2017-2018学年福建省福州市八县(市)协作校高二下学期期中联考数学(理)试题 Word版

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2017-2018学年福建省福州市八县(市)协作校高二下学期期中联考数学(理)试题 Word版

福州市八县(市)协作校2017-2018学年第二学期期中联考 高二 理科数学试卷 ‎【完卷时间:120分钟;满分:150分】‎ 命题:闽清二中 刘 强 刘新娟 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.i是虚数单位,复平面内,复数对应点位于( * )‎ A.第一象限  B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)三点,则△ABC是( * )‎ A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 ‎3.用反证法证明命题:“若a,b∈N,ab能被3整除,那么a,b中至少有一个能被3整除”时,假设应为( * )‎ A.a,b都能被3整除 B.a,b都不能被3整除 C.a,b不都能被3整除 D.a不能被3整除 ‎4.由①y=2x+5是一次函数;②y=2x+5的图象是一条直线;③一次函数的图象是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理,则作为大前提、小前提和结论的分别是( * )‎ A.②①③ B.③②① C.③①② D.①②③‎ ‎5.曲线y=4x-x3在点(-1,-3)处的切线方程是(  )‎ A.y=7x+4 B.y=x-4 C.y=7x+2 D.y=x-2‎ ‎6.曲线y=x3-3x和y=x围成图形的面积为( * )‎ A.4    B.8    C.10    D.9‎ ‎7.在复平面内,若复数z满足|z+1|=|1+iz|,则z在复平面内对应点的轨迹是( * )‎ A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 ‎8.在长方体ABCDA1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离为( * )‎ A. B. C. D. ‎9.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是( * )‎ A.(-∞,-)∪(,+∞) B.(-,)‎ C.[-,]D.(-∞,-)∪[,+∞)‎ ‎10.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,…,y=f(x),由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( * )‎ A.g(x) B.-g(x) C.f(x) D.-f(x)‎ ‎11.已知函数f(x)的导函数f′(x)=a(x-b)2+c的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是( * )‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)=x3-ln(-x),则对于任意实数a,b(a+b≠0),则的值为( * )‎ A.恒正 B.恒等于0 C.恒负 D.不确定 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分;将正确答案填在题中的横线上)‎ ‎13若复数z=,其中i是虚数单位,则||=_*_*__*__*__.‎ ‎14.正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是_*__*__*___.‎ 15. 请阅读下列材料:若两个正实数a1、a2满足a+a=1,那么a1+a2≤.证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1.因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a1+a2≤.类比上述结论,若n个正实数满足a+a+…+a=1,你能得到的结论为  * * * * * * * * ‎ ‎16.观察下图中各正方形图案,各边上有n(n≥2)个点,第n个图中圆点的总数是Sn.‎ n=2,S2=4;n=3,S3=8;n=4,S4=12;….按此规律,推出Sn与n的关系式为_____*___*__*__*__*__*___*___*____*___*_____.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)已知a∈R,问复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限?复数z对应点的轨迹是什么?‎ ‎18.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.‎ ‎(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;‎ ‎(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎(1)用分析法证明:设a,b,c为一个三角形的三边,S=(a+b+c),且S2=2ab,求证:S<2a.‎ ‎(2)已知函数f(x)=ax+(a>1),用反证法证明方程f(x)=0没有负根.‎ ‎20.(本小题满分12分)是否存在常数a,b,使等式++…+=对于一切n∈N*都成立?若不存在,说明理由;若存在,请用数学归纳法证明.(提示:可先令n=1,2求出a,b的值再证明)‎ ‎21.(12分)如图,有一个长方形地块ABCD,边AB为2km,AD为4km,地块的一角是湿地(图中阴影部分),其边缘线AC是以直线AD为对称轴,以A为顶点的抛物线的一部分,现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF,E,F分别在边AB,BC上(隔离带不能穿越湿地,且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位:km),△BEF的面积为S(单位:km2).‎ ‎(1)求S关于t的函数解析式,并指出该函数的定义域.‎ ‎(2)是否存在点P,使隔离出的△BEF面积S超过3km2?并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lnx-ax2-2x(a<0).‎ ‎(1)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围;‎ ‎(2)若a=-且关于x的方程f(x)=-x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围;‎ ‎(3)设各项为正的数列{an}满足:a1=1,an+1=lnan+an+2,n∈N*,求证:an≤2n-1.‎ 福州市八县(市)协作校2017-2018学年第二学期期中联考 高二 理科数学试卷(参考答案)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D A B C D B A C C B D A 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分;将正确答案填在题中的横线上)‎ ‎13. 1 14. 15.a1+a2+…+an≤. 16.Sn=4n-4(n≥2,n∈N*)‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)已知a∈R,问复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限?复数z对应点的轨迹是什么?‎ 解:由a2-2a+4=(a-1)2+3≥3.