2017-2018学年黑龙江省青冈县一中高二下学期期中考试A卷数学（理）试题 Word版

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2017-2018 学年黑龙江省青冈县一中高二下学期期中考 试 A 卷数学（理）试题 满分：150 分 考试时间：120 分钟 第 I 卷（满分 60 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.） 1.已知 ，则复数 Z=（ ） A. B. C. D. 2.以下式子正确的个数是（ ）. ① ② ③ ④ A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.若曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 等于（ ） A.2 B.-2 C.3 D.-1 4.已知 X～B（n，p），EX=8，DX=1.6，则 n 与 p 的值分别是（　　） A．100，0.08 B．20，0.4 C．10，0.2 D．10，0.8 5. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点，因为函数 在 处的导数值 ，所以 是函数 的极值点.以上推理中（ ） A. 大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 6. 已知 得分布列为 -1 0 1 则在下列式中：① ；② ；③ .正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》 中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上 进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿 ii Z +=+ 21 i31− i31−− i31+− i31+ 2 1)1( xx =′ xx sin)(cos −=′ 2ln2)2( xx =′ 10ln 1)(lg xx −=′ baxxxf +−= 23)( ))1(,1( f 4 3π a )(xf 0)( 0 =′ xf 0xx = )(xf 3)( xxf = 0=x 0)( 0 =′ xf 0=x 3)( xxf = ξ ξ p 2 1 3 1 6 1 3 1)( −=ξE 27 23)( =ξD 3 1)0( ==ξP 拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相 间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类 推．例如 6613 用算筹表示就是 ，则 8335 用算筹可表示为 （　B　） A． B． C． D． 8.已知函数 f（x）=﹣ +cx+bc 在 x=1 处有极值﹣ ，则 b=（　） A．﹣1 B．1 C．1 或﹣1 D．﹣1 或 3 9.用数学归纳法证明： 时，由 不等式 成立，推证 时，左边增加的代数式是（ ） A. B. C. D. 10.若 在（﹣1，+∞）上是单调减函数，则 b 的范围是（　　） A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1] 11.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 ，得 2 分的概率为 ，不得分的概率 为 ，（ ），已知他投篮一次得分的数学期望是 2，则 的最小值为 （ ） A. B. C. D. )2(2 1 3 1 2 1 1 1 ≥+++++++ nnnnn  )2( ≥= kkn 1+= kn )1(2 1 +k 22 1 12 1 +++ kk 22 1 12 1 +−+ kk 1 1 12 1 +−+ kk )2ln(2 1)( 2 ++−= xbxxf a b c )1,0(,, ∈cba ba 3 12 + 3 32 3 28 3 14 3 16 12.已知函数 在 R 上可导，且其导函数为 .若 满足： ， ，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 第 II 卷（满分 90 分） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分） 13.已知 ， 是虚数单位，若 ，则 =　 　． 14. 　 　． 15.椭圆 =1（a＞b＞0）在其上一点 P（x 0，y0）处的切线方程为 =1．类比上述结论，双曲线 =1（a＞0，b＞0）在其上一点 P（x0，y0）处的 切线方程为　 　． 16.已知直线 与曲线 有三个不同的交点 ，且 ,则 . 三、解答题（本大题共 6 个小题，满分 70 分，解答时写出必要的文字说明、证明 过程及演算步骤） 17.（本小题满分 10 分）已知函数 且 . （1）求 的值； （2）求函数 的单调区间． 18.（本小题满分 12 分）设数列 的前 n 项和为 Sn，且满足 （n∈ N*）． （Ⅰ）计算 的值； （Ⅱ）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论. 19.（本小题满分 12 分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多 样化，某调查机构随机抽取 10 名购物者进行采访，5 名男性购物者中有 3 名倾向 于选择网购，2 名倾向于选择实体店，5 名女性购物者中有 2 名倾向于选择网购， )(xf )(xf ′ )(xf 0)]()()[1( >−′− xfxfx )()2( 22 xfexf x−=− )0()1( ff < )0()2( eff > )0()3( 3 fef > )0()4( 4 fef < Rba ∈, i biia −=+ 2 bia + =+−∫ dxxx )21(1 0 2 l 13 1 23 ++−= xxxy ),,(),,( 2211 yxByxA ),( 33 yxC ACAB = =+∑ = 3 1 )( i ii yx cxaxxxf +−+= 23)( )3 2(fa ′= a )(xf { }na nn naS −=1 4321 ,,, aaaa na 3 名倾向于选择实体店． （Ⅰ）若从这 10 名购物者中随机抽取 2 名，其中男、女各一名，求至少 1 名倾向 于选择实体店的概率； （Ⅱ）若从这 10 名购物者中随机抽取 3 名，设 X 表示抽到倾向于选择网购的男性 购物者的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望． 20.（本小题满分 12 分）设函数 ． （1）求函数 的单调递增区间； （2）若关于 的方程 在区间[1，3]内恰有两个相异实根， 求实数 的取值范围． 