专题37+不等式的性质与基本不等式（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

专题37+不等式的性质与基本不等式（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

‎【学习目标】‎ ‎1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．‎ ‎2．了解不等式(组)的实际背景．‎ ‎3．掌握不等式的性质及应用．‎ ‎【知识要点】‎ ‎1．不等式的定义 用不等号“>，≥，＜，≤，≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式．‎ ‎2．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0⇔_______；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔______．‎ ‎3．不等式的性质 ‎(1)对称性：a>b⇔________；‎ ‎(2)传递性：a>b，b>c⇒_________；‎ ‎(3)可加性：a>b⇔_________________；a>b，c>d⇒________；‎ ‎(4)可乘性：a>b，c>0⇒_____________；a>b，c<0⇒______；a>b>0，c>d>0⇒________；‎ ‎(5)倒数法则：a>b，ab>0⇒__________；‎ ‎(6)乘方性质：a>b>0⇒________(n≥2，n∈N*)；‎ ‎(7)开方性质：a>b>0⇒________(n≥2，n∈N*)；‎ ‎(8)有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则 ‎①真分数的性质：_______；‎ _______(b－m>0)；‎ ‎②假分数的性质：________；‎ ________(b－m>0)．‎ ‎4．基本不等式 ‎(1)a2＋b2__________2ab；变式：≥_________；当且仅当a＝b时等号成立；‎ ‎(2)如果a≥0，b≥0，则______；变式：ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中叫做正数a，b的______________，叫做正数a，b的______________．‎ ‎5．(1)若a>0，b>0，且a＋b＝P(定值)，则由ab≤＝可知，当a＝b时，ab有最____________值；‎ ‎(2)若a>0，b>0且ab＝S(定值)，则由a＋b≥2＝2可知，当a＝b时，a＋b有最_____________值2.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.运用不等式的基本性质解决不等式问题，要注意不等式成立的条件，如性质(4)(5)(6)(7)中要求乘数大于0，性质(6)(7)中还要求n∈N且n>1.‎ ‎2.比较数(式)大小，一般用：‎ ‎(1)作差法，具体步骤：作差—变形—判断(与0比较)—结论；‎ ‎(2)作商法，具体步骤：作商—变形—判断(与1比较)—结论，注意分母的符号.‎ ‎3.判断不等式是否成立，一般可用不等式性质、函数性质、基本不等式进行推理，也可以利用特殊值法对命题进行否定.‎ ‎4.实际中的不等量问题的建模：(1)将每个量用数或代数式表示，(2)用不等号连结.‎ ‎5.a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，而≥成立，则要求a>0，b>0.‎ ‎6.利用基本不等式求最值，要注意使用条件：一正(各数为正)，二定(和或积为定值)，三相等(等号在允许取值范围内能取到)，要熟悉均值不等式的各种变形.‎ ‎7.连续使用以上公式中的任一个或两个，取等号的条件要在同一条件下取得，方可取到最值.‎ ‎【高考模拟】‎ 一、单选题 ‎1．若，则下列结论一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的性质可得m＞n，再分类讨论即可.‎ ‎【详解】‎ 由得到.当时，由不等式同向可乘性知，即；当时，；当时，，由不等式同向可乘性知，故，.‎ 故选：B ‎【考点】‎ 不等式、指数、对数的基本性质，不等式性质.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数的图象与性质，不等式的基本性质，属于基础题．‎ ‎2．若，，则下列不等式不正确的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据不等式性质推导，确定选项.‎ 点睛：本题考查不等式性质，考查基本推理论证能力.‎ ‎3．设，，则下列不等式恒成立的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用不等式的基本性质，对各选项中的不等式进行判定即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵a＞b＞0，c∈R，‎ ‎∴A中，c=0时，a|c|＞b|c|不成立；‎ B中，c=0时，ac2＞bc2，不成立；‎ C中，当c≤0时，a2c＞b2c不成立；‎ D中，由a＞b＞0，两边同时除以ab，得到＜，∴D成立．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 不等式的性质及其应用： (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．‎ ‎(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．‎ ‎4．设，那么下列条件中正确的是（ ）.‎ A． a＞ab＞ab2 B． C． ab＞ab2＞a D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质和“作差法”即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 熟练掌握不等式的性质和“作差法”是解题的关键．‎ ‎5．已知，且，，则，的关系是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：因为P2﹣Q2=﹣≤0，所以P2≤Q2，则P≤Q，‎ 点睛：比较大小的常用方法 ‎（1）作差法：‎ 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.‎ ‎（2）作商法：‎ 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.‎ ‎（3）函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系.‎ ‎（4）借助第三量比较法 ‎6．已知，满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．‎ 详解：设α+3β=λ（α+β）+v（α+2β）=（λ+v）α+（λ+2v）β．‎ 比较α、β的系数，得，‎ 从而解出λ=﹣1，v=2．‎ 分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，‎ 两式相加，得1≤α+3β≤7．‎ 故α+3β的取值范围是[1，7]．‎ 故选：A 点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．