宁夏回族自治区银川市兴庆区银川一中2020届高三第五次月考数学（文）试题

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银川一中2020届高三年级第五次月考 文科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合交集和补集的定义求解即可．‎ ‎【详解】解：，，，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算定义，属于基础题．‎ ‎2.已知是的共轭复数，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出，从而确定．‎ ‎【详解】解：‎ 又是的共轭复数，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，以及复数模的计算，属于基础题．‎ ‎3.下列说法中，正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆命题是真命题 B. 命题“，”的否定是“，”‎ C. 命题“且”为假命题，则命题“”和命题“”均为假命题 D. 已知，则“是”的充分不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出命题的逆命题，判断真假即可；利用特称命题的否定是全称命题写出结果判断真假即可；利用且命题判断真假即可；利用充要条件的判定方法判断即可．‎ ‎【详解】解：对于，命题“若，则”的逆命题是“若，则”由于当时，；故是假命题；‎ 对于，命题“，”的否定是：“，”符合命题的否定性质，正确；‎ 对于， 命题“且”为假命题，则命题“”和命题“”至少有一个是假命题，不正确；‎ 对于，，则“”不能推出“”，但是“”可以得到“”， 不正确；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四种命题的逆否关系，命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“特称命题”，“特称命题”的否定一定是“全称命题”．考查充要条件的判断，属于基础题．‎ ‎4.已知双曲线的一个焦点与圆的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵圆化成标准方程，得，∴圆的圆心为，∵双曲线的一个焦点为，且的离心率等于，∴，且，因此，，可得该双曲线的标准方程为，故选A.‎ 点睛：本题给出双曲线的离心率，并且一个焦点为已知圆的圆心，求双曲线的标准方程，着重考查了圆的标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题；将圆化成标准方程得圆的圆心为，可得，结合双曲线的离心率算出，由平方关系得到，由此即可得出该双曲线的标准方程.‎ ‎5.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意利用诱导公式求得的值，再利用二倍角公式求得的值．‎ ‎【详解】解：‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角公式，属于基础题.‎ ‎6.设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】设公差为d则 解得 ，故选A.‎ ‎7.已知椭圆：的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定双曲线的渐近线方程为，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为，可得在椭圆上，再结合椭圆的离心率，即可确定椭圆的方程．‎ ‎【详解】解：由题意，双曲线的渐近线方程为，‎ 以这四个交点为顶点的四边形的面积为，边长为，‎ 在椭圆上，‎ ‎，①‎ 椭圆的离心率为，‎ ‎，则，②‎ 联立①②解得：，．‎ 椭圆方程为：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆及双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用双曲线的性质是关键，属于中档题．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的S的值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果．‎ ‎【详解】由程序框图可知，输入，，，‎ 第一次运算：，；‎ 第二次运算：，；‎ 第三次运算：，；‎ 第四次运算：，；‎ 第五次运算：，；‎ 第六次运算：，；‎ 第七次运算：，；‎ 第八次运算：，；‎ 第九次运算：，；‎ 第十次运算：，，‎ 综上所述，输出的结果为，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．‎ ‎9.已知向量在向量方向上的投影为3，则与的夹角为( )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用向量的投影计算公式表示出在方向上的投影,根据投影为即可计算出与的夹角.‎ 详解】设，由已知得，且，‎ 所以，．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查根据向量投影的计算公式求解向量的夹角，难度较易.一个向量在另一个向量上的投影计算公式为：，根据公式可知投影有正负之分.‎ ‎10.已知的内角的对边分别为，若，，则的外接圆面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理化简已知等式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径的值，利用圆的面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】解：，‎ 由余弦定理可得：，整理解得：，‎ 又，可得：，‎ 设三角形的外接圆的半径为，则，可得：，‎ 的外接圆的面积．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎11.