2021高考数学一轮复习课后限时集训30平面向量的数量积与平面向量应用举例文北师大版

2021高考数学一轮复习课后限时集训30平面向量的数量积与平面向量应用举例文北师大版

课后限时集训30‎ 平面向量的数量积与平面向量应用举例 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)‎ A．4　　　 　B．3　　　 　C．2　　 　　D．0‎ B　[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.]‎ ‎2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为(　　)‎ A. B．－ ‎ C. D．－ D　[∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)，‎ ‎∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)．‎ ‎∵λa＋b与b垂直， ∴(λa＋b)·b＝0，‎ ‎∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，‎ 即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－.]‎ ‎3．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，则|a－b|＝(　　)‎ A. B. ‎ C．2 D. A　[因为|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，所以|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋5－0＝6，所以|a－b|＝.故选A.]‎ ‎4．a，b为平面向量，已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)‎ A．－ B．－ ‎ C. D. B　[∵a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，∴b＝[a－(a－2b)]＝(1，－2)，‎ ‎∴a·b＝2－8＝－6.设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|·cos θ＝2×cos θ＝10cos θ，‎ ‎∴10cos θ＝－6，∴cos θ＝－，‎ 故选B.]‎ - 5 -‎ ‎5．如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请设法计算·＝(　　)‎ A．10 B．11 ‎ C．12 D．13‎ B　[以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，＝(4,1)，＝＝(2,3)，∴·＝4×2＋1×3＝11，故选B.]‎ ‎6．(2019·河北衡水模拟三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,4)，则“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得(1，k)·(2,4)＝0，解得k＝－，所以“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要条件．故选C.]‎ ‎7．(2019·宝鸡模拟)在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边上的一个三等分点，则·＋·＝(　　)‎ A．0 B．1 ‎ C. D．－ B　[以点C的坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，不妨设P，所以·＋·＝·(＋)＝＋＝1.故选B.]‎ 二、填空题 ‎8．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角的正弦值为________．‎ 　[∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，‎ - 5 -‎ ‎∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，‎ ‎∴sin〈a，b〉＝＝.]‎ ‎9．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于________．‎ ‎－　[∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，‎ ‎∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，‎ ‎∴a·b＝－1，‎ ‎∴a在b方向上的投影为＝－.]‎ ‎10．如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若＝－7，3＝，则·＝________.‎ ‎－11　[以A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图．‎ 则A(0,0)，B(4,0)，E(1,4)，F(5,1)，所以＝(5,1)，＝(－3,4)，则·＝－15＋4＝－11.]‎ ‎1．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. A　[由|a＋b|＝|a－b|知，a·b＝0，所以a⊥b.将|a－b|＝2|b|两边平方，得|a|2－2a·b＋|b|2＝4|b|2，所以|a|2＝3|b|2，所以|a|＝|b|，所以cos〈a＋b，a〉＝＝ - 5 -‎ ‎＝＝，所以向量a＋b与a的夹角为，故选A.]‎ ‎2．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋c)·(2b－c)的最小值为(　　)‎ A．－2 B．－ C．－1 D．0‎ B　[因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝.不妨设a＝(1,0)，b＝，c＝(cos θ，sin θ)，则(a＋c)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b·c－c2＝1－cos θ＋2－1＝sin θ，所以(a＋c)·(2b－c)的最小值为－，故选B.]‎ ‎3．在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，a＋c＝3，cos B＝，则·＝________.‎ ‎－　[由a，b，c成等比数列得ac＝b2，在△ABC中，由余弦定理可得cos B＝＝，则＝，解得ac＝2，‎ 则·＝accos(π－B)＝－accos B＝－.]‎ ‎4．(2019·衡水第二次调研)如图所示，||＝5，||＝，·＝0，且＝2，＝3，连接BE，CD交于点F，则||＝________.‎ 　[由三点共线可知，＝λ＋(1－λ)＝2λ＋(1－λ)(λ∈R)，①‎ 同理，＝μ＋(1－μ)＝μ＋3(1－μ)(μ∈R)，②‎ 由①②，得 解得 故＝＋.‎ - 5 -‎ ‎∴||＝＝.]‎ ‎1．如图所示，△AB1C1，△C1B2C2，△C2B3C3均是边长为2的正三角形，点C1，C2在线段AC3上，点Pi(i＝1,2，…，10)在B3C3上，且满足＝＝＝…＝P10B3，连接AB2，APi(i＝1,2，…，10)，则 (·)＝________.‎ ‎180　[以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系(图略)，可得B2(3，)，B3(5，)，C3(6,0)，直线B3C3的方程为y＝－(x－6)，可设Pi(xi，yi)，可得xi＋yi＝6，‎ 即有·＝3xi＋yi＝(xi＋yi)＝18，‎ 则 (·)＝180.]‎ ‎2．已知在△ABC所在平面内有两点P，Q，满足＋＝0，＋＋＝，若||＝4，||＝2，S△APQ＝，则sin A＝________，·＝________.‎ 　±4　[由＋＝0知，P是AC的中点，由＋＋＝，可得＋＝－，即＋＝，即＝2，‎ ‎∴Q是AB边靠近B的三等分点，‎ ‎∴S△APQ＝××S△ABC＝S△ABC，‎ ‎∴S△ABC＝3S△APQ＝3×＝2.‎ ‎∵S△ABC＝||||sin A＝×4×2×sin A＝2，‎ ‎∴sin A＝，∴cos A＝±，‎ ‎∴·＝||||·cos A＝±4.]‎ - 5 -‎