‎ ‎7．已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：利用不等式性质，指数函数的单调性，特值法逐一判断即可.‎ 点睛：不等式的性质及其应用： (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．‎ ‎(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．‎ ‎8．设，且，则下列命题一定正确的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的基本性质，以及函数的单调性，判断四个答案的真假 ‎【详解】‎ ‎，当时，，故错误 为增函数，故，故正确 时，满足，但，故错误 时，，故错误 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的真假判断与应用，结合不等式的性质，找出一个反例即可判断错误。‎ ‎9．给出以下四个命题：（ ）‎ ‎①若a>b，则 ；　②若ac2>bc2，则a>b； ③若a>|b|，则a>b；④若a>b，则a2>b2.‎ 其中正确的是(　　)‎ A． ②④ B． ②③ C． ①② D． ①③‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据不等式的性质分别进行判断，注意结合特值法求解.‎ 点睛：‎ 本题考查不等式的性质的应用，要求熟练掌握不等式性质成立的条件，同时注意运用特值法判断，属于简单题.‎ ‎10．已知，则,的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：平方后作差可得．‎ 详解：‎ ‎ ，‎ ‎∴，又，∴．‎ 故选D．‎ 点睛：实数比较大小一般用作差法，作差后因式分解然后与0比较大小，本题中由于是方根，因此可两者平方后再作差比较后，由结论可得．‎ ‎11．若则下列式子：（1），（2），‎ ‎（3），（4）.其中恒成立的个数是 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 ‎【答案】A ‎【解析】分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可.‎ 点睛：这个题目考查了基本不等式的应用条件，两式比较大小的方法；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1‎ 比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.‎ ‎12．设正数满足,则的最小值为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以（x-y）+(x+5y)=6,再利用基本不等式求的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以（x-y）+(x+5y)=6,‎ 所以=‎ ‎，‎ 当且仅当时取最小值.‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)、本题的解题关键是常量代换，即把化成 ，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.‎ ‎13．在面积为1的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是（ ）‎ A． 1 B． C． D． 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设，结合三角形面积公式与平面向量数量积公式可得 ，利用二次函数的性质与基本不等式即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 的最小值为 ‎（当且仅当取等号）,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数，求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单．‎ ‎14．已知函数的图像在点处的切线的斜率为2，则的最小值是 A． 10 B． 9 C． 8 D． ‎ ‎【答案】B ‎15．设函数，若是两个不相等的正数且 ‎ ‎，则下列关系式中正确的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），‎ q=f（）=ln（）≥ln（）=p，‎ ‎ =（f（a）+f（b））=（lna+lnb），‎ ‎∴p=＜q， .‎ 故.‎ 故答案为：B。‎ 点睛：这个题目考查的是比较对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0，1，-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小；或者利用不等式放缩来比较大小。‎ ‎16．已知，则函数的最小值是（ ）‎ A． 2 B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式求出，再利用基本不等式，即可求出答案 ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的最小值的求法，考查了二倍角公式，注意运用基本不等式，考查了运算能力，属于基础题 二、解答题 ‎17．已知，求证：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）见解析.‎ ‎（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用作差法，通过配方法即可证明不等式；‎ ‎（2）利用综合法证明不等式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．‎ ‎18．若，，，比较，，的大小.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析：利用作差法比较大小即可.‎ 详解：∵，，，‎ ‎∴ ，即，‎ ‎ ，即，‎ 综上可得：.‎ 点睛：作差法：‎ 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．‎ ‎19．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 若关于x的不等式的解集为R，记实数t的最大值为a.‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）若正实数满足，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）3.‎ ‎（2）3.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由绝对值的三角不等式得到则；（2）考察基本不等式的应用，将构造为，则，从而。‎ ‎（2）因为 ‎ ‎，‎ 所以，从而，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最小值为.‎ 点睛：（1）利用绝对值三角不等式来解决绝对值不等式问题，也可以利用绝对值函数图象来解题；（2）不等式问题考察基本不等式“1”的妙用，得到，解得答案。‎ ‎20．