2014年上海市高考数学试卷（理科）

2014年上海市高考数学试卷（理科）

‎2014年上海市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、填空题（共14题，满分56分）‎ ‎1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是　 　．‎ ‎2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=　 　．‎ ‎3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程　 　．‎ ‎4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为　 　．‎ ‎5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为　 　．‎ ‎6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为　 　（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是　 　．‎ ‎8．（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=　 　．‎ ‎9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是　 　．‎ ‎10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是　 　（结果用最简分数表示）．‎ ‎11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=　 　．‎ ‎12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=　 　．‎ ‎13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为　 　．‎ ‎14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为　 　．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分 ‎15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎17．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（　　）‎ A．无论k，P1，P2如何，总是无解 B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解 C．存在k，P1，P2，使之恰有两解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解 ‎18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）‎ A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]‎ ‎　‎ 三、解答题（共5题，满分72分）‎ ‎19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．‎ ‎20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．‎ ‎（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；‎ ‎（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．‎ ‎21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．‎ ‎（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？‎ ‎（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．‎ ‎22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．‎ ‎（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；‎ ‎（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．‎ ‎23．（16分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．‎ ‎（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；‎ ‎（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．‎ ‎（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．‎ ‎　‎ ‎2014年上海市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（共14题，满分56分）‎ ‎1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是　　．‎ ‎【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．‎ ‎【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）‎ ‎=﹣[2cos2（2x）﹣1]‎ ‎=﹣cos4x，‎ ‎∴函数的最小正周期为T==‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=　6　．‎ ‎【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．‎ ‎【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，‎ 则（z+）•=‎ ‎=（1+2i）（1﹣2i）+1‎ ‎=1﹣4i2+1‎ ‎=2+4‎ ‎=6．‎ 故答案为：6‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程　x=﹣2　．‎ ‎【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程 ‎【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），‎ 又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，‎ 故=2得p=4，‎ ‎∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．‎ 故答案为：x=﹣2‎ ‎【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为　（﹣∞，2]　．‎ ‎【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．‎ ‎【解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；‎ 当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；‎ 当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；‎ ‎∴a≤2，‎ 故答案为：（﹣∞，2]．‎ ‎【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为　2　．‎ ‎【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：∵xy=1，‎ ‎∴y=‎ ‎∴x2+2y2=x2+≥2=2，‎ 当且仅当x2=，即x=±时取等号，‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题考查基本不等式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为　arccos　（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．‎ ‎【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，‎ ‎∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，‎ ‎∴==3，‎ 即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，‎ 故圆锥的轴截面如下图所示：‎ 则cosθ==，‎ ‎∴θ=arccos，‎ 故答案为：arccos ‎【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是　　．‎ ‎【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．‎ ‎【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，‎ ‎∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=　　．‎ ‎【分析】由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．‎ ‎【解答】解：∵无穷等比数列{an}的公比为q，‎ a1=（a3+a4+…an）‎ ‎=（﹣a1﹣a1q）‎ ‎=，‎ ‎∴q2+q﹣1=0，‎ 解得q=或q=（舍）．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是　（0，1）　．‎ ‎【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，‎ 即＜，‎ ‎∴，‎ ‎∵y=是增函数，‎ ‎∴的解集为：（0，1）．‎ 故答案为：（0，1）．‎ ‎【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是　　（结果用最简分数表示）．‎ ‎【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，‎ 再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，‎ 其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），‎ ‎（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），‎ ‎∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=　﹣1　．‎ ‎【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，‎ 则①或②，‎ 由①得，‎ ‎∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．‎ 若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，‎ ‎∵互异的复数a，b，‎ ‎∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=　　．‎ ‎【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．‎ ‎【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，‎ 如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，‎ 令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，‎ ‎∴此时x1=0，x2=，x3=2π，‎ ‎∴x1+x2+x3=0++2π=．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为　0.2　．‎ ‎【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：设小白得5分的概率至少为x，‎ 则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，‎ ‎∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，‎ E（ξ）=4.2，‎ ‎∴4（1﹣x）+5x=4.2，‎ 解得x=0.2．