2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 吉林省长春外国语学校2017-2018学高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据并集定义求结果.‎ 详解：因为,，所以,‎ 选A.‎ 点睛：集合的基本运算的关注点 ‎(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．‎ ‎(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．‎ ‎(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．‎ ‎2． ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据复数乘法法则求结果.‎ 详解：‎ 选B.‎ 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎3．数列满足 是数列为等比数列的 ( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. ‎ 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由反例得充分性不成立，再根据等比数列性质证必要性成立.‎ 详解：因为满足，所以充分性不成立 若数列为等比数列，则 ，即必要性成立.‎ 选B.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎4．已知,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先根据诱导公式得，再利用二倍角公式以及弦化切得结果.‎ 详解：因为，所以,‎ 因此，‎ 选D.‎ 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为 （　　）‎ A. 5 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，最后结合正弦定理即可得结果.‎ 详解：根据三角形面积公式得，，得，则，即，，故正确答案为C.‎ 点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.‎ ‎6．曲线在处的切线的倾斜角是 （　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得斜率，最后得倾斜角.‎ 详解：因为，所以 所以曲线在处的切线的斜率为 因此倾斜角是，‎ 选B.‎ 点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.‎ ‎7．已知函数，则 ( )‎ A. 是偶函数，且在R上是增函数 B. 是奇函数，且在R上是增函数 C. 是偶函数，且在R上是减函数 D. 是奇函数，且在R上是减函数 ‎【答案】B ‎【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B．‎ ‎【名师点睛】本题属于基础题型，根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性，利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数．‎ ‎8．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰为的等腰直角三角形，高是，其底面积为： ，‎ 侧面积为： ；‎ 圆柱的底面半径是，高是，其底面积为： ，‎ 侧面积为： ；‎ ‎∴组合体的表面积是，‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．‎ ‎(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．‎ ‎9．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：‎ ‎，所以选B.‎ 考点：三角函数解析式 ‎【方法点睛】已知函数的图象求解析式 ‎(1).‎ ‎(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.‎ ‎10．过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则 ( )‎ A. 2 B. 8 C. 4 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据三点坐标求圆方程，再根据垂径定理求弦长.‎ 详解：设圆方程为 因为过三点，，，所以 所以 因此，‎ 选C.‎ 点睛：确定圆的方程方法 ‎(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．‎ ‎(2)待定系数法 ‎①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；‎ ‎②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．‎ ‎11．正项等比数列中，，若，则的最小值等于（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先求公比，再得m,n关系式，最后根据基本不等式求最值.‎ 详解：因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 因此 当且仅当时取等号 选 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎12．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】构造新函数,，当时.‎ 所以在上单减，又，即.‎ 所以可得,此时，又为偶函数，所以在上的解集为：.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知向量，，且，则___________；‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：根据向量垂直坐标表示得方程，解得m值.‎ 详解：因为，所以 点睛：向量平行：，向量垂直：，向量加减： ‎ ‎14．若实数，满足线性约束条件，则的最大值为_____________；‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】分析：先作可行域，再根据目标函数所表示直线，平移可得最大值取法.‎ 详解：作可行域，则直线过点A（2，1）时取最大值8.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎15．直线与圆交于两点，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.‎ 详解：根据题意，圆的方程可化为，‎ 所以圆的圆心为，且半径是2，‎ 根据点到直线的距离公式可以求得，‎ 结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.‎ 点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.‎ ‎16．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先将三棱锥补成长方体，再根据长方体外接球直径等于长方体对角线长，计算球体积.‎ 详解：因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以将三棱锥补成一个长方体，长宽高分别为，因为三棱锥的外接球与长方体外接球相同，所以外接球直径等于，因此三棱锥的外接球的体积等于 点睛：若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c,已知.‎ ‎(1)求的值； ‎ ‎(2)若，b＝2，求△ABC的面积S.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：(1)先由正弦定理将已知条件中的角化为边，然后十字相乘展开整理，利用两角和与差的正弦公式及诱导公式即可整理得与，即可求出的值；（2）由（1）的结论及正弦定理求出关系，结合已知条件和余弦定理求出的值，再利用同角三角函数基本关系式及求出，再用三角形面积公式求出三角形面积公式.‎ 试题解析：（1）由正弦定理，设 则==‎ 所以=3分 即=，‎ 化简可得 又，所以因此=2. 6分 ‎（2）由=2得7分 由余弦定理及，得 解得=1，∴=2， 9分 又因为，且，所以 因此==. 12分 考点：正弦定理；余弦定理；三角形面积公式；两角和与差的三角公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；运算求解能力 ‎18．已知是等差数列，满足， ，数列满足， ，且是等比数列.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d=== 3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n 设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则 q3===8，∴q=2，‎ ‎∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=3n+2n﹣1‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1， ∵数列{3n}的前n项和为n（n+1），‎ 数列{2n﹣1}的前n项和为1×= 2n﹣1，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为；‎ 考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和。‎ 视频 ‎19．如图，在三棱锥中，，，为的中点．‎ ‎ （1）证明：平面；‎ ‎ （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】解：‎ ‎（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．‎ 连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．‎ 由知，OP⊥OB．‎ 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．‎ ‎（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离．‎ 由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．‎ 所以OM=，CH==．‎ 所以点C到平面POM的距离为．‎ ‎【解析】分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.‎ 详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．‎ 连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．‎ 由知，OP⊥OB．‎ 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．‎ ‎（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离．‎ 由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．‎ 所以OM=，CH==．‎ 所以点C到平面POM的距离为．‎ 点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.‎ ‎20．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据概率等于频数除以总数得结果，（2）先根据题意确定随机变量取法，再确定Y大于零实际意义，最后根据概率等于频数除以总数得结果.‎ 详解： ‎ ‎（1）最高气温低于25时这种酸奶的需求量不超过300‎ 则 ‎ ‎ （2）当最高气温不低于25时，需求量为500，进货450瓶均可售出 所以利润 （元）‎ 当最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，进货450瓶只能售出300瓶 所以利润 （元）‎ 当最高气温低于20，需求量为200瓶，进货450瓶只能售出200瓶 所以利润 （元）‎ 当利润 时，最高气温不低于20，‎ 所以或者 点睛：在实际问题中经常以频率代替概率，而频率根据频数除以总数得到.‎ ‎21．已知圆C经过点,且圆心C在直线上，又直线与圆C相交于P,Q两点.‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）若，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）0‎ ‎【解析】(1)设圆心C(a，a)，半径为r.‎ 因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，‎ 所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，‎ 所以圆C的方程是x2＋y2＝4.‎ ‎(2)因为·＝2×2×cos〈，〉＝－2，且与的夹角为∠POQ，‎ 所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，‎ 所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，‎ 又d＝，所以k＝0.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）若，证明：当时，；‎ ‎（2）若在只有一个零点，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.‎ 详解：（1）当时，等价于．‎ 设函数，则．‎ 当时，，所以在单调递减．‎ 而，故当时，，即．‎ ‎（2）设函数．‎ 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．‎ ‎（i）当时，，没有零点；‎ ‎（ii）当时，．‎ 当时，；当时，．‎ 所以在单调递减，在单调递增．‎ 故是在的最小值．‎ ‎①若，即，在没有零点；‎ ‎②若，即，在只有一个零点；‎ ‎③若，即，由于，所以在有一个零点，‎ 由（1）知，当时，，所以．‎ 故在有一个零点，因此在有两个零点．‎ 综上，在只有一个零点时，．‎ 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 ‎(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.‎ ‎(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.‎ ‎(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