不等式组，同学们可以发现运算性很大， 因此应 进一步地思考，有没有更加简单的方法。 观察双曲线的位置特征，可以发现双曲线在 x∈（0， 6 ）之 间无曲 线，所以若直线与双曲线的右支相交，则就是与双曲线在 y 轴右侧部分相交；反之亦然。 ∴ 法一中的方程 f(x)=0 在[ ，+∞）有两个根  f(x)=0 在（0，+∞）上有两个根。下用韦达定 理或函数图象均可 ∴                     0 k1 10xx 0 k1 k4xx 0 k1 40) k1 k4( 221 221 2 2 2 ∴            3 15k3 15 0k 1k,1k 或 ∴ 1k3 15  注：本题在讨论方程(1-k2)x2-4kx-10=0 的区间根时，为了避免讨论函数 f(x)=(1-k2)x2- 4kx-10 的开口方向，在 1-k2≠0 时，两边同除以 1-k2，将二次项系数转化为常数项。因 1-k2≠0，否则直 线与双曲线只有一解。 例 5、如图，直线交双曲线 1 b y a x 2 2 2 2  及其渐近线于 A、B、C、D，求证：|AB|=|CD|。 解题思路分析： 若求 AB、CD 长度，显然运算量较大。考虑将该结论等价转化 为易证其它结论。 取 BC 中点 M，则|MB|=|MC| 若|AB|=|CD|，则|AB|+|MB|=|CD|+|MC| ∴ |MA|=|MD| 即 M 为 AD 中点，逆之亦成立，所以|AB|=|CD|  BC 与 AD 中 点重合，下用韦达定理即可。 若 AB 斜率不存在，由双曲线及渐近线对称性命题为真 设直线：y=kx+m（k a b ） 由      1 b y a x mkxy 2 2 2 2 得：(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0 设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC 中点 M(x0，y0) 则 x0= 222 2 21 kab kma 2 xx   同理由      0 b y a x mkxy 2 2 2 2 得 AD 中点 N 的横坐标 222 2 0 kab kma'x   ∴ 'xx 00  又 M、N 在同一直线上 ∴ M 与 N 重合 ∴ |MA|=|MD|，|MC|=|MB| ∴ |AB|=|CD| 注：本题在求 B、C 两点中点坐标时，用的是韦达定理，在求 AD 中点时，也用的是韦达定理，其技 巧是将两条渐近线看成是一条二次曲线，也就是说，两条相交直线 0b y a x,0b y a x  可看成是二次曲 线的退化。即二次曲线为 0)b y a x)(b y a x(  ，当然若分别求 A、D 坐标也可以，就是增加了运算量。 五、同步练习 （一）选择题 1、双曲线与椭圆 164 y 16 x 22  有相同的焦点,它的一条渐近线为 y=-x，则双曲线方程为 A、x2-y2=96 B、y2-x2=160 C、x2-y2=80 D、y2-x2=24 6、 焦点为（0，6）且与双曲线 1y2 x 2 2  有相同渐近线的方程是 A、 124 y 12 x 22  B、 124 x 12 y 22  C、 112 x 24 y 22  D、 112 y 24 x 22  3、已知双曲线 1 b y 16 x 2 22  的实轴的一个端点为 A1，虚轴的一个端点为 B1，且|A1B1|=5，则双曲线的 方程是 A、 125 y 16 x 22  B、 125 y 16 x 22  C、 19 y 16 x 22  D、 19 y 16 x 22  4、双曲线 17 y 9 x 22  的焦点到准线的距离是 A、 4 7 B、 4 25 C、 4 25 4 7 或 D、 4 9 4 23或 5、中心在原点，离心率为 3 5 的圆锥曲线的焦点在 y 轴上，则它的渐近线方程为 A、 x4 5y  B、 x5 4y  C、 x3 4y  D、 x4 3y  6、双曲线的渐近线为 x4 3y  ，则双曲线的离心率为 A、 3 5 B、 2 5 C、 3 15 2 5 或 D、 4 5 3 5 或 7、准线方程为 y=±1，离心率为 2 的双曲线方程是 A、2x2-2y2=1 B、x2-y2=2 C、y2-x2=2 D、y2-x2=-2 8、双曲线 4x2-9y2=36 上一点 P 到右焦点的距离为 3，则点 P 到左准线的距离为 A、 13 1327 B、 327 C、 27 13 D、 9 13 9、双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为 A、 2 B、 3 C、 2 6 D、 32 10、与椭圆 125 y 16 x 22  共焦点，且两准线间的距离为 3 10的双曲线方程为 A、 15 y 4 x 22  B、 14 x 5 y 22  C、 13 y 5 x 22  D、 13 x 5 y 22  （二）填空题 11、经过两点 P1(-3， 72 )，P2(- 76 ，-7)的双曲线方程是________________。 