数学理卷·2019届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高二上学期期中考试（2017-11）

数学理卷·2019届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高二上学期期中考试（2017-11）

‎2017 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”‎ 高二期中联考 ‎‎ ‎7．过原点的直线与圆 x2 + y2 - 4x + 3 = 0 有公共点，则该直线的倾斜 开始 角的取值范围为 理科数学试题 ‎A．[- p , p ]‎ ‎B．[p ,‎ ‎5p ]‎ ‎S=0，k=1‎ 命题学校：钟祥一中 命题人：邓金辉 审题人：王大胜 王春宇 ‎6 6‎ p 5p ‎6 6‎ p p p 5p ‎第 k=k＋1‎ ‎8‎ 本试题卷共 22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。‎ ‎C．[0,‎ ‎] [ , p )‎ ‎6 6‎ ‎D．[ ,‎ ‎6‎ ‎) ( , ]‎ ‎2 2 6 题 ‎‎ S=S＋2k 注意事项:‎ ‎★祝考试顺利★‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输出的 S = 40 ，则判断框内应填入 图 A． k > 4? 否 B． k > 5? 是 ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试 ‎C． k > 6? ‎ D． k > 7? ‎ ‎‎ ‎2 2 2‎ ‎‎ 输出 S 结束 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎9．已知点 A(-2, 0) ，B(2, 0) ，若圆C : (x - 3) + y ‎= r (r > 0) 上存 ‎3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将答题卡上交。‎ 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 ‎在点 P （不同于点 A, B ），使得 PA × PB = 0 ，则半径 r 的取值范围是 A． (1, 5) B． (1, 3)‎ C． (3, 5) D． (3, 7)‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的 三视图，则该几何体的表面积为 题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.‎ ‎1．已知集合 A = {x | -1 < x < 1}， B = {x | 0 < x < 2} ，则 A B = ‎A． 40 +12p C． 36 +12p ‎B． 40 +16p D． 36 +16p A． (-1, 2)‎ ‎‎ B． (0 , 1) C． (-1, 0)‎ ‎‎ D． (1, 2)‎ ‎11．已知直线 l : (a - 1)x + y + a + 1 = 0 ，则当点 A(3, 4) 到直线l 的距 ‎第 10 题图 ‎2．若直线 mx - y - 2 = 0 与 (m - 2)x + y - m = 0 互相平行，则实数 m 的值为 ‎离最大时 a 的值为 ‎1 5 1 5‎ A． -1‎ ‎B． ‎0 ‎C．1 D． 2‎ ‎A． - ‎2‎ ‎B． C． D．‎ ‎2 3 3‎ ‎3．已知 m, n, l 为不重合的直线，a , b , g 为不重合的平面，则下列说法中正确的是 A．若 m ^ l, n ^ l ，则 m // n B．若a ^ g , b ^ g ，则a // b C．若 m // a, n // a ，则 m // n D．若a // g , b // g ，则a // b ‎12．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B‎1C1D1 中，E, F , G, H 分别为棱 AB, BC, CD, DA 的中 点，点 P 从 A 点出发，沿折线 AEFC 匀速运动到点C ，同时点Q 从 C 点出发，沿折线CGHA 匀 速运动到点 A ，且二者运动的速度相等，记 A1 , C1 , P, Q 四点为顶点的三棱锥的体积为V ，点 P 运动的路程为 x ，则V 与 x 的图象应为 ‎4．