已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 将y=k(x+2)代入y2=8x,得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.‎ 设交点的横坐标分别为xA,xB,‎ 则xA+xB=-4,①‎ xA·xB=4.‎ 又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,‎ ‎|FA|=2|FB|,‎ ‎∴2xB+4=xA+2.‎ ‎∴xA=2xB+2.②‎ ‎∴将②代入①得xB=-2,‎ xA=-4+2=-2.‎ 故xA·xB==4.‎ 解之得k2=.‎ 而k>0,∴k=,满足Δ>0.故选D.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎12.已知为自然对数的底数，若对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数和，分别求出单调性和值域，即可得到关于的不等式，解出即可．‎ ‎【详解】等式可化为，，‎ 构造函数在单调递减，最小值为，最大值为，‎ 构造函数，求导，‎ 当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，则，，的最小值为，‎ 因为对任意，总存在唯一的，使得成立，‎ 则，即.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程的综合问题，考查了函数的单调性在解决综合题目的运用，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的周期性和奇偶性得，由此能求出结果．‎ ‎【详解】解：是定义在上的周期为2的偶函数，‎ 当时，，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数的周期性和奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎14.实数满足，则的最大值是_____________．‎ ‎【答案】25.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当，时，取得最大值25．‎ ‎【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，‎ 得到如图的及其内部，其中，，‎ 设，将直线进行平移，‎ 当经过点时，目标函数达到最大值 故答案为：25．‎ ‎【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．‎ ‎15.过点A(6,1)作直线与双曲线x2-4y2=16相交于两点B,C,且A为线段BC的中点,则直线的方程（表示为一般式）为_________.‎ ‎【答案】3x-2y-16=0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解决圆锥曲线弦中点问题常采用设而不求的方法进行求解．‎ ‎【详解】设B、C两点坐标分别是：、,则直线BC的斜率,‎ 由线段中点坐标公式得：，‎ 把B、C两点坐标、分别代入方程得：‎ 相减得：，把 代入化简得：，‎ 因为所求直线过点，且斜率是，所以：其方程是：，‎ 化简得：‎ ‎【点睛】圆锥曲线中的中点坐标问题是常考点，考生应加强此种题型训练 ‎16.表面积为的球面上有四点，且是边长为的等边三角形，若平面平面，则三棱锥体积的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵，故当到面的距离最大时，三棱锥的体积最大，由图可知即当，为中点时，三棱锥的体积最大，作，面，连接，由，得，由于，得，故，，故，，， ，故答案为.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：（共60分）‎ ‎17.已知函数．‎ ‎（1）求的最大值并求取得最大值时的集合；‎ ‎（2）记的内角、、的对边长分别为，若，，，求的值．‎ ‎【答案】（1）最大值为，；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把的解析式利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由为任意实数，可得余弦函数的值域为，，进而确定出的最大值，并根据余弦函数的图象与性质得到此时的取值集合；‎ ‎（2）把，代入第一问化简得到的解析式中，根据为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出的度数，再由与，以及的值，利用余弦定理即可求出的值．‎ 详解】解：（1）‎ 当，即时，‎ 故取得最大值时的集合为 ‎（2）因为，所以 由得 又因为 所以 所以或 ‎【点睛】此题考查了余弦定理，两角差的余弦函数公式、二倍角公式，正弦函数的最值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎18.已知数列满足且．‎ ‎（1）证明数列是等比数列；‎ ‎（2）设数列满足，，求数列通项公式．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证数列是等比数列，即证等于同一个非零常数，根据递推公式即可凑出.‎ ‎（2）由（1）可得，再利用累加法可求数列的通项公式．‎ ‎【详解】（1）∵‎ ‎∴‎ 所以是首项为1公比为3的等比数列 ‎（2）由（1）可知 所以 因为，所以 ‎……‎ ‎，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查待定系数法、累加法求数列的通项公式以及等比数列的前项和公式，属于基础题．‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面 平面，四边形为正方形，△为等边三角形，是中点，平面与棱交于点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（III）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，直接写出的值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由为正方形，可得．