2017-2018学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期开学考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期开学考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期开学考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．下列说法中正确的是(　　)‎ A．“x>‎5”‎是“x>‎3”‎的必要不充分条件 B．命题“对∀x∈R，恒有x2＋1>‎0”‎的否定是“∃x∈R，使得x2＋1≤‎‎0”‎ C．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数 D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】x>5是x>3的充分不必要条件，A错；函数f(x)＝x2＋mx不可能是奇函数，C错；p∨q为真时，p∧q不一定为真，D错，选B项．‎ ‎2．将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数都是偶数”，则概率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，故选D。‎ ‎3．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意设该双曲线方程为，且， ， 的中点为，则且，则，即，联立，得，即该双曲线方程为；故选D.‎ 点睛：在涉及圆锥曲线的中点弦时，往往利用“点差法“”进行求解，可减少运算量.‎ ‎4．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是(　　)‎ A. 5，10，15，20，25‎ B. 3，13，23，33，43‎ C. 1，2，3，4，5‎ D. 2，4，8，16，32‎ ‎【答案】B ‎【解析】由系统抽样的方法，所以可能的编号为3，13，23，33，43。故选B。‎ ‎5．设集合 ，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 若，则，解得，‎ 所以是的充分不必要条件，故选A。‎ ‎6．6．当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）‎ A. 7 B. 42 C. 210 D. 840‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：当m输入的m＝7，n＝3时，判断框内的判断条件为k<5，故能进入循环的k依次为7,6,5.顺次执行S＝S·k，则有S＝7·6·5＝210，选C ‎【考点】程序框图 ‎7．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意， ，所以离心率。故选A。‎ ‎8．下列说法中正确的是 ‎①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于，相关性越弱；‎ ‎②回归直线一定经过样本点的中心；‎ ‎③随机误差的方差的大小是用来衡量预报的精确度；‎ ‎④相关指数用来刻画回归的效果， 越小，说明模型的拟合效果越好．( )‎ A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于，则相关性越强，所以错误；‎ ‎②回归直线一定经过样本点的中心，正确；‎ ‎③随机误差的方差的大小是用来衡量预报的精确度，正确；‎ ‎④相关指数用来刻画回归的效果， 越小，说明模型的拟合效果越不好，所以错误．‎ 所以正确的有②③。故选D。‎ ‎9．已知椭圆C：的左右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C与A、B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：的周长是，所以，，所以，那么，所以方程是，故选．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程 ‎【思路点睛】本题考查椭圆标准方程和基本性质的计算，属于基础题型，主要考察椭圆中的关系问题，唯一的一个难点是的周长是这个条件如何使用的问题，只要将图像画出，就会发现，周长就是，那么这个题就迎刃而解了，要解决这类问题，那我们就要对圆锥曲线的基本知识熟练掌握，比如方程的形式，方程与圆锥曲线的基本性质的联系，或是关于的计算问题．‎ ‎10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为 (　　)‎ A. － B. C. － D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】取中点，则就是直线与平面所成角的线面角，‎ 所以，故选B。‎ 点睛：本题考查立体几何的线面夹角。一般的，立体几何问题利用其几何性质求解，如本题中的线面角，可以结合图形的特殊性，可以较容易地找到其线面角。当线面角不容易找的时候，可以采用空间直角坐标系来辅助解题。‎ ‎11．设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　)‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：阴影部分的面积为： ，正方形的面积为: ,故选D. ‎ ‎【考点】1、几何概型的计算，面积比 ‎【方法点晴】本题主要考查的是几何概型，属于中等题，由题作出所对应的图像，可得平面区域为如图所示的正方形区域，而区域内的任意点到原点的距离大于的区域为图中的阴影部分，由几何概型的公式可知概率即为面积之比，易得答案.‎ ‎12．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意， ，所以，即，又，‎ 化简得离心率，故选B。‎ 点睛：本题考查双曲线的离心率问题。离心率问题的本质就是根据条件得到的关系式。本题中，由条件可知，得到，又，整理化简，求出离心率。‎ 二、填空题 ‎13．把化为二进制数为______________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以二进制为 点睛：本题考查十进制与二进制的转化。二进制到十进制的计算方法是各位的数字乘以2的次方，再求和，其中个位是乘以，其它各位再逐个递增。同样，十进制转二进制的算法只要利用其逆运算即可，从高次到低次运算。‎ ‎14．在随机数模拟试验中，若,, , ,表示生成之间的均匀随机数,共产生了个点，其中有个点满足，则椭圆的面积可估计为 ________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以点的区域面积为24，‎ 所以，得。‎ ‎15．方程表示曲线，给出以下命题：‎ ‎①曲线不可能为圆；‎ ‎②若，则曲线为椭圆；‎ ‎③若曲线为双曲线，则或；‎ ‎④若曲线为焦点在轴上的椭圆，则.‎ 其中真命题的序号是_____(写出所有正确命题的序号)．‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】试题分析：根据题意，①曲线不可能为圆；若C表示圆，应该满足4-t=t-1＞0则t=，错误 ‎②若，则曲线为椭圆；则有，错误 ‎③若曲线为双曲线，则或；（4-k）（k-1）＜0即t＞4或t＜1 故=对 ‎④若曲线为焦点在轴上的椭圆，则.成立，故填写③‎ ‎【考点】圆锥曲线的方程 点评：考查了圆锥曲线的方程的形式，属于基础题。关键是对于方程的表示中分母中参数的范围表示。‎ ‎16．过点作斜率为的直线与椭圆： 相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设A，B，则①， ②，‎ ‎∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是，‎ ‎∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C： （a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即 ．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质 三、解答题 ‎17．