2017-2018学年四川省凉山州木里中学高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年四川省凉山州木里中学高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年四川省凉山州木里中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎2．（5分）直线的倾斜角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．‎ 根据该折线图，下列结论错误的是（　　）‎ A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎4．（5分）某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，已知3个区人口数之比为2：3：5，如果最多的一个区抽出的个体数是60，则这个样本的容量等于（　　）‎ A．96 B．120 C．．180 D．240‎ ‎5．（5分）两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为（　　）‎ A．12 B．11 C．10 D．9‎ ‎6．（5分）已知变量x与y之间的回归直线方程为y=﹣3+2x，若xi=17，则yi的值等于（　　）‎ A．3 B．4 C．0.4 D．40‎ ‎7．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（　　）‎ A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x ‎8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）‎ A．π B． C． D．‎ ‎9．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（　　）‎ A． B． C．36 D．‎ ‎10．（5分）已知f（x）的定义域{x|﹣3＜x＜0}为，则函数f（2x﹣1）的定义域为（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜1} B． C．{x|﹣1＜x＜0} D．‎ ‎11．（5分）在平面直角坐标系中，过动点P分别作圆C1：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的切线PA与PB（A，B为切点），若|PA|=|PB|若O为原点，则|OP|的最小值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．2‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为　 　．‎ ‎14．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x5+2x3﹣8x+5在x=1时的值时，V3的值为　 　．‎ ‎15．（5分）在△ABC中，A=45°，B=60°，a=，则b=　 　．‎ ‎16．（5分）已知实数x，y满足y=﹣2x+8，且2≤x≤3，则的最大值与最小值的和为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分.‎ ‎17．（10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（acos B+bcos ‎ A）=c．‎ ‎（Ⅰ）求C；‎ ‎（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎18．（12分）为了解中学生的身高情况，对某中学同龄的若干女生身高进行测量，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右五个小组的频率分布为0.017，0.050，0.100，0.133，0.300，第三小组的频数为6．‎ ‎（1）参加这次测试的学生数是多少？‎ ‎（2）试问这组身高数据的中位数和众数分别在哪个小组的范围内，且在众数这个小组内人数是多少？‎ ‎（3）如果本次测试身高在157cm以上为良好，试估计该校女生身高良好率是多少？‎ ‎19．（12分）某地区2010年至2016年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．‎ ‎20．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠‎ BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣P的大小．‎ ‎21．（12分）已知等比数列{an}中a1=2，a3+2是a4和a2的等差中项．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）记bn=anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎22．（12分）已知圆O：x2+y2=4和圆C：x2+（y﹣4）2=1．‎ ‎（Ⅰ）判断圆O和圆C的位置关系；‎ ‎（Ⅱ）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年四川省凉山州木里中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【分析】解不等式组求出元素的个数即可．‎ ‎【解答】解：由，解得：或，‎ ‎∴A∩B的元素的个数是2个，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）直线的倾斜角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】将直线方程化为斜截式方程，可得直线的斜率，再由斜率公式可得倾斜角．‎ ‎【解答】解：直线，‎ 即为y=﹣x﹣，‎ 可得直线的斜率为k=﹣，‎ 即有tanα=﹣，（α为倾斜角），‎ 解得α=，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查直线的倾斜角，注意运用直线的斜截式方程和直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．‎ 根据该折线图，下列结论错误的是（　　）‎ A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：‎ 月接待游客量逐月有增有减，故A错误；‎ 年接待游客量逐年增加，故B正确；‎ 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；‎ 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；‎ 故选：A ‎【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，已知3个区人口数之比为2：3：5，如果最多的一个区抽出的个体数是60，则这个样本的容量等于（　　）‎ A．96 B．120 C．．180 D．240‎ ‎【分析】由题意得第三个区所抽取的人数最多，即所占比例为．又因为此区抽取的人数为60，所以三个区所抽总人数为120．‎ ‎【解答】解：由题意得3个区人口数之比为2：3：5，‎ 所以第三个区所抽取的人数最多，即所占比例为．‎ 又因为此区抽取的人数为60，‎ 所以三个区所抽总人数为120．