选修4-5：不等式选讲 ‎（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若正实数满足，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 或.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】分析：(1)先根据偶次根式被开方数非负得 恒成立，再根据绝对值三角不等式得 最小值，最后解不等式得实数的取值范围；(2)利用1得代换得，再根据基本不等式求最值得结果. ‎ ‎（2）因为 所以 即的取值范围是.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎21．（1）若关于的不等式的解集是的子集，求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知，，均为正数，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）.（2）12.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）化简不等式＜0，通过a与2的范围的讨论，求解即可；‎ ‎（2）根据题意，将abc=9（a+b）变形可得c=9×，则a+b+c=（a+b）+9×，结合基本不等式的性质分析可得答案．‎ 详解：（1）由题，‎ 当时，不等式的解集为，此时显然是的子集，‎ 当时，不等式的解集为，要使其为的子集，∴，综上，.‎ 点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集．‎ ‎（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．‎ ‎22．设函数的最小值为.‎ ‎（1）求实数 m 的值；‎ ‎（2）已知 ，且满足，求证：.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：（1）由绝对值三角不等式可得最小值；‎ ‎（2）由（1）已知可变为，，展开后可用基本不等式求得最小值，从而证明结论．‎ 详解：（1）函数 ‎ 故的最小值.‎ ‎（2）由（1）得，故，‎ 故 ‎ ‎，‎ 当且仅当，即时“”成立．‎ 点睛：本题考查绝对值不等式的性质，考查基本不等式求最值．用绝对值三角不等式求得最值是求 的最小值的常用方法．而用“1”的代换求最值是基本不等式应用的常见题型，要牢牢掌握．‎ 三、填空题 ‎23．设等差数列的前项和为，在数列中，，且，，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的定义和bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n，且b1=6，b2=9，可求出a1=，d=，可得等差数列{an}的前n项和为Sn和{bn}的通项公式，再根据基本不等式即可求出．‎ ‎【详解】‎ ‎∴bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=+（3n﹣2﹣1）×++（3n﹣1﹣1）×++（3n﹣1）×=3n+3=3（n+1），‎ ‎∴=‎ ‎，当且仅当n=3时取等号，‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查了数列的递推公式和等差数列求和公式,考查了基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化推理能力．(2)本题的关键是求出.‎ ‎24．已知，且，则的最小值等于_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得，可得运用基本不等式即可得到所求最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和运算能力，属于中档题．‎ ‎25．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入，，的值分别为8，6，1，输出和的值，若正数，满足，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】49‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行程序框图，按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出和的值，然后利用基本不等式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 即的最小值为，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要程序框图的应用、考查利用基本不等式求最值，属于难题.‎ 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎26．若正数x，y满足2x＋3y＝1，则的最小值为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把变成的形式，再利用基本不等式求其最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查基本不等式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理转化的能力.(2)解答本题的关键是把变成的形式，这叫常量代换.‎ ‎27．已知，且的最小值为__________‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用基本不等式的性质即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎,且，‎ 则 ‎，‎ 当时，等号成立，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎28．若二次函数的值域为，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，，，从而求出，将所求式子中的4代换成，利用裂项法进行整理，进而利用均值不等式求出最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．‎ ‎29．设正实数满足，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把化为，再用基本不等式求最小值．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 由基本不等式有，当且仅当即时取等号，‎ 故所求最小值为，故填1．‎ ‎【点睛】‎ 应用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，如果代数式中没有和为定值或积为定值，我们需要对代数式变形以便有和或积为定值的局部结构．注意对取等条件的验证．‎ ‎30．已知，且满足，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件，结合基本不等式求解表达式的最值即可 ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本不等式，此类不等式的题目的解答方法是作出两式相乘，然后再用基本不等式求最值