等差数列{an } 中 a1 = 1 ，公差 d ¹ 0 ，若 a2 , a3 , a6 成等比数列，则{an } 的前 6 项的和为 V V A． -3‎ ‎B． ‎3 ‎C．8 D． -24 1 1‎ ‎6 6‎ ‎5．已知圆 C 的半径为 2，且与 x 轴和直线 y = A． (x - 2)2 + ( y - 2 3)2 = 4‎ ‎3x 都相切，则圆 C 的标准方程可能是 B． (x - 2 3)2 + ( y - 2)2 = 4‎ ‎‎ O 1 + 2‎ ‎2 4‎ ‎‎ ‎1 + 2 x ‎2‎ ‎‎ O 1 + 2‎ ‎． 2 4‎ ‎‎ ‎1 + 2 x ‎2‎ ‎A(P) H D E B G C． (x - 2)2 + ( y + 2 3)2 = 4‎ ‎6．已知 a, b 为异面直线， P 为 a, b 外一点，则 ‎‎ D． (x - 2 3)2 + ( y + 2)2 = 4‎ ‎A． B V V ‎1 1‎ ‎6 6‎ ‎‎ F C(Q)‎ A1 D1‎ A．过 P 必可作直线与 a, b 都相交 B．过 P 必可作平面与 a, b 都平行 ‎‎ O 1 1 2 2 x ‎‎ O 1 1 + 2‎ ‎‎ ‎1 + 2 x ‎‎ B‎1 ‎ C1‎ C．过 P 可作唯一直线与 a, b 都垂直 D．过 P 可作平面与 a, b 都垂直 ‎‎ C． 2‎ ‎+ 1 + ‎2 2 2‎ ‎D． 2 2 2 2‎ 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．‎ ln(2 - x)‎ ‎13．函数 f ( x) = 的定义域为 （结果用区间表示）‎ x ‎19．（本小题满分 12 分）‎ ‎（Ⅰ）求过点 A(2, 6) 且在两坐标轴上的截距相等的直线 m 的方程；‎ ‎（Ⅱ）求过点 A(2, 6) 且被圆 C : (x - 3)2 + ( y - 4)2 = 4 截得的弦长为 2 3 的直线 l 的方程．‎ ì x ³ -1‎ ï ‎14．若变量 x，y 满足约束条件 í y ³ x î ï3x + 5 y £ 8‎ ‎‎ ‎，则 z = 2x + y 的最大值为 ‎ ‎‎ ‎20．（本小题满分 12 分）‎ 如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B‎1C1 中，平面 A1BC⊥侧面 ABB‎1A1，且 AA1=AB=2．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB⊥BC；‎ ‎15．已知菱形 ABCD 的边长为 3 ，且 ÐBAD = 60 ，将 DABD 沿 BD 折起，使 A, C 两点之间的距 离为 3 ，则所得三棱锥的外接球的表面积为 ‎ ‎p ‎（Ⅱ）若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 ‎6‎ ‎A‎1 ‎ C1‎ ‎，点 M 为 CC1 的中点，‎ B1‎ ‎16．已知直角梯形 ABCD 中， AD ^ AB, CD // AB, AB = 2CD = 2AD = 2 ， P 是以 C 为圆心，且 与 BD 相切的圆上的动点，设 AP = l AB + m AD (l , m Î R) ，则 4l 2 + m 2 的最小值为 ‎ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分 10 分）‎ 某高校从“2017 年大一新生英语水平测试”的学生成绩中通过抽样获得了 80 名学生的成绩，将 数据按照[40, 50) ，[50, 60) ，…，[90,100] 分成 6 频率 组制成了如图所示的频率分布直方图，但因工作失 组距 ‎试在 A1B1 上找一点 N，使 MN∥平面 A1BC，说明理由并求出线 M 段 MN 的长．‎ A C B ‎21．（本小题满分 12 分）‎ 绿水青山就是金山银山，建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中华民族 伟大复兴中国梦的重要内容。某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门支持下，新上了 一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 y（千元）与 ï 误遗失了[80, 90) 的统计数据． ‎ ‎0.030‎ ‎（Ⅰ）求这次水平测试成绩分布在[80, 90) 的学生 ‎0.025‎ 人数 a ，并补全频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）若学校要划一条分数线，使所有成绩达到分 数线的学生获得奖励，且获奖人数占参加水平 测试人数的 15%，求分数线 x 的值．