21（本小题满分 12 分） 2017 年 3 月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型（“小绿车”、“小黄车”） 采用分时段计费的方式，“小绿车”每 30 分钟收费 0.5 元（不足 30 分钟的部分按 30 分钟计算）；“小黄车”每 30 分钟收费 1 元（不足 30 分钟的部分按 30 分钟计算）．有 甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行（各租一车一次）．设甲、乙、丙不 超过 30 分钟还车的概率分别为 ， ， ，三人租车时间都不会超过 60 分钟．甲、 乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”． （I）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率； （Ⅱ）设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量 ξ，求 ξ 的分布列和数学期 望． 22.已知函数 ． （Ⅰ）若函数 在其定义域上是增函数，求实数 的取值范围； （Ⅱ）当 时，求出 的极值； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若 在 内恒成立，试确定 的取值范围． 2017-2018 学年度高二下学期期中考试 数学试题 A（理科）答案 2ln2)( xxxf −= )(xf x 02)( 2 =−−−+ axxxf a 2( ) lnf x x x ax= + − ( )f x a 3=a ( )f x 2 2 1 1( ) (3 6 )2f x x xx ≤ + − ( ]0,1x∈ a 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B A D A C B A C D D C 二、填空题 13. 14. 15. 16. 7 三、解答题 17.（本小题 10 分） 解：（1）f′（x）=3x2+2ax﹣1， ∴f′（ ）= + a﹣1=a， 解得：a=﹣1； （2）由（1）得：f（x）=x3﹣x2﹣x+c， f′（x）=3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1）， 令 f′（x）＞0，解得：x＞1 或 x＜﹣ ，令 f′（x）＜0，解得：﹣ ＜x＜1， ∴函数 f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣ ），（1，+∞），单调减区间为（﹣ ， 1）． 18.（本小题 12 分）（1） ，所以 ， ，所以 ， ，所以 ， ，所以 。 （2）猜想： 。 下面用数学归纳法证明： ①当 时， ，猜想显然成立。 5 14 +π 12 0 2 0 =− b yy a xx ②假设当 （ ）时猜想成立，即 。 那么当 时， ，即 。 又 ，所以 ，从而 ，即当 时，猜想也成立。 故由①和②，可知猜想成立。 19.（本小题 12 分）解：（Ⅰ）设“至少 1 名倾向于选择实体店”为事件 A， 则 表示事件“随机抽取 2 名，（其中男、女各一名）都选择网购”， 则 P（A）=1﹣P =1﹣ = ． （Ⅱ）X 的取值为 0，1，2，3．P（X=k）= ， P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= ，P（X=3）= ． E（X）=0× +1× +2× +3× = ． 20.（本小题 12 分）解：（1）f′（x）= ，∵x＞0，x∈（0，1）时，f′（x）＞ 0，所以函数 f（x）的单调递增区间是（0，1]． （2）将 f（x）代人方程 f（x）+x 2﹣x﹣2﹣a=0 得 2lnx﹣x﹣2﹣a=0，令 g（x） =2lnx﹣x﹣2﹣a 则 g′（x）= ； ∴x∈[1，2）时，g′（x）＞0；x∈（2，3]时，g′（x）＜0； ∴g（2）是 g（x）的极大值，也是 g（x）在[1，3]上的最大值； ∵关于 x 的方程 f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=0 在区间[1，3]内恰有两个相异实根； ∴函数 g（x）在区间[1，3]内有两个零点；则有：g（2）＞0，g（1）＜0，g（3）＜ 0，所以有： 解得：2ln3﹣5＜a＜2ln2﹣4，所以 a 的取值范围是（2ln3﹣5，2ln2﹣4）． 21.解：（I）由题意得，甲乙丙在 30 分钟以上且不超过 60 分钟还车的概率分别为 ． 记 甲 、 乙 两 人 所 付 的 费 用 之 和 等 于 丙 所 付 的 费 用 为 事 件 A ． 则 ， 答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为 ， （Ⅱ）ξ 可能取值有 2，2.5，3，3.5，4， ∴ ； ； ； ， ． 甲、乙、丙三人所付的租车费用之和 ξ 的分布列为： ξ 2 2.5 3 3.5 4 P ∴ ． 22. （ 本 小 题 12 分 ） 解 ： （ 1 ） 函 数 的 定 义 域 为 ， 则 ． 因 为 函 数 在 内 是 增 函 数 ， 所 以 在 内恒成立，所以 在 内恒成立，因为当 时， ，当且仅当 ，即 时，等号成立．所以实数 的取值 范围为 ． （2）当 时， ．所以当 时， 为增函数；当 时， 为减函数；当 时， 为增函数；所以 在 处 取 得 极 大 值 ， 在 处 取 得 极 大 值 ． 2( ) lnf x x x ax= + − (0, )+∞ ' 1( ) 2 ( 0)f x x a xx = + − > ( )f x (0, )+∞ ' 1( ) 2 0f x x ax = + − ≥ (0, )+∞ 1 2a xx ≤ + (0, )+∞ 0x > 1 2 2 2xx + ≥ 1 2xx = 2 2x = a ( ,2 2]−∞ 3=a ' 1 (2 1)( 1)( ) 2 3 ( 0)x xf x x xx x − −= + − = > 1(0, )2x∈ ( )f x 1( ,1)2x∈ ( )f x (1, )x∈ +∞ ( )f x ( )f x 1 2x = 1 1 1 3 5( ) ln ln 22 2 4 2 4f = + − = − − ( )f x 1x = (1) 1 3 2f = − = − （ 3 ） 设 ， 则 ．由（1）可知 ，且 ，故 ．所 以 在 内为增函数．因为 ，即 ，所以 的取值范围 是 ． 2 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ln (3 6 ) lnx 3 ) x2 2 2g x x x ax x x x ax x = + − − + − = − + − −（ ' 3 1 1( ) ( ) 3 )g x x ax x = − + − +（ a ( ,2 2]∈ −∞ (0,1]x∈ ' ( ) 0g x > ( )g x (0,1] max( ) (1) 2 0g x g a= = − ≤ 2a ≥ a [2,2 2]