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得＝80， ＝20， ＝184， ＝720.‎ ‎(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；‎ ‎(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程y＝bx＋a中， ，a＝－b，其中， 为样本平均值．‎ ‎【答案】(1) y＝0.3x－0.4(2)正相关(3) 1.7(千元)．‎ ‎【解析】试题分析：(1)先根据所给数据算出样本中心点的坐标，再根据所给数据算出公式所需要的有关量，从而可得到的值，将样本中心点的坐标代入回归方程即可得到的值，进而可求得回归方程；（2）由所求回归方程的斜率的正负，可判断两变量间是正相关还是负相关；（3） 代入所求回归方程可预测该家庭的月储蓄．‎ ‎(1)由题意知n＝10， ＝＝＝8， ＝＝＝2.‎ 又lxx＝－n2＝720－10×82＝80，‎ lxy＝yi＝n ＝184－10×8×2＝24.‎ 由此得b＝＝0.3，a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，‎ 故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.‎ ‎(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．‎ ‎(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性回归方程及其应用，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎18．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间。按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，由统计的数据得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频率分布表。‎ 区间 人数 a b ‎（1）求正整数a，b，N的值；‎ ‎（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组中抽取的人数分别是多少？‎ ‎（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1 人在第3组的概率。‎ ‎【答案】（1）人,人,人；（2）第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；‎ ‎（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图即可求出；（2）‎ 抓住分层抽样的抽样比为即可解决问题；‎ ‎（3）列出从6个人抽取2人的所以情况，然后从中找到满足条件的情况是多少个，最后利用古典概型公式即可.‎ 试题解析：(1)由频率分布直方图可知，与两组的人数相同，‎ 所以人． 1分 且人． 2分 总人数人． 3分 ‎（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取人，每组抽取的人数分别为：‎ 第1组的人数为， 4分 第2组的人数为， 5分 第3组的人数为， 6分 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．7分 ‎（3）由（2）可设第1组的1人为，第2组的1人为，第3组的4人分别为，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，‎ 共有种． 9分 其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：‎ ‎，，，，，，，，‎ 共有8种． 2分 所以恰有1人年龄在第3组的概率为．12分 ‎【考点】(1)频率分布直方图；（2）分层抽样；（3）古典概型.‎ ‎19．如图，在四棱锥中， 底面， ，点为棱的中点. ， （1）证明： ；（2）求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，可得面所以, ,所以面，所以，所以；（2）建立空间直角坐标系， ， ，求得二面角。‎ 试题解析：‎ ‎⑴证明：取中点，连接 ‎ 分别是的中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形 ‎ ‎ ‎ ‎ 面 , ‎ ‎ ‎ ‎ , ‎ ‎ 面 ‎ ‎ ‎⑵以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则 ‎ ‎ ‎ ‎ 设面的法向量为 由，令，即 ‎ 面的一个法向量 设二面角的大小为，则 ‎ 二面角的大小 ‎20．4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:min)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60 min的学生称为“书虫”,低于60 min的学生称为“懒虫”,‎ ‎(1)求x的值并估计全校3 000名学生中“书虫”大概有多少名学生?(将频率视为概率)‎ ‎(2)根据已知条件完成下面2×2的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“书虫”与性别有关:‎ ‎【答案】（1）x=0.025，1200人；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由直方图，易知x=0.025，“书虫”大概有1200人；（2）完成表格，K2=≈8.249.由8.249>6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“读书迷”与性别有关.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由已知可得:(0.01+0.02+0.03+x+0.015)×10=1,可得x=0.025 ‎ 因为(0.025+0.015)×10=0. 4,将频率视为概率,由此可以估算出全校3000名学生中“书虫”大概有1200人. ‎ ‎(2)完成下面的2×2列联表如下:‎ K2=≈8.249.‎ 由8.249>6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“读书迷”与性别有关.‎ ‎21．已知抛物线 ，过点作直线，交抛物线于两点， 为坐标原点，‎ ‎（1）求证： 为定值；‎ ‎（2）求面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设直线： ，联立抛物线得到韦达定理，易证 为定值；（2）， ，代入韦达定理，求得三角形的面积最小值是。‎ 试题解析：‎ 证明：（Ⅰ）设过点的直线： ，‎ 由得， ‎ 令，∴ ‎ ‎∴ 为定值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ‎ ‎，原点到直线的距离 ‎ ‎∴‎ 当时，三角形的面积最小，最小值是 ‎22．在平面直角坐标系中，已知椭圆C： ‎ ‎,且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3,0）的直线交椭圆C于点A、B．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意， ，当时， 有最大值为，又，得椭圆方程是；（2）设方程为，点P在椭圆上，得，又由，所以或。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵ ∴‎ 则椭圆方程为即 设则 当时， 有最大值为 解得∴，椭圆方程是 ‎（Ⅱ）设方程为 由 整理得． ‎ 由，得．‎ ‎∴‎ 则,‎ 由点P在椭圆上，得 化简得①‎ 又由 即将， 代入得 化简，得 则,‎ ‎∴②‎ 由①，得 联立②，解得∴或 点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系。解析几何问题的关键就是正确分析题目的解题思路，有正确的解题逻辑。本题中，可以有A，B表示出P的坐标，满足椭圆方程，然后求出t的取值范围，所以只需设直线AB即可。‎