‎ ‎-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1.--------------------------------------2分 知z的实部为正数,虚部为负数,‎ 所以复数z的对应点在第四象限.----------------------------------------4分 设z=x+yi(x,y∈R),则 因为a2-2a=(a-1)2-1≥-1,‎ 所以x=a2-2a+4≥3,-------------------------------------------------7分 消去a2-2a,得y=-x+2(x≥3),---------------------------------------9分 所以复数z对应点的轨迹是一条射线,‎ 其方程为y=-x+2(x≥3).--------------------------------------------10分 ‎18.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.‎ ‎(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;‎ ‎(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值. ‎ 解析:(1)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,‎ 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),‎ A1(0,0,4),C1(0,2,4),-----------------------------------------------1分 所以=(2,0,-4),=(1,-1,-4).----------------------------3分 因为cos〈,〉===,-------------------5分 所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.-------------------------6分 ‎(2)设平面ADC1的法向量为n1=(x,y,z),‎ 因为=(1,1,0),=(0,2,4),‎ 所以n1·=0,n1·=0,‎ 即x+y=0且y+2z=0,取z=1,得x=2,y=-2,‎ 所以,n1=(2,-2,1)是平面ADC1的一个法向量.------------------------8分 取平面AA1B的一个法向量为n2=(0,1,0),------------------------------9分 设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.‎ 由|cosθ|===,‎ 得sinθ=.------------------------------------------------------11分 因此,平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.-------------------12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎(1)用分析法证明:设a,b,c为一个三角形的三边,S=(a+b+c),且S2=2ab,求证:S<2a.‎ 证明:因为S2=2ab,‎ 所以要证S<2a,‎ 只需证S<,即b<S.‎ 因为S=(a+b+c),‎ 只需证2b<a+b+c,‎ 即证b<a+c.‎ 因为a,b,c为三角形三边,‎ 所以b<a+c成立,所以S<2a成立.-----------------------------------6分 ‎(2)已知函数f(x)=ax+(a>1),用反证法证明方程f(x)=0没有负根.‎ 证明:设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,‎ 则ax0=-,且0<ax0<1.‎ 所以0<-<1,即<x0<2,与假设x0<0矛盾.‎ 故方程f(x)=0没有负数根.-------------------------------------------12分 ‎20.(本小题满分12分)是否存在常数a,b,使等式++…+=对于一切n∈N*都成立?若不存在,说明理由;若存在,请用数学归纳法证明.‎ ‎(提示:可先令n=1,2求出a,b的值再证明)‎ ‎21.(12分)如图,有一个长方形地块ABCD,边AB为2km,AD为4km,地块的一角是湿地(图中阴影部分),其边缘线AC是以直线AD为对称轴,以A为顶点的抛物线的一部分,现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF,E,F分别在边AB,BC上(隔离带不能穿越湿地,且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位:km),△BEF的面积为S(单位:km2).‎ ‎(1)求S关于t的函数解析式,并指出该函数的定义域.‎ ‎(2)是否存在点P,使隔离出的△BEF面积S超过3km2?并说明理由. ‎ ‎【解析】(1)如图,以A为坐标原点O,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则C点坐标为(2,4).‎ 设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax2,‎ 把(2,4)代入,得4=a×22,解得a=1,‎ 所以抛物线的方程为y=x2.----------------------------------------2分 因为y′=2x,‎ 所以过点P(t,t2)的切线EF的方程为y=2tx-t2.----------3分 令y=0,得E;令x=2,得F(2,4t-t2),‎ 所以S=(4t-t2),-------------------------------------5分 所以S=(t3-8t2+16t),定义域为(0,2].----------------------------------------6分 ‎(2)S′=(3t2-16t+16)=(t-4),-------------------------------------7分 由S′(t)>0,得00).----------------------------1分 依题意f ′(x)≥0在x>0时恒成立,即ax2+2x-1≤0在x>0时恒成立,‎ 则a≤=(-1)2-1在x>0时恒成立,‎ 即a≤((-1)2-1)min (x>0),---------------------------------------3分 当x=1时,(-1)2-1取最小值-1,‎ ‎∴a的取值范围是(-∞,-1].--------------------------------------4分 ‎(2)a=-,f(x)=-x+b⇔x2-x+lnx-b=0.‎ 设g(x)=x2-x+lnx-b(x>0),则 g′(x)=.-------------------------------------------5分 g(x),g′(x)随x的变化如下表:‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ ‎(2,4)‎ g′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ g(x)‎ ‎↑ 极大值 ‎↓ 极小值 ‎↑ ‎∴g(x)极小值=g(2)=ln2-b-2,g(x)极大值=g(1)=-b-,‎ 又g(4)=2ln2-b-2,--------------------------------------------7分 ‎∵方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.则,‎ 得ln2-2
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