云南省昆明三中、滇池中学2012—2013学年高二上学期期中考试数学（文理）试题

云南省昆明三中、滇池中学2012—2013学年高二上学期期中考试数学（文理）试题

昆明滇池中学2012----2013学年高二上学期期中考 数学试卷（文/理科）‎ 第Ⅰ卷(共36分,答在答题卡上)‎ 一.选择题(本大题共12题,每小题3分,共36分)‎ ‎1. 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①.某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是(　　)‎ A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用分层抽样法，②用随机抽样法 C. ①用系统抽样法，②用分层抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 否 是 ‎2. 命题 “”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．不存在 ‎ ‎3. 两条直线mx+y-1=0和2x+y+2=0互相平行的条件是( )‎ A.m=-2 B. m=‎1 C. m= -1 D. m=2‎ ‎4.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，‎ 若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想获得中奖机会最大，‎ 应选择的游戏盘是（ ）‎ ‎5.如果执行右边的程序框图，那么输出的S=（ ）‎ A．10 B．‎22 ‎ C．46 D．94 ‎ ‎6. 已知，式中变量x,y满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. 3 B‎.5 C.6 D.8‎ ‎7. 经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 从一批产品中取出三件产品，设A= “三件产品全不是次品”，B= “三件产品全是次品”，C= “三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）‎ A.A与C互斥 B.B与C互斥 C.任何两个事件均互斥 D.任何两个事件均不互斥 ‎9. 已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l1与直线l垂直，直线l2的方程为2x＋by＋1＝0，且直线l2与直线l1平行，则a＋b等于(　　)‎ A．－4 B．－‎2 ‎‎ C．0 D．2‎ ‎10. 对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10）得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断（ ）‎ ‎（图1） （图2） ‎ A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 ‎11. 甲、乙两名同学在五次《数学基本能力》测试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X乙，则下列结论正确的是 (　　)‎ A．X甲＞X乙，甲比乙成绩稳定 B．X甲＞X乙，乙比甲成绩稳定 C．X甲＜X乙，甲比乙成绩稳定 D．X甲＜X乙，乙比甲成绩稳定 ‎12.已知函数：，其中：，记函数满足条件：为事件为A，则事件A发生的概率为（ ） ‎ ‎ A． 　 B． 　　 C． 　 　D． ‎ 昆明滇池中学2012----2013学年高二上学期期中考 数学试卷（文/理科）‎ 第Ⅱ卷(共64分,答在试卷上)‎ 二.填空题(本大题共4题,每小题3分,共12分)‎ ‎13．要从165个人中抽取15人进行身体检查，现采用分层抽样的方法进行抽取，若这165人中老年人的人数为22人，则老年人中被抽到参加健康检查的人数是_________. ‎ ‎14．直线的倾斜角为__________.‎ ‎15．设圆的弦的中点为P(3,1)则直线AB的方程是__________‎ ‎16．已知直线与圆，则C上各点到的距离的最大值为____。‎ 三.解答题(本大题共6题,共52分)‎ ‎17．（本题满分8分）求过点向圆所引的切线方程。‎ ‎18. （本题满分8分）求过点且圆心在直线上的圆的方程。‎ 频率 组距 分数 ‎19．（本题满分8分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后，画出如下部分频率分布直方图。观察图形，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图; ‎ ‎（2）若80分以上为优秀，估计这次考试的优秀率。 ‎ ‎（3）估计这次考试的平均分。 ‎ ‎ ‎ ‎20.（本题满分8分）央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3.5分钟，广告时间为0.5分钟，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？ ‎ ‎21.（本题满分10分）（理科）设有关x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.‎ ‎(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；‎ ‎(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎ (文科)某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示.‎ ‎（I）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ ‎ ‎（II）在（I）的前提下，学校决定在这6名学生中，随机抽取2名学生接受A考官进行面试，①请列举出抽取2名学生的所有可能；②请列举出第4组至少有一名学生被考官A面试的所有可能；③并求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率.‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎ ‎ ‎5‎ ‎0.050‎ 第2组 ‎ 35‎ ‎0.350‎ 第3组 ‎30‎ ‎0.300‎ 第4组 ‎20‎ ‎0.200‎ 第5组 ‎10‎ ‎0.100‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎22．（本题满分10分）已知圆C：‎ ‎(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；‎ ‎(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．‎ 昆明滇池中学2011----2012学年高二上学期期中考 数学试卷（文/理科）答案 一. 