数学理卷·2017届江西省南昌三中高三11月第三次月考（2016

数学理卷·2017届江西省南昌三中高三11月第三次月考（2016

南昌三中2016—2017学年度上学期第三次月考 高三数学（理）试卷 ‎ 命题：张金生 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，则是（ 　）‎ A．　　　　 B. 　　　　　 C. 　　　　　 D.‎ ‎2.sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于(　　)‎ A．0 B. C. D．1‎ ‎3．已知是虚数单位，复数的共轭复数是，如果，那么（ ）‎ 等于 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎4.给出下列三个命题：①“若，则”为假命题；②若∧为假命题,则,均为假命题；③命题：，则.‎ 其中正确的个数是（ ）‎ ‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎5．函数的一个单调递减区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）‎ A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 ‎7．已知函数的图像如图所示，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．在△ABC中，cos2＝，则△ABC的形状为(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 ‎9.已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.函数的定义域和值域都是，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知定义在R上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程（），有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数对任意的满足 (其中是函数 的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中的横线上。‎ ‎13．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于 ‎ ‎14．已知，则 = ． ‎ ‎15.已知，在的展开式中，项的系数为__________.‎ ‎16.函数在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数有________个.‎ 三、解答题：本大题共5道小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）在锐角中，角所对的边分别为，且 。（1）求角，（2）求的取值范围 B A D C D B E A C ‎18．（本小题满分12分）已知Rt△ABC中，,AB=1，BC=2，D为BC的中点，将△ADB沿AD折起，使点B在面ADC所在平面的射影E在AC上.‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥平面BDE ‎（Ⅱ）求折起后二面角B―AD―C的余弦值；‎ ‎19．（本小题满分12分）已知函数，（1）当时，若，试求；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.‎ ‎20. （本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系:‎ 年入流量 发电量最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数（为常数）.（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）当时，设的两个极值点，，（）恰为的零点，求的最小值.‎ 四、选做题（请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线经伸缩变换后得到曲线，射线（）分别与和交于,两点，求．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设关于的方程（）有解，求实数的值．‎ 南昌三中高三第三次月考理科数学试卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，则是（ B.　）‎ A．　　　　 B. 　　　　　 C. 　　　　　 D.‎ ‎2.sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于(　D　)‎ A．0 B. C. D．1‎ ‎ [解析]　sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°.‎ ‎3．已知是虚数单位，复数的共轭复数是，如果，那么（ ）‎ 等于 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 解:设，、都是实数，则，∵，∴，解方程组得.∴.故选D．‎ ‎4.给出下列三个命题：①“若，则”为假命题；②若∧为假命题,则,均为假命题；③命题：，则.‎ 其中正确的个数是（ 【B】 ）‎ ‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【解析】（1）∵命题“若，则”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此（1）不正确；（2）错误;（3）根据含量词的命题否定方式，可知命题(3)正确.‎ ‎5．函数的一个单调递减区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：先变形解析式，，再求出单调区间：，时，D选项符合要求 答案：C ‎6. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ B ）‎ A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 ‎7．已知函数的图像如图所示，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路一：可以考虑确定的解析式进而求出，如图可计算出，所以 ，取零点的中点可得对称轴 ‎ 而，从而，解出一个值。所以，且 ‎，所以，进而 ‎ 思路二：同思路一先解出，则，从图中可得与关于中心对称，从而答案：A.‎ ‎8．在△ABC中，cos2＝，则△ABC的形状为(　A　)‎ A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 ‎[解析]　∵cos2＝，∴＝，即cosA＝，又由余弦定理知，‎ cosA＝，∴＝，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．‎ ‎9.