‎ 所以这个样本的容量等于120．‎ 故选B．‎ ‎【点评】解决此类问题的关键是确定此题是利用分层抽样的抽样方法以及分层抽样的原理，原理是每层所抽人数成比例．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为（　　）‎ A．12 B．11 C．10 D．9‎ ‎【分析】括号里的数字从左开始，第一位数字是几，再乘以2的0次幂，第二位数字是几，再乘以2的1次幂，以此类推，进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∵由题意可得，（101）2=1×22+0×21+1×20=5．‎ ‎110（2）=1×22+1×21+0×20=6．‎ ‎∴5+6=11．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查进位制，本题解题的关键是找出题目给出的运算顺序，按照有理数混合运算的顺序进行计算即可，本题是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知变量x与y之间的回归直线方程为y=﹣3+2x，若xi=17，则yi的值等于（　　）‎ A．3 B．4 C．0.4 D．40‎ ‎【分析】求出=1.7，=﹣3+2×1.7=0.4，即可求出yi的值．‎ ‎【解答】解：∵xi=17，∴=1.7，‎ ‎∵变量x与y之间的回归直线方程为y=﹣3+2x，‎ ‎∴=﹣3+2×1.7=0.4，‎ ‎∴yi=4．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】一组变量（xi，yi）产生的回归直线必经过样本中心点．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（　　）‎ A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，‎ 则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=3，‎ 则x=1，y=3，不满足x2+y2≥36，故n=5，‎ 则x=3，y=15，满足x2+y2≥36，退出循环，输出x的值为3，y的值为15．‎ 故y=5x，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）‎ A．π B． C． D．‎ ‎【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r==，由此能求出该圆柱的体积．‎ ‎【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，‎ ‎∴该圆柱底面圆周半径r==，‎ ‎∴该圆柱的体积：V=Sh==．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（　　）‎ A． B． C．36 D．‎ ‎【分析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，先根据这组数据的平均数，求出x，再用方差的个数代入数据和平均数，做出这组数据的方差．‎ ‎【解答】解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，‎ 所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．‎ ‎∴这组数据的平均数是 =91，∴x=4．‎ ‎∴这这组数据的方差是 （16+1+1+0+0+9+9）=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 本题考查茎叶图，当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知f（x）的定义域{x|﹣3＜x＜0}为，则函数f（2x﹣1）的定义域为（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜1} B． C．{x|﹣1＜x＜0} D．‎ ‎【分析】由函数f（x）的定义域为（﹣3，0），可得﹣3＜2x﹣1＜0，求解x的范围得答案．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣3，0），‎ ‎∴﹣3＜2x﹣1＜0，解得．‎ ‎∴函数f（2x﹣1）的定义域为：{x|}．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）在平面直角坐标系中，过动点P分别作圆C1：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的切线PA与PB（A，B为切点），若|PA|=|PB|若O为原点，则|OP|的最小值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【分析】利用|PA|=|PB|，结合勾股定理，即可求得点P的轨迹方程，|OP|的最小值为O到直线的距离．‎ ‎【解答】解：设P（x，y），则 ‎∵|PA|=|PB|，‎ ‎∴x2+y2﹣4x﹣6y+9=x2+y2+2x+2y+1，‎ ‎∴3x+4y﹣4=0，‎ ‎∴|OP|的最小值为O到直线的距离，即=‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查点P的轨迹方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．2‎ ‎【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．‎ ‎【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，‎ 则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），‎ ‎∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，‎ 设圆的半径为r，‎ ‎∵BC=2，CD=1，‎ ‎∴BD==‎ ‎∴BC•CD=BD•r，‎ ‎∴r=，‎ ‎∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，‎ 设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），‎ ‎∵=λ+μ，‎ ‎∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），‎ ‎∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，‎ ‎∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，‎ ‎∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，‎ ‎∴1≤λ+μ≤3，‎ 故λ+μ的最大值为3，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为　﹣1　．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x﹣4y的最小值．