福建省宁德市2020届高三普通高中毕业班5月质量检查文科数学试题

福建省宁德市2020届高三普通高中毕业班5月质量检查文科数学试题

宁德市2020届普通高中毕业班第一次质量检查试卷 ‎ 文 科 数 学　‎ 本试卷共5页，满分150分．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．‎ ‎2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，则= ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数，其中是虚数单位，则 A. B. C. D.‎ ‎3.已知双曲线的焦距为，则其焦点到渐近线的距离为 A. 8 B. ‎6 C. D. 4‎ ‎4.设向量满足，则 A. B. C. D.‎ ‎5.2021年起，福建省高考将实行“3+1+‎2”‎新高考。“‎3”‎是统一高考的语文、数学和英语三门；“‎1”‎是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；“‎2”‎也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“1+‎2”‎三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是 A. B. C. D.‎ ‎6.已知公比为的等比数列的前项和为,等差数列的前项和为,若有，则 A. B. C. D.‎ ‎7.若实数满足，则的大小关系是 A. B. C. D.‎ ‎8.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一 百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各 几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法，执行右图的程 序框图，则输出 ‎ A.20 B‎.30 C.75 D.80 ‎ ‎9.将函数的图象向左平移个单位长度后，‎ 所得的图象与原图象有相同的对称中心，则正实数的最小值是 A. B. C. D. ‎ ‎10.某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，‎ 则这个几何体的表面积为 A.16 B. C. D.‎ ‎11.已知为椭圆的左、右焦点，椭圆上一点到上顶点和坐标原点的距离相等，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率为 A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数下列关于函数的零点个数判断正确的是 A.当时，至少有2个零点 B.当时，至多有9个零点 ‎ C.当时，至少有4个零点 D.当时，至多有4个零点 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13.已知函数在点处的切线方程为 .‎ ‎14.若变量满足约束条件则的最大值是 .‎ ‎15.在边长为2的菱形中，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且点在面内的正投影为的重心,则的外接球的球心到点的距离为 .‎ ‎16.若正项数列满足,则称数列为D型数列,以下4个正项数列满足的递推关系分别为:‎ ‎① ② ③ ④‎ 则D型数列的序号为 .‎ 三、解答题：‎ 共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.(12分)‎ 的内角的对边分别为，已知，.‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）延长线段到点D，使，求周长的取值范围．‎ ‎18.(12分)‎ 如图，矩形平面，且，分别为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求几何体的体积.‎ ‎19.(12分)‎ 某公司为了促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x（单位：元/件）及相应月销量y（单位：万件），对近5个月的月销售单价和月销售量的数据进行了统计，得到如下数表：‎ 月销售单价（元/件）‎ ‎8‎ ‎8.5‎ ‎9‎ ‎9.5‎ ‎10‎ 月销售量（万件）‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎（1）建立关于的回归直线方程；‎ ‎（2）该公司年底开展促销活动，当月销售单价为7元/件时，其月销售量达到14.8万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中得到的回归直线方程是否理想？‎ ‎（3）根据（1）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价为何值时，公司月利润的预报值最大？‎ ‎（注：利润=销售收入-成本）．‎ 参考公式：回归直线方程，其中，‎ 参考数据：，‎ 20. ‎(12分)‎ 已知抛物线的焦点为，在抛物线上，且.‎ ‎（1）求抛物线的方程及的值；‎ ‎（2）若过点的直线与相交于两点，为的中点，是坐标原点，且，求直线的方程.‎ 21. ‎(12分)‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）已知且，若函数没有零点，求证：．‎ （二） 选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴正半 轴为极轴，直线的极坐标方程为，直线交圆于两点，为中点.‎ ‎（1）求点轨迹的极坐标方程；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知在上恒成立.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）若均为正数，且,求的取值范围.‎ 数学（文科）试题参考答案及评分标准 说明：‎ ‎1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则．‎ ‎2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4.解答题只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. B 7. A 8. C 9. C 10. D 11. B 12. B ‎ 二、填空题 ：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13． 14． 15． 16．②③④ ‎ 三、解答题：本大题 共6小题，共70分．‎ ‎17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和差公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．‎ 解法一：（1）根据余弦定理得 整理得，………………………………………………………3分 ‎，‎ ‎，‎ ‎……………………………………………………………………………5分 ‎（2）依题意得为等边三角形，所以的周长等于 ‎………………………………………………………………6分 由正弦定理，‎ 所以，‎ ‎…………………………………………………………8分 ‎ ‎ ‎………………………………………………………10分 ‎，，‎ ‎， ‎ ‎，……………………………………………………………11分 所以的周长的取值范围是．