12、经过点 M（10， 3 8 ），两条渐近线方程是 x3 1y  的双曲线的方程是__________。 13、双曲线 1 b y a x 2 2 2 2  的右支上有 A、B、C 三个不同的点，若 A、B、C 关于右焦点的三条焦半径成 等差数列，则它们的横坐标 m、n、p 满足的关系式是____________。 14、双曲线 19 y 16 x 22  上有点 P，F1、F2 是双曲线的焦点，且∠F1PF2= 3  ，则△F1PF2 的面积是 ____________。 15、双曲线 11m y 1m x 22  的离心率为 2 3 ，则实数 m 的值是________。 （三）解答题 16、双曲线 H： 14 yx 2 2  ，过点 P（1，1）的直线与 H 只有一个公共点，求的方程。 17、过点 P(1,1)作双曲线 12 yx 2 2  的弦,使点 P 恰为弦的中点,可能吗?为什么? 18、中心在原点，顶点 A1、A2 在 x 轴上，离心率 3 21e  的双曲线 H 过点 P（6，6）动直线过△A1PA2 的重心 G，且交 H 于 M、N 两点，MN 中点为 Q，问的斜率 k 为何值时，有 A2P⊥A2Q？ 19、证明双曲线上任意点到两条渐近线的距离的乘积是一个定值。 20、设等轴双曲线 x2-y2=a2（a>0）的两个顶点为 A 和 B，P 为双曲线上不同于 A 和 B 的任意一点，自 P 向 x 轴作垂线，垂足为 Q，求证∠PAQ+∠PBQ=900。 六、参考答案 （一）选择题 1、D。 设双曲线方程为 y2-x2=λ （λ ≠0），因椭圆焦点为（0， 34 ），∴λ >0，2λ = 2)34( ，λ =24。 2、B。 设双曲线方程为  2 2 y2 x λ （λ ≠0），∵焦点为（0，6），∴λ <0，双曲线标准方程为  2 xy 22 =1，∴-λ +(-2λ )=62，∴λ =-12，∴双曲线方程为 124 x 12 y 22  。 3、C。 不妨设 A1(4，0)，B1(0，b)，由|A1B1|=5 得 b=3，∴双曲线方程为 19 y 16 x 22  。 4、C。 当焦点与准线对应（同为左或同为右）时，焦准距 4 7 c bp 2  ；当焦点与准线不对应（左焦 点对应右准线；或右焦点对应左准线）时，焦点到准线的距离 4 25 4 924 7 c a2pd 2  。 5、D。 3 5 a ce  ，设 c=5k，a=3k（k>0），则 b=4k，∵焦点在 y 轴上，∴渐近线方程为 xb ay  ， 即 x4 3y  。 6、D。 当 4 3 a b  时， 4 5 a ce  ；当 4 3 b a  时， 3 5 a ce  。 7、C。 ∵离心率为 2 ，∴双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为 x2-y2=λ （λ ≠0），由准线方程 特征知，λ <0，双曲线标准方程为 1xy 22  ，∴准线方程为   2 y ，∴λ =-2。 8、A。 双曲线方程为 14 y 9 x 22  ，a2=9，b2=4，c2=13，F1（ 13 ，0）， F2（ 13，0）， 3 13e  ， 当点 P 在左支时，|PF2|-|PF1|=6，∴|PF1|=|PF2|-6=-3<0（舍），∴点 P 在右支上；∴|PF1|-|PF2|=6，∴ |PF1|=6+|PF2|=9。 设 P 到左准线的距离为 d，则 ed |PF| 1  ， ∴d= 1313 27 e |PF| 1  。 9、B。 c23 1 c a2 2  ，∴ 3 a c 2 2  ，∴ 3a ce  。 10、B。 椭圆焦点为（0，±3），∴      3 10 c a2 5c 2 ，∴         3c 4b 5a 2 2 。 （二）填空题 11、 175 x 25 y 22  设双曲线方程为 Ax2-By2=1（AB<0），则      1)7(B)26(A 1)72(B)3(A 22 22 ，∴      1B49A72 1B28A9 ， 解之得         25 1B 25 1A ，∴双曲线方程为 125 x 25 y 22  。 12、 14 y 36 x 22  渐近线方程为 0y3 x  ，设双曲线方程为 )0(y9 x 2 2  ，令 x=10，y= 3 8 ， 解之得λ =4。 