‎ ‎【解答】解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），‎ 平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，‎ 经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，‎ 将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，‎ 即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x5+2x3﹣8x+5在x=1时的值时，V3的值为　5　．‎ ‎【分析】所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，得到要求的值．‎ ‎【解答】解：f（x）=3x5+2x3﹣8x+5‎ ‎=（3x4+2x2﹣8）x+5‎ ‎=[（3x3+2x]x﹣8）x+5‎ ‎={[（3x3+2）x]﹣8}x+5‎ ‎={{[（3x）x+2]x}﹣8}x+5‎ ‎∴在x=1时的值时，V3的值为=[（3x）x+2]x=[（3×1）×1+2]=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查秦九韶算法，本题解题的关键是对多项式进行整理，得到符合条件的形式，不管是求计算结果还是求加法和减法的次数都可以．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）在△ABC中，A=45°，B=60°，a=，则b=　　．‎ ‎【分析】直接利用正弦定理求出结果．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，A=45°，B=60°，a=，‎ 直接利用正弦定理：‎ 解得：b=．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知实数x，y满足y=﹣2x+8，且2≤x≤3，则的最大值与最小值的和为　　．‎ ‎【分析】由题意可得==﹣2，且在[2，3]为减函数，可得最值，求和即可得到．‎ ‎【解答】解：实数x，y满足y=﹣2x+8，且2≤x≤3，‎ 可得==﹣2，且在[2，3]为减函数，‎ 最大值为4﹣2=2，最小值为﹣2=，‎ 即有的最大值与最小值的和为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用反比例函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分.‎ ‎17．（10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（acos B+bcos A）=c．‎ ‎（Ⅰ）求C；‎ ‎（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数转化求解C；‎ ‎（Ⅱ）通过三角形的面积以及余弦定理转化求解即可．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得 ‎2cos C（sin Acos B+sin Bcos A）=sin C，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）‎ 即2cos Csin（A+B）=sin C，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）‎ 故2sin Ccos C=sin C．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ 可得cos C=，所以C=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）‎ ‎（Ⅱ）由已知得absin C=．‎ 又C=，所以ab=6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ 由已知及余弦定理得a2+b2﹣2abcos C=7，‎ 故a2+b2=13，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ 从而（a+b）2=25．‎ 所以△ABC的周长为5+．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）‎ ‎【点评】‎ 本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）为了解中学生的身高情况，对某中学同龄的若干女生身高进行测量，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右五个小组的频率分布为0.017，0.050，0.100，0.133，0.300，第三小组的频数为6．‎ ‎（1）参加这次测试的学生数是多少？‎ ‎（2）试问这组身高数据的中位数和众数分别在哪个小组的范围内，且在众数这个小组内人数是多少？‎ ‎（3）如果本次测试身高在157cm以上为良好，试估计该校女生身高良好率是多少？‎ ‎【分析】（1）第三个小组的频率为0.1，频数为6，由此能求出参加这次测试的学生数．‎ ‎（2）从左到右四个小组的频率和为0.290，从左到右五个小组的频率和为0.590，由此能求出这组身高数据的中位数在从左到右的第5小组内；[157，160）这组对应的小矩形最高，由此能求出这组身高数据的众数在[157，160）内，求出[157，160）这组数据的频率，由此能求出在众数这个小组内人数．‎ ‎（3）由频率分布图知，求出身高在157cm以上（包括157cm）的频率，能此能估计该校女生身高良好率．‎ ‎【解答】解：（1）∵图中从左到右五个小组的频率分别为0.017，0.050，0.100，0.133，0.300，第三个小组的频数为6，‎ ‎∴第三个小组的频率为0.1，频数为6，‎ ‎∴参加这次测试的学生数是：=60（人）．‎ ‎（2）∵图中从左到右五个小组的频率分别为0.017，0.050，0.100，0.133，0.300，‎ ‎∴从左到右四个小组的频率和为：0.017+0.050+0.100+0.133=0.290，‎ 从左到右五个小组的频率和为：0.017+0.050+0.100+0.133+0.300=0.590，‎ ‎∴这组身高数据的中位数在从左到右的第5小组内，即[157，160）这组内，‎ ‎∵[157，160）这组对应的小矩形最高，‎ ‎∴这组身高数据的众数在[157，160）内，‎ ‎∵[157，160）这组数据的频率为0.300，‎ ‎∴[157，160）这组数据的频数为60×0.300=18，‎ ‎∴在众数这个小组内人数是18人．‎ ‎（3）本次测试身高在157cm以上（包括157cm）的为良好，‎ 由频率分布图知，身高在157cm以上（包括157cm）的频率为：‎ ‎1﹣（0.017+0.050+0.100+0.133）=0.710，‎ ‎∴估计该校女生身高良好率为71%．‎ ‎【点评】本题考查频率分布图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率、频数间的关系及中位数、众数的概念的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）某地区2010年至2016年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．