已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，且是奇函数，则，又因为是上的单调函数，所以只有一个零点，即只有一个零点，则，解得，故选C．‎ ‎10.函数的定义域和值域都是，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎11.已知定义在R上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程（），有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C【命题立意】本题考查分段函数的图像，换元法，涉及数形结合、方程、转化思想，属难题.【解析】的图像如图所示，，当 时，的最大值是2,；当时，的最小值是0，是部分图像的渐近线.‎ 设，依题意，符合题意有两种情况：‎ ‎(1)，此时，则；‎ ‎(2)，，此时，则；综上，，选D.‎ ‎12.已知函数对任意的满足 (其中是函数 的导函数)，则下列不等式成立的是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，由对任意的满足可得，所以函数在上为增函数，所以，即，所以，故选A．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填写在题中的横线上。‎ ‎13．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于 ‎ ‎[解析]　点P位于第一象限，且tanα＝－cot2＝－tan＝tan，∵2－∈，∴α＝2－.‎ ‎14．已知，则 = ．‎ ‎15.已知，在的展开式中，项的系数为__________.‎ ‎【解析】根据题意，可以求得，的展开式中，的系数为,故选B.‎ ‎16.函数在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数有________个.‎ ‎【答案】‎ ‎【思路点晴】两个函数的切线相同，我们就可以这样来操作，先在第一个函数中求得其切线方程，如本题中的，得到斜率为，利用这个斜率，可以求得第二个函数的切点，从而求得其切线方程为，这两个切线方程应该是相等的，故它们的截距相等，根据两个截距相等，可以得到关于切点横坐标的一个方程，我们根据图像就可以知道这个切点的横坐标可以有两个.‎ 三、解答题：本大题共六道小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）在锐角中，角所对的边分别为，且 。（1）求角，（2）求的取值范围 解：（1）方法一：使用余弦定理 ‎ 由余弦定理得： 方法二：观察等式齐次，考虑使用正弦定理 ‎ ‎ ‎ （2） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为锐角三角形 ‎ ‎ ‎ B A D C D B E A C ‎18．（本小题满分12分）已知Rt△ABC中，,AB=1，BC=2，D为BC的中点，将△ADB沿AD折起，使点B在面ADC所在平面的射影E在AC上.‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥平面BDE ‎（Ⅱ）求折起后二面角B―AD―C的余弦值；‎ 解： （Ⅰ）在对折图中作BO⊥AD于O,连结OE，由条件及三垂线定理知OE⊥AD，‎ 对照原图知点B、O、E共线，∵BA=BD,∴BE是AD中垂线，∴∠BDE=∠BAE=900，∴CD⊥DE, 又∵BE⊥平面ACD, ∴CD⊥BE,∴CD⊥平面BDE （用向量方法证明也可）‎ ‎（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知∠BOE就是二面角B-AD-C的平面角，‎ 如原图，易求得BO=,OE=，‎B A D C D B E A C O F F O E ‎∴∠BOE= arccos，‎ D B E A C O x y z 故二面角B-AD-C的大小为arccos ‎ ‎（Ⅱ）解法二：取AC的中点为原点O，AC所在的直线为x轴，‎ OD所在直线为y轴建立空间直角坐标系。‎ 由题意得C（，0，0），A（－，0，0）D（0，，0）‎ 设B（x0，0，z0），则｜BA｜＝｜BD｜＝1，‎ 即 解出x0＝－，z0＝，所以B（－，0，），E（－，0，0）‎ 又可求得平面ABD的一个法向量为＝（－，6，），平面CAD的一个法向量 ‎＝（0，0，1）,‎ cos＜，＞＝…＝ ，故二面角B―AD―C的大小为arccos ‎ ‎19．（本小题满分12分）已知函数，（1）当时，若，试求；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.‎ 解：（1）当时，函数，3分。由得,两边同时平方并整理得， 5分 即………6分 ‎（2）函数函数在区间上是增函数，则等价于不等式在区间上恒成立，也即在区间上恒成立，………9分 从而在在区间上恒成立， 而函数在区间上的最大值为，所以为所求. ………13分.‎ ‎20. （本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系:‎ 年入流量 发电量最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ 所以.‎ ③安装3台发电机.‎ ‎0.7‎ ‎3400‎ ‎ 12分 ‎21．（本小题满分12分）已知函数（为常数）.（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）当时，设的两个极值点，，（）恰为的零点，求的最小值.‎ ‎21（Ⅰ），，‎ 当时，由解得，即当时，，单调递增，‎ 由解得，即当时，，单调递减.‎ 当时，，即在上单调递增；‎ 当时，，故，即在上单调递增.‎ 所以，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 当时，的单调递增区间为.‎ ‎（Ⅱ），则，‎ 所以的两根即为方程的两根.‎ 因为，所以，，.‎ 又因为为的零点，所以，，‎ 两式相减得，得，‎ 而，所以 ‎，‎ 令，由得，‎ 因为，两边同时除以，得，‎ 因为，故，解得或，所以.‎ ‎2‎ 设，所以，则在上是减函数，‎ 所以 即的最小值为.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线经伸缩变换后得到曲线，射线（）分别与和交于,两点，求．‎ ‎【解析】（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程为，‎ 即，…2分，将代入，得，…4分。所以的极坐标方程为．…5分 ‎（Ⅱ）将代入得，所以的方程为．…7分 的极坐标方程为，．又，所以………10分 ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设关于的方程（）有解，求实数的值．‎ ‎【分析】本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由得，或…………2分 解得．依题意．………5分 ‎（Ⅱ）因为，当且仅当时取等号，…7分。因为关于的方程（）有实数根，所以． 8分 另一方面，，所以，…9分，所以或．……10分