2020高考数学二轮复习练习：第二部分 专题五 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质 练典型习题 提数学素养含解析

2020高考数学二轮复习练习：第二部分 专题五 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质 练典型习题 提数学素养含解析

一、选择题 ‎1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为(　　)‎ A．1　　　　　　　　 B． C．2 D．2 解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b＝，即c2－a2＝3，又e＝＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.‎ ‎2．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)‎ A． B．1‎ C． D．2‎ 解析：选B.设P(x0，y0)，依题意可得|PF|＝x0＋1＝2，解得x0＝1，故y＝4×1，解得y0＝±2，不妨取P(1，2)，则△OFP的面积为×1×2＝1.‎ ‎3．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　　)‎ A． B． C．2 D．3 解析：选A.不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝.‎ 又tan∠POF＝＝，所以等腰三角形POF的高h＝×＝，所以S△PFO＝××＝.‎ ‎4．(2019·昆明模拟)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则＝(　　)‎ A． B． C． D．3‎ 解析：选A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝，|AF2|＝.所以＝.故选A.‎ ‎5．(2019·湖南湘东六校联考)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Γ相交于A，B两点．若＝3，则k＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C． D． 解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＝3，所以y1＝－3y2.因为椭圆Γ的长轴长是短轴长的2倍，所以a＝2b，设b＝t，则a＝2t，故c＝t，所以＋＝1.设直线AB的方程为x＝sy＋t，代入上述椭圆方程，得(s2＋4)y2＋2sty－t2＝0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，即－2y2＝－，－3y＝－，得s2＝，k＝，故选D.‎ ‎6．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则(　　)‎ A．△ABF是等边三角形 B．|BF|＝3‎ C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x 解析：选ACD.因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以△ABF是等边三角形，所以∠FBD＝30°.因为△ABF的面积为|BF|2＝9，所以|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.‎ 二、填空题 ‎7．已知P(1，)是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)渐近线上的点，则双曲线C的离心率是________．‎ 解析：双曲线C的一条渐近线的方程为y＝x，P(1，)是双曲线C渐近线上的点，则＝，所以离心率e＝＝＝＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．‎ 解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，‎ 则得 所以M的坐标为(3，)．‎ 答案：(3，)‎ ‎9．(2019·湖南师大附中月考改编)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为________．‎ 解析：抛物线的焦点坐标为，准线方程为y＝－，准线方程与双曲线方程联立可得－＝1，解得x＝± .因为△ABF为等边三角形，所以|AB|＝p，即×2＝p，解得p＝6.则抛物线焦点坐标为(0，3)，双曲线渐近线方程为y＝±x，则抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为＝.‎ 答案：6　 三、解答题 ‎10．(2019·高考天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．‎ 解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.‎ 所以，椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意，设P(xp，yp)(xp≠0)，M(xM，0)．设直线PB的斜率为k(k≠0)，‎ 又B(0，2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立整理得(4＋5k2)x2‎ ‎＋20kx＝0，‎ 可得xp＝－，‎ 代入y＝kx＋2得yp＝，‎ 进而直线OP的斜率为＝.‎ 在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.‎ 由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.‎ 由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从而k＝±.‎ 所以，直线PB的斜率为或－.‎ ‎11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围．‎ 解：(1)由题知e＝＝，2b＝2，又a2＝b2＋c2，所以b＝1，a＝2，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，‎ 依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)＞0，化简得m2＜4k2＋1，①‎ x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，‎ 若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2，‎ 所以4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，所以(4k2－5)·＋4km·(－)＋4m2＝0，‎ 即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，化简得m2＋k2＝，②‎ 由①②得0≤m2＜，＜k2≤，‎ 因为原点O到直线l的距离d＝，‎ 所以d2＝＝＝－1＋，‎ 又＜k2≤，‎ 所以0≤d2＜，所以原点O到直线l的距离的取值范围是.‎ ‎12．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，直线F1M的斜率为2，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求3k1＋2k2的值．‎ 解：(1)由题意，得2b＝4，＝.‎ 又a2－c2＝b2，所以a＝3，b＝2，c＝1.‎ 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)可知A(－3，0)，B(3，0)，F1(－1，0)．‎ 据题意，直线F1M的方程为y＝2(x＋1)．‎ 记直线F1M与椭圆C的另一个交点为M′.设M(x1，y1)(y1>0)，M′(x2，y2)．因为F1M∥F2N，所以根据对称性，得N(－x2，－y2)．‎ 联立，消去y，得14x2＋27x＋9＝0.‎ 由题意知x1>x2，所以x1＝－，x2＝－，‎ k1＝＝＝，k2＝＝＝－，‎ 所以3k1＋2k2＝3×＋2×＝0，即3k1＋2k2的值为0.‎ ‎ ‎