‎ ‎【分析】利用公式求出，，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：样本平均数=4，=4.3，‎ ‎∴（ti﹣）（yi﹣）=14，‎ ‎ （ti﹣）2=28，‎ ‎∴==0.5，‎ ‎=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3；‎ ‎∴y关于t的线性回归方程为y=0.5t+2.3；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．‎ 将2018年的年份代号t=9代入y=0.5t+2.3，得：y=0.5×9+2.3=6.8，‎ 故预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．‎ ‎【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣P的大小．‎ ‎【分析】（I）连接BD，由已知中四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，我们可得BE⊥AB，PA⊥BE，由线面垂直的判定定理可得BE⊥平面PAB，再由面面平行的判定定理可得平面PBE⊥平面PAB；‎ ‎（II）由（I）知，BE⊥平面PAB，进而PB⊥BE，可得∠‎ PBA是二面角A﹣BE﹣P的平面角．解Rt△PAB即可得到二面角A﹣BE﹣P的大小．‎ ‎【解答】证明：（I）如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，‎ ‎△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，‎ 又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BE，而PA∩AB=A，因此 BE⊥平面PAB．‎ 又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．‎ 解：（II）由（I）知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．‎ 又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A﹣BE﹣P的平面角．‎ 在Rt△PAB中，．．‎ 故二面角A﹣BE﹣P的大小为60°．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，平面与平面垂直的判定，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的转换，（II）的关键是构造出∠PBA是二面角A﹣BE﹣P的平面角．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知等比数列{an}中a1=2，a3+2是a4和a2的等差中项．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）记bn=anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（1）利用等比数列通项公式和等差中项，列出方程组，求出公比，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）由bn=n•2n，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q，‎ ‎∵等比数列{an}中a1=2，a3+2是a4和a2的等差中项．‎ ‎∴由题意知：2（a3+2）=a2+a4，‎ ‎∴q3﹣2q2+q﹣2=0，即（q﹣2）（q2+1）=0．‎ ‎∴q=2，即an=2•2n﹣1=2n．‎ ‎（2）bn=n•2n，‎ ‎∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n．①‎ ‎2Sn=1•22+2•23+3•24+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1．②‎ ‎①﹣②得﹣Sn=2+22+23+24+…+2n﹣n•2n+1‎ ‎=﹣2﹣（n﹣1）•2n+1．‎ ‎∴Sn=2+（n﹣1）•2n+1．‎ ‎【点评】本题考查数列通项公式、前n项和公式的求法，考查等比数列、等差中项、错位相减法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知圆O：x2+y2=4和圆C：x2+（y﹣4）2=1．‎ ‎（Ⅰ）判断圆O和圆C的位置关系；‎ ‎（Ⅱ）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出两圆的半径和圆心距，由此能判断两圆的位置关系．‎ ‎（Ⅱ）设切线l的方程为：y=kx+4，由圆心O到直线l的距离等于半径，能求出切线l的方程．‎ ‎（Ⅲ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O，由此得到圆O是满足题意的圆；当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由此求出存在以AB为直径的圆P满足题意．从而能求出在以AB为直径的所有圆中，存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+‎ ‎12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为圆O的圆心O（0，0），半径r1=2，圆C的圆心C（0，4），半径r2=1，‎ 所以圆O和圆C的圆心距|OC|=|4﹣0|＞r1+r2=3，‎ 所以圆O与圆C相离．…（3分）‎ ‎（Ⅱ）设切线l的方程为：y=kx+4，即kx﹣y+4=0，‎ 所以O到l的距离，解得．‎ 所以切线l的方程为或…（7分）‎ ‎（Ⅲ）ⅰ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O，‎ 此时直线m与圆O的交点为A（0，2），B（0，﹣2），‎ AB即为圆O的直径，而点M（2，0）在圆O上，‎ 即圆O也是满足题意的圆…（8分）‎ ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，‎ 由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，‎ 由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则有…①…（9分）‎ 由①得，…②，…③‎ 若存在以AB为直径的圆P经过点M（2，0），则MA⊥MB，所以，‎ 因此（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，‎ 即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，…（10分）‎ 则，所以16k+32=0，k=﹣2，满足题意．‎ 此时以AB为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，‎ 即，亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0．…（12分）‎ 综上，在以AB为直径的所有圆中，‎ 存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）…（14分）‎ ‎【点评】本题考查两圆位置关系的判断，考查圆的切线方程的求法，考查满足条件的圆是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．‎ ‎　‎