选择题 ‎1.B 2.A 3.D 4.A 5.C 6.D 7.C 8.C 9.B 10.C 11. A 12.C 二. 填空题 ‎13．2人 14. 15. x+y-2=0 16. ‎ 三. 解答题 ‎17．（本题满分8分）求过点向圆所引的切线方程。‎ 解：显然(2分)为所求切线之一；另设（2分）‎ 而 或为所求。（4分）‎ ‎18. （本题满分8分）求过点且圆心在直线上的圆的方程。‎ 解：设圆心为，而圆心在线段的垂直平分线上，（2分）‎ 即得圆心为（2分）， （2分） （2分）‎ ‎19．（本题满分8分）‎ 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后，画出如下部分频率分布直方图。‎ 频率 组距 分数 观察图形，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图; ‎ ‎（2）若80分以上为优秀，估计这次考试的优秀率。 ‎ ‎（3）估计这次考试的平均分。 ‎ ‎ ‎ 解：‎ ‎（1）因为各组的频率和为1，所以第四组的频率 ‎ ---------(3分，其中图1分）‎ ‎ （2）依题意，60分及以上的分数所在的第五，六组的频率和为0.3‎ ‎ 所以抽样学生的考试及格率为30%。-----------------------------------2分 ‎ （3）平均分为 ‎------- 3分 ‎20. （本题满分8分）‎ 央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为0.5分钟，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？ ‎ 解：设电视台每周应播映片甲x次， 片乙y次，总收视观众为z万人．‎ ‎ (4分) ‎ 由图解法可得：当x=3， y=2时，zmax=220．（4分）‎ 答：电视台每周应播映甲种片集3次，乙种片集2次才能使得收视观众最多．‎ ‎21. （本题满分10分）‎ ‎（理科）设有关x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.‎ ‎(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；‎ ‎(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ 解析：　设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．‎ 当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.‎ ‎(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．（2分）‎ 其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．‎ 事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为 P(A)＝＝. （2分）‎ ‎(2)试验的全部结果所构成的区域为 ‎{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，‎ 构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，（3分）‎ 所以所求的概率为P(A)＝＝. （3分）‎ ‎ (文科)某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示.‎ ‎（I）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ ‎ ‎（II）在（I）的前提下，学校决定在这6名学生中，随机抽取2名学生接受A考官进行面试，①请列举出抽取2名学生的所有可能；②请列举出第4组至少有一名学生被考官A面试的所有可能；③并求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率.‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎ ‎ ‎5‎ ‎0.050‎ 第2组 ‎ 35‎ ‎0.350‎ 第3组 ‎30‎ ‎0.300‎ 第4组 ‎20‎ ‎0.200‎ 第5组 ‎10‎ ‎0.100‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ 解： （I）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:‎ 第3组: 人, …………1分 第4组: 人, ………… 1分 第5组: 人, …………1分 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人 ‎ ‎（II）设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,‎ 则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下: ‎ ‎………………………2分 其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的有:‎ ‎ 9种可能, …………2分 所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为…………3分 ‎ ‎22．（本题满分10分）已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.‎ ‎(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；‎ ‎(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．‎ 解：(1)由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，得圆心坐标为 C(－1,2)，半径r＝，‎ ‎∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，‎ ‎∴设直线l的方程为x＋y＝a(a≠0)．‎ ‎∵直线l与圆C相切，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴a＝－1，或a＝3. ‎ 所以所求直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. （6分）‎ ‎(2)∵切线PM与半径CM垂直，设P(x，y)，‎ 又∵|PM|2＝|PC|2－|CM|2，|PM|＝|PO|，‎ ‎∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，‎ ‎∴2x－4y＋3＝0.‎ 即所求点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0. （4分）‎ ‎ ‎