‎ ‎18．（本小题满分 12 分）‎ ‎0.020‎ ‎0.015‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎‎ ‎0 40 50 60 70 80 90 100 分数 ‎二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 2 千元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．‎ ‎（Ⅰ）当 x∈[6，9]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月 至少需要补贴多少千元才可能使该项目不亏损？‎ ‎（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？‎ ‎22．（本小题满分 12 分）‎ 已知三角函数 f (x) = Asin(wx + j) ( x ÎR) 的部分图象如图所示，其中 A > 0,w > 0, 0 < j < p ．‎ ‎2‎ ‎（Ⅰ）求三角函数 f ( x) 解析式； y ‎1‎ ‎（Ⅱ）在 DABC 中， a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边，且 a = 1 ，‎ ‎‎ 平面内动点 P 到两定点 M , N 的距离之比为常数 l （ l > 0 且 l ¹ 1 ），即| PM |= l | PN | ，则 动点 P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆．已知点 M (8, 0) ， N (5, 0) ， l = 2 ．‎ ‎（Ⅰ）求该阿波罗尼斯圆的方程；‎ ‎2 2‎ f ( A) = 1 ， DABC 的面积为 ‎2‎ ‎‎ ‎3 ，求边长 b, c 的值．‎ ‎4‎ ‎‎ ‎0 p 5p x ‎6 12‎ ‎‎ ‎（Ⅱ）过该阿波罗尼斯圆上任意一点 Q(x0 , y0 ) 作圆C : (x +1) + y S ,T 两点，求 ST 的取值范围．‎ ‎‎ = 1 的两条切线分别交 y 轴于 ‎2017年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考 理科数学试题评分标准及参考答案 一、选择题（5′×12＝60′）：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C D D B C C B A A D C ‎11．详解：由得：‎ 令，即直线过定点，显然当时，，此时由可得 另解：，平方整理得： ‎ ‎①若则，此时；②若，由 综上所述，，此时 ‎12．详解：如图，①当时，点P在线段AE上运动，且P与Q关于点O对称，此时 ‎；‎ ‎②当时，点P在线段EF上运动，此时 ‎；‎ ‎③当时，点P在线段FC上运动，此时 二、填空题（5′×4＝20′）：‎ ‎13．； 14．； 15． 16． 【填建议也给分】‎ ‎15．详解：(法一）易知三棱锥A-BCD是棱长为的正四面体，将其置于棱长为正方体中，则正方体的外接球即为此三棱锥的外接球．‎ A C B D O O1‎ ‎(法二）由已知，，菱形ABCD的边长为，且折起后，设外接圆圆的半径为，则由正弦定理得，，∴，则三棱锥的高，设外接球半径为R，则 ‎，即，得，‎ 则该球的表面积为．‎ ‎16．详解：如图建立平面直角坐标系，则，直线BD的方程为：‎ A D B C P x y ‎，则圆C的半径R=，‎ ‎∴圆C：；‎ 由得：‎ 即，又在圆C上，∴，,表示圆C上动点P到原点A距离的平方，∵，∴‎ 分数 ‎0.030‎ ‎0.025‎ ‎0.020‎ ‎0.015‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0 40 50 60 70 80 90 100‎ 即的最小值为 三、解答题（10′×1＋12′×5＝70′）：‎ ‎17．（10′）解：（Ⅰ）由频率和为1，‎ 得成绩分布在的频率为：‎ ‎，‎ ‎∴ ； …………3分 对应小矩形的高为，‎ 把频率分布直方图补充完整如图：…………5分 ‎（Ⅱ）∵最后一组的频率为，‎ 最后两组频率之和为 ‎∴，由，解得：‎ 即分数线的值为86． ………………10分 ‎18．