2021高考数学一轮复习课后限时集训30平面向量的数量积与平面向量应用举例文北师大版

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2021高考数学一轮复习课后限时集训30平面向量的数量积与平面向量应用举例文北师大版

课后限时集训30‎ 平面向量的数量积与平面向量应用举例 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(  )‎ A.4     B.3     C.2     D.0‎ B [a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3,故选B.]‎ ‎2.已知平面向量a=(-2,3),b=(1,2),向量λa+b与b垂直,则实数λ的值为(  )‎ A. B.- ‎ C. D.- D [∵a=(-2,3),b=(1,2),‎ ‎∴λa+b=(-2λ+1,3λ+2).‎ ‎∵λa+b与b垂直, ∴(λa+b)·b=0,‎ ‎∴(-2λ+1,3λ+2)·(1,2)=0,‎ 即-2λ+1+6λ+4=0,解得λ=-.]‎ ‎3.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a·b=0,则|a-b|=(  )‎ A. B. ‎ C.2 D. A [因为|a|=1,b=(2,1),且a·b=0,所以|a-b|2=a2+b2-2a·b=1+5-0=6,所以|a-b|=.故选A.]‎ ‎4.a,b为平面向量,已知a=(2,4),a-2b=(0,8),则a,b夹角的余弦值等于(  )‎ A.- B.- ‎ C. D. B [∵a=(2,4),a-2b=(0,8),∴b=[a-(a-2b)]=(1,-2),‎ ‎∴a·b=2-8=-6.设a,b的夹角为θ,∵a·b=|a||b|·cos θ=2×cos θ=10cos θ,‎ ‎∴10cos θ=-6,∴cos θ=-,‎ 故选B.]‎ - 5 -‎ ‎5.如图在边长为1的正方形组成的网格中,平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住,请设法计算·=(  )‎ A.10 B.11 ‎ C.12 D.13‎ B [以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,1),C(6,4),=(4,1),==(2,3),∴·=4×2+1×3=11,故选B.]‎ ‎6.(2019·河北衡水模拟三)已知向量a=(1,k),b=(2,4),则“k=-”是“|a+b|2=a2+b2”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C [由|a+b|2=a2+b2,得a2+2a·b+b2=a2+b2,得a·b=0,得(1,k)·(2,4)=0,解得k=-,所以“k=-”是“|a+b|2=a2+b2”的充要条件.故选C.]‎ ‎7.(2019·宝鸡模拟)在直角三角形ABC中,角C为直角,且AC=BC=1,点P是斜边上的一个三等分点,则·+·=(  )‎ A.0 B.1 ‎ C. D.- B [以点C的坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则C(0,0),A(1,0),B(0,1),不妨设P,所以·+·=·(+)=+=1.故选B.]‎ 二、填空题 ‎8.已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角的正弦值为________.‎  [∵a·(a+b)=a2+a·b=22+2×1×cos〈a,b〉=4+2cos〈a,b〉=3,‎ - 5 -‎ ‎∴cos〈a,b〉=-,又〈a,b〉∈[0,π],‎ ‎∴sin〈a,b〉==.]‎ ‎9.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a+b|=,则a在b方向上的投影等于________.‎ ‎- [∵|a|=1,|b|=2,|a+b|=,‎ ‎∴(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=5+2a·b=3,‎ ‎∴a·b=-1,‎ ‎∴a在b方向上的投影为=-.]‎ ‎10.如图所示,直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=4,CD=8.若=-7,3=,则·=________.‎ ‎-11 [以A为坐标原点,建立平面直角坐标系如图.‎ 则A(0,0),B(4,0),E(1,4),F(5,1),所以=(5,1),=(-3,4),则·=-15+4=-11.]‎ ‎1.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a的夹角为(  )‎ A. B. ‎ C. D. A [由|a+b|=|a-b|知,a·b=0,所以a⊥b.将|a-b|=2|b|两边平方,得|a|2-2a·b+|b|2=4|b|2,所以|a|2=3|b|2,所以|a|=|b|,所以cos〈a+b,a〉== - 5 -‎ ‎==,所以向量a+b与a的夹角为,故选A.]‎ ‎2.已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|=1,若a·b=,则(a+c)·(2b-c)的最小值为(  )‎ A.-2 B.- C.-1 D.0‎ B [因为a·b=|a||b|·cos〈a,b〉=cos〈a,b〉=,所以〈a,b〉=.不妨设a=(1,0),b=,c=(cos θ,sin θ),则(a+c)·(2b-c)=2a·b-a·c+2b·c-c2=1-cos θ+2-1=sin θ,所以(a+c)·(2b-c)的最小值为-,故选B.]‎ ‎3.在△ABC中,a,b,c为A,B,C的对边,a,b,c成等比数列,a+c=3,cos B=,则·=________.‎ ‎- [由a,b,c成等比数列得ac=b2,在△ABC中,由余弦定理可得cos B==,则=,解得ac=2,‎ 则·=accos(π-B)=-accos B=-.]‎ ‎4.(2019·衡水第二次调研)如图所示,||=5,||=,·=0,且=2,=3,连接BE,CD交于点F,则||=________.‎  [由三点共线可知,=λ+(1-λ)=2λ+(1-λ)(λ∈R),①‎ 同理,=μ+(1-μ)=μ+3(1-μ)(μ∈R),②‎ 由①②,得 解得 故=+.‎ - 5 -‎ ‎∴||==.]‎ ‎1.如图所示,△AB1C1,△C1B2C2,△C2B3C3均是边长为2的正三角形,点C1,C2在线段AC3上,点Pi(i=1,2,…,10)在B3C3上,且满足===…=P10B3,连接AB2,APi(i=1,2,…,10),则 (·)=________.‎ ‎180 [以A为坐标原点,AC1所在直线为x轴建立直角坐标系(图略),可得B2(3,),B3(5,),C3(6,0),直线B3C3的方程为y=-(x-6),可设Pi(xi,yi),可得xi+yi=6,‎ 即有·=3xi+yi=(xi+yi)=18,‎ 则 (·)=180.]‎ ‎2.已知在△ABC所在平面内有两点P,Q,满足+=0,++=,若||=4,||=2,S△APQ=,则sin A=________,·=________.‎  ±4 [由+=0知,P是AC的中点,由++=,可得+=-,即+=,即=2,‎ ‎∴Q是AB边靠近B的三等分点,‎ ‎∴S△APQ=××S△ABC=S△ABC,‎ ‎∴S△ABC=3S△APQ=3×=2.‎ ‎∵S△ABC=||||sin A=×4×2×sin A=2,‎ ‎∴sin A=,∴cos A=±,‎ ‎∴·=||||·cos A=±4.]‎ - 5 -‎
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