再由线面平行的判定可得平面.．再由面面平行的性质可得； （Ⅱ）由为正方形，可得．结合面面垂直的性质可得平面．从而得到.．再由已知证得．由线面垂直的判定可得平面； （Ⅲ）由（Ⅰ）知，，利用等积法把用表示，则的值可求．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）证明：因为正方形，所以.‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ 因为平面，平面平面，‎ 所以.‎ ‎（II）证明：因为正方形，所以.‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面.‎ 因为平面，‎ 所以.‎ 因为为等边三角形，是中点，‎ 所以.‎ 因为平面，平面，，‎ 所以平面.‎ ‎（III）解：由（Ⅰ）知， ‎ ‎ 则 ‎ ‎ ．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．‎ ‎20.在直角坐标系xOy中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是，设动点P的轨迹为E．‎ ‎（1）求动点P的轨迹E的方程；‎ ‎（2）设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若，求证：为定值．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点，根据动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是，列出等式，再化简即可得出答案.‎ ‎（2）设出直线AB与直线CD，联立直线与椭圆，即可得出、的值，即可求出.‎ ‎【详解】解：（1）设点，由题意得，将两边平方，并简化得，‎ 故轨迹的方程是．‎ ‎（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，易求，，‎ 则．‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，‎ 设直线AB的斜率为k，依题意，‎ 则直线AB的方程为，直线CD的方程为．‎ 设，，，，‎ 由得 ‎．‎ 则，，‎ 由整理得，则．‎ ‎．‎ ‎∴．‎ 综合①②知：为定值．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程,椭圆中的定值问题,一般关于直线与双曲线相交的定值或定点问题，都需设出直线，联立直线与双曲线，利用韦达定理，利用参数将将所求值表示出来,化简得即可得出答案.本类问题一般计算量较大.需要注意的是：在设直线时需考虑直线斜率不存在的情况.属于中档题.‎ ‎21.设，其中，函数在点处的切线方程为 ‎，其中.‎ ‎（1）求和并证明函数有且仅有一个零点；‎ ‎（2）当时，恒成立，求最小的整数的值.‎ ‎【答案】（1），证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导函数，根据函数在点处的切线方程为，可得，即可求得的值，在根据函数的单调性以及特殊点的函数值，可判断函数只有一个零点.‎ ‎（2）当时，，由此；猜想最小值为，再证明，在时恒成立，即可求得.‎ ‎【详解】解：（1）‎ 所以定义域为 ‎，‎ 又因为函数在点处的切线方程为 所以 当时，，即，解得 ‎，函数在上单调递减 由于，，则函数有且仅有一个零点．‎ ‎（2）一方面，当时，，由此；‎ 所以猜想的最小值为，‎ 下证：当时，，在时恒成立，‎ 记函数，，在上单调递增，在上单调递减 ‎；‎ 记函数，，在上单调减，在上单调减 ‎，即；‎ ‎，成立 又因为和不能同时在同一处取到最大值，‎ 所以当时，恒成立 所以最小整数．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值问题，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分.‎ ‎[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，曲线的参数方程为为参数．‎ 求曲线，的普通方程；‎ 求曲线上一点P到曲线距离的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平方和代入法，消去参数，即可得到曲线的普通方程；‎ ‎（2）由曲线的方程，设，再由点到直线的距离公式和三角函数的性质，即可求解．‎ ‎【详解】（1）由题意，为参数），则，平方相加，即可得：，‎ 由为参数），消去参数，得：，即.‎ ‎（2）设，‎ 到的距离 ，‎ ‎∵，当时，即，，‎ 当时，即，.‎ ‎∴取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的参数方程的应用问题，其中解答中合理利用平方和代入，正确化简消去参数得到普通方程，再利用椭圆的参数方程，把距离转化为三角函数问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎[选修4－5：不等式选讲]‎ ‎23.已知 ‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，将原不等式化为，分别讨论，，三种情况，即可求出结果；‎ ‎（2）分别讨论和两种情况，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）当时，原不等式可化为；‎ 当时，原不等式可化为，即，显然成立，‎ 此时解集为；‎ 当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；‎ 当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；‎ 综上，原不等式的解集为；‎ ‎（2）当时，因为，所以由可得，‎ 即，显然恒成立；所以满足题意；‎ 当时，，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.‎ ‎ ‎