（12′）解：（Ⅰ）由，得；…………3分 ‎∴，将点代入得，‎ ‎∴又，，‎ ‎∴ …………………6分 ‎ （2），∴‎ ‎∴或，∴或 又，∴，得 …………………9分 在△ABC中，，∴， ‎ 又余弦定理得：联立解得，． …………………12分 ‎19．（12′）解：（Ⅰ）当直线m过原点时，直线：； …………………2分 当直线m不过原点时，设直线：，将点A（2，6）代入解得，即直线：； ‎ 综上所述，直线的方程为或 ……………………6分 ‎ (Ⅱ)圆C的圆心坐标为C(3，4)，半径R=2‎ ‎∵直线l被圆C截得的弦长为，∴圆心C到直线l的距离 ………………7分 ‎⑴当直线l的斜率不存在时，l：，显然满足； ………………9分 ‎⑵当直线l的斜率存在时，设l：，即，‎ 由圆心C到直线l的距离得：，解得，‎ 故l：； ………………11分 综上所述，直线l的方程为或 ………………12分 ‎20．（12′）（1）证明：连接AB1交A1B于点D，∵AA1=AB，∴AD⊥A1B 又平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，‎ ‎∴AD⊥平面A1BC，又BC平面A1BC，∴AD⊥BC．‎ ‎∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC．‎ 又AA1∩AD=A，AA1平面A1ABB1，AD平面A1ABB1，‎ ‎∴BC⊥平面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，∴AB⊥BC． ………………5分 ‎（2）由（1）得AD⊥平面A1BC，‎ ‎∴∠ACD为直线AC与平面A1BC所成的角，即， ‎ 又AD=，∴，BC=2． ……………7分 当N为线段A1B1的中点时，MN∥平面A1BC，‎ 证明如下：‎ ‎（法一）：连接MN，ND，DC则ND B1BMC ‎∴四边形CMND为平行四边形，∴MN∥CD 又CD平面A1BC，MN平面A1BC ‎∴MN∥平面A1BC ‎ ‎（法二）：取A1C1的中点P，则MP∥A1C，NP∥B1C1∥BC，‎ 又MP∩NP=P，A1C、 BC平面ABC，‎ ‎∴平面MNP∥平面A1BC，又MN平面MNP，‎ ‎∴ MN∥平面A1BC ……………11分 此时 ………………12分 ‎21．（12′）解：（Ⅰ）当x∈[6，9]时，设该项目获利为S，则 ‎， …………2分 ‎∵当x∈[6，9]时，S＜0且函数为减函数，∴该项目不会获利； …………3分 当x=6时，S取最大值﹣15；当x=9时，S取最小值﹣18 ‎ ‎∴国家每月至少需要补贴15千元才能使该项目不亏损； …………5分 ‎（Ⅱ）由题意知，二氧化碳的每吨的平均处理成本为…7分 ‎①当x∈[1，5）时，，‎ ‎∴x=3时，取得最小值； …………9分 ‎②当x∈[5，12）时，‎ 当且仅当即x=9时，取得最小值4， …………11分 ‎∵4＜∴每月处理量为9吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． …………12分 ‎22．（12′）解：（Ⅰ）设P（x，y）则由题意，‎ ‎， ………………2分 整理得：，即为所求； ………………4分 ‎（Ⅱ）由两圆的方程可知，过点向圆所作的两条切线的斜率必存在，‎ 设的方程为：，则点的坐标为，‎ 同理可得点的坐标为，∴，‎ ‎∵是圆的切线，∴满足， ………………6分 即是方程的两根，‎ ‎∴， ……………8分 ‎∴，‎ ‎∵且，∴ ……………10分 法一：令则 考察关于的函数，函数f（t）在区间[2，4]上单调递减，在区间[4，]上单调递增，∴ f（t）max=10， f（t）min=8．‎ ‎∴． ………………12分 法二：令，则，‎ ‎∵∴，∴．‎ ‎（以上各题答案仅供参考，其它解法酌情给分）‎ 内容 要求占比 题号 实际分值 必修1、必修4‎ ‎10%‎ T1（集合），T13（函数），T21（函数与不等式）‎ ‎5′×2＋7′=17′‎ 必修3‎ ‎10%‎ T8（算法），T17（统计）‎ ‎5′＋10′=15′‎ 必修5‎ ‎20%‎ T4（数列），T14（线性规划），T18（三角函数），T21（函数与不等式）‎ ‎5′×2＋12′＋5′=27′‎ 必修2‎ ‎60%‎ 立几：T3，T6， T10， T12， T15， T20‎ 解几：T2，T5， T7， T9， T11， T16，T19，T22‎ ‎5′×11＋12′×3=91′‎