13、 m+p=2n A、B、C 关于右焦点的焦半径分别为 em-a，en-a，ep-a，∴2(en-a)= em-a+ep-a, ∴m+p=2n. 14、 39 △F1PF2 中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|-2|PF1||PF2|cos 3  =(|PF1|-|PF2|)2+ |PF1||PF2|，∴4c2=4a2+|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|=4b2=36，∴ 3sin|PF||PF|2 1S 21PFF 21  = 39 。 15、 ±9 当      01m 01m ，m>1 时，a2=m-1，b2=m+1，c2=2m，代入 4 9 a ce 2 2 2  得 m=9；当      01m 01m ， m<-1 时，双曲线方程为 1)1m( x )1m( y 22  ，∴a2=-(m+1)，b2=-(m-1)，c2=-2m，代入 4 9e2  得 m=-9。 （三）解答题 16、解：（1）当斜率 k 不存在时，：x=1，与 H 只有一个公共点（1，0）； （2）当 k 存在时，设：y-1=k(x-1) 则      4yx4 )1x(k1y 22 得： (4-k2)x2-2k(1-k)x-[(1-k)2+4]=0 ① 4-k2=0，k=±2 时，方程解得 k=±2，∴直线：y-1=±2(x-1)，即 2x-y-1=0，或 2x+y-3=0； ② 4-k2≠0 时，△=4k2(1-k)2+4(4-k2)[(1-k)2+4]=0 ∴ 2 5k  ∴ ： )1x(2 51y  ，即 5x-2y-3=0 ∴ 直线有四条：x-1=0，2x-y-1=0，2x+y-3=0，5x-2y-3=0。 17、解：假设存在设 AB，使 P 为 AB 中点 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 则         12 yx 12 yx 2 22 2 2 12 1 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)- 2 1 (y1-y2)(y1+y2)=0 ∵ x1-x2≠0 ∴ 21 21 21 21 yy )xx(2 xx yy    ∴ kAB=2 ∴ 直线 AB：y-1=2(x-1)，即 y=2x-1 但：由      12 yx 1x2y 2 2 得：2x2-4x+3=0,△=16-24《0 ∴ 直线 AB 不存在。 18、解：设 H： 1 b y a x 2 2 2 2  ∵ 3 21 a ce  ∴ 设 a=3m，c= 21m（m>0），则 b= 12m ∴ H： 1 m12 y m9 x 2 2 2 2  ∵ 点 P∈H ∴ 1 m12 36 m9 36 22  ∴ m2=1 ∴ H： 112 y 9 x 22  又 A1（-3，0）， A2（3，0）， P（6，6） ∴ G（2，2） 由      36y3x4 )2x(k2y 22 得： (4-3k2)x2-12k(1-k)x-12[(1-k)2+3]=0 设 M（x1，y1）， N（x2，y2），中点 Q（x0，y0） 则 2 21 0 k34 )k1(k6 2 xxx   200 k34 )k1(82)2x(ky   ∵ A2P⊥A2Q ∴ 2 1 k 1k PA QA 2 2  ∴ 2 1 3 k34 )k1(k6 k34 )k1(8 2 2       整理得：3k2-10k+4=0 ∴ 3 135k  又 △>0，得 5k2+8k-16<0 ∴ 5 644k5 644  ∴ 3 135k  19、证明：设 P（x0，y0）是双曲线 1 b y a x 2 2 2 2  上任意一点 则 1 b y a x 2 2 0 2 2 0  即 b2x0 2-a2y0 2=a2b2 又双曲线渐近线为 bx±ay=0 ∴ P 到两渐近线的距离之积为： 22 22 22 2 0 22 0 2 22 00 22 00 ba ba ba |yaxb| ba |aybx| ba |aybx|         =定值 20、证明：设 P（x0，y0） 则 x0 2+y0 2=a2 ∴ x0 2-a2=y0 2 即 0 0 0 0 y ax cx y  ∵ PQ⊥x 轴，A（a，0）， B（-a，0） ∴ tan∠PAQ= |1x y||AQ| |PQ| 0 0  cot∠PBQ= |y ax||PQ| |BQ| 0 0  ∴ tan∠PAQ=cot∠PBQ ∵ ∠PAQ、∠PBQ 均为锐角 ∴ ∠PAQ+∠PBQ=900