‎ 故答案为：0.2．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为　[2，3]　．‎ ‎【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP∈[﹣2，0]，‎ 对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，‎ 说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，‎ ‎∴m=∈[2，3]．‎ 故答案为：[2，3]．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分 ‎15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．‎ ‎【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，‎ 若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，‎ 故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．‎ ‎【解答】解：=，‎ 则•=（）=||2+，‎ ‎∵，‎ ‎∴•=||2=1，‎ ‎∴•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（　　）‎ A．无论k，P1，P2如何，总是无解 B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解 C．存在k，P1，P2，使之恰有两解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解 ‎【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．‎ ‎【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，‎ ‎∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1‎ ‎，‎ ‎①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，‎ 即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．‎ ‎∴方程组有唯一解．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用．‎ ‎　‎ ‎18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）‎ A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]‎ ‎【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．‎ ‎【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，‎ 当a≥0时，f（0）=a2，‎ 由题意得：a2≤x++a，‎ 解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，‎ ‎∴0≤a≤2，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5题，满分72分）‎ ‎19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．‎ ‎【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，‎ ‎∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，‎ ‎∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，‎ ‎∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，‎ ‎∴△P1P2P3的边长为4，‎ VP﹣ABC==‎ ‎【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．‎ ‎（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；‎ ‎（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，‎ ‎（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：（1）∵a=4，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．‎ ‎（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，‎ ‎∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．‎ ‎∵2x﹣2﹣x不恒为0，‎ ‎∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；‎ 若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，‎ ‎∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，‎ ‎∴a=±1，‎ ‎∵a≥0，‎ ‎∴a=1，‎ 此时f（x）=，满足条件；‎ 当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数 综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠‎ ‎1时，f（x）为非奇非偶函数 ‎【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．‎ ‎（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？‎ ‎（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．‎ ‎【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．‎ ‎（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，‎ ‎∵0，‎ ‎∴tanα≥tan2β＞0，‎ ‎∴tan，‎ 即=，‎ 解得0≈28.28，‎ 即CD的长至多为28.28米．‎ ‎（2）设DB=a，DA=b，CD=m，‎ 则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，‎ 由正弦定理得，‎ 即a=，‎ ‎∴m=≈26.93，‎ 答：CD的长为26.93米．‎ ‎【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．‎ ‎（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；‎ ‎（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．‎ ‎【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．‎ ‎（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．‎ ‎（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．‎ ‎【解答】（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，‎ ‎∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔．‎ ‎（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1﹣4k2≤0，‎ ‎∴k≤﹣，或 k≥．‎ 曲线上有两个点（﹣1，0）和（1，0）被直线y=kx分隔．‎ ‎（3）证明：设点M（x，y），则 •|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．‎ y轴为x=0，显然与方程①联立无解．‎ 又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有 η=1×（﹣1）=﹣1＜0，‎ 故x=0是一条分隔线．‎ 若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx﹣2）2]x2=1，‎ 令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，‎ ‎∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）2＜0，∴f（x）=0没有实数解，‎ k=2，f（x）=[x2+（2x﹣2）2]x2﹣1=0没有实数解，‎ 即y=kx与E有公共点，‎ ‎∴y=kx不是E的分隔线．‎ ‎∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．‎ ‎【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．（16分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．‎ ‎（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；‎ ‎（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．‎ ‎（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．‎ ‎【分析】（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；‎ ‎（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．‎ ‎（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差．‎ ‎【解答】解：（1）依题意：，‎ ‎∴；又 ‎∴3≤x≤27，‎ 综上可得：3≤x≤6‎ ‎（2）由已知得，，，‎ ‎∴，‎ 当q=1时，Sn=n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．‎ 当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，‎ ‎∴‎ 不等式 ‎∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n=1，‎ 得q2﹣3q+2≤0，‎ 解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，‎ ‎∴qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，‎ ‎∴1＜q≤2，‎ 当时，‎ ‎，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，‎ ‎∴此不等式即，‎ ‎3q﹣1＞0，q﹣3＜0，‎ ‎3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，‎ qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0‎ ‎∴时，不等式恒成立，‎ 上，q的取值范围为：．‎ ‎（3）设a1，a2，…ak的公差为d．由，且a1=1，‎ 得 即 当n=1时，﹣≤d≤2；‎ 当n=2，3，…，k﹣1时，由，得d≥，‎ 所以d≥，‎ 所以1000=k，即k2﹣2000k+1000≤0，‎ 得k≤1999‎ 所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…ak的公差为﹣．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．‎ ‎　‎