………………………………12分 解法二：（1）根据正弦定理得 ‎……………………………………………………2分 ‎,………3分 ‎, ‎ ‎，‎ ‎，…………………………………………………………………4分 ‎，‎ ‎……………………………………………………………………………5分 ‎（2）同解法一． ‎ ‎18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．‎ 解法一：（1）证明：取中点，连接……………………………………1分 ‎ ∵分别为的中点，‎ ‎∴为的中位线 ‎ ∴且 ……………………2分 ‎∵为矩形，为的中点 ‎∴且……………………3分 ‎∴四边形为平行四边形 ‎∴………………………………4分 ‎,……………………………………………………5分 ‎∴平面…………………………………………………………………6分 ‎（2）过作于………………………………………………………………7分 ‎ ∵平面平面， ‎ ‎ 平面平面，‎ ‎ 又平面 ‎∴平面……………………………………9分 ‎ 在中，‎ ‎∵且 ‎∴‎ ‎…………………………………………………………………10分 ‎ ……………………………………………………………11分 ‎ ………………………………………………12分 解法二：（1）取中点，连接………………………………………………1分 ‎ 在中，为中位线，‎ ‎ ∴……………………………………2分 ‎ ‎∵平面，平面 ‎∴平面………………………………3分 ‎ 同理，，∴‎ ‎∵平面，平面 ‎∴平面………………………4分 ‎ 又 ‎∴平面平面……………5分 ‎∵平面 ‎∴平面…………………………………………………………………6分 ‎（2）∵平面平面， ‎ ‎ 平面平面，‎ ‎ 又 ‎ ∴平面 ‎ ‎∴………………………………………………7分 ‎∵且为的中点 ‎∴…………………………………………8分 ‎∵，，‎ 则平面 即平面…………………………9分 ‎∵平面，‎ ‎∴到平面的距离 在中，‎ ‎∵且 ‎∴……………………………………………………………………10分 ‎……………………………………………………………11分 ‎∴……………………………………………12分 ‎19. 本小题主要考查了回归直线方程,函数等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，‎ 考查化归与转化思想等.满分12分.‎ 解：（1）因为，……………………………………………1分 ‎…………………………………………………………2分 所以，则，……………………4分 于是关于的回归直线方程为； ………………………………5分 ‎（2）当时，，则，‎ ‎……………………………………………………7分 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；…………………………………8分 ‎（3）令销售利润为M，则………………………9分 ‎……………………………………10分 所以时，取最大值．………………………………………………………11分 所以该新产品单价定为元公司才能获得最大利润.……………………………12分 ‎20. 本小题主要考查直线、抛物线，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．满分12分．‎ 解：（1），………………………………………………………1分 ‎…………………………………………………………………………………2分 抛物线的方程为：.………………………………………………………3分 将代入得……………………………………………………4分 ‎（2）设， ‎ 显然直线的斜率存在，设直线：，………………………………5分 联立，消去得，……………………………………6分 ‎，得且，‎ ‎，……………………………………………………………7分 ‎，‎ ‎ ，即，…………………………8分 是的中点，，………………………………………………………9分 ‎，整理得，………………………10分 ‎，解得，………………………………………………11分 直线的方程为：或……………………………………………12分 ‎21.本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分12分．‎ 解法一：（1）‎ ‎ ………………………………………………………………1分 ‎ 当时，令得或；‎ 令得．‎ ‎∴函数的单调递增区间为和，‎ 单调递减区间为．……………………………………………………………3分 当时，令得；‎ 令得或．‎ ‎∴函数的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为和.………………………………………………5分 综上所述,当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.‎ ‎（2）函数在时无零点，即在无解 则与在无交点……………………………………………………6分 ‎，在上单调递增 ‎，∴‎ 则………………………………………………………………………………………7分 由（1）得在上单调递增 ‎……………………………………………………………………8分 要证 ‎ 即证 ‎ 即证 ‎ 即证 …………………………………………………………………9分 令 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在时单调递增，………………………………………………………11分 所以原不等式成立．…………………………………………………………………………12分 解法二：（1）同解法一 ‎（2）函数在时无零点，即在无解 则与在无交点……………………………………………………6分 ‎，在上单调递增 ‎，∴‎ 则………………………………………………………………………………………7分 要证，‎ 即证， ‎ 即证，………………………………………………………………………8分 因为，‎ 所以只需证 ，‎ 即证 ，………………………………………………………………………9分 令 ‎ ‎，………………………………………………………………10分 在时单调递增，………………………………………………………11分 ‎，‎ 所以原不等式成立．…………………………………………………………………………12分 ‎22．选修；坐标系与参数方程 本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查 数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．‎ 解法一：（1）圆的极坐标方程为，………………………1分 将代入得：‎ ‎，‎ 成立，‎ 设点对应的极径分别为，‎ 所以，……………………………………………………………3分 所以，…………………………………………………………4分 所以点轨迹的极坐标方程为，．…………………………5分 ‎（2）由（1）得，……………6分 ‎，……………………………………………………………7分 所以，，………………………………8分 又，所以或，……………………………………………………9分 即或…………………………………………………………………………10分 解法二：‎ ‎（1）因为为中点，‎ 所以于，…………………………………………………………………………1分 故的轨迹是以为直径的圆（在的内部），………………………………………2分 其所在圆方程为：，………………………………………………3分 即.‎ 从而点轨迹的极坐标方程为，．……………………………5分 ‎（2）由（1）得，………………6分 ‎，……………………………………………………………7分 令，因为，所以， ‎ 则，‎ 所以，所以，………………………………………………8分 即，解得（舍去），‎ 所以，‎ 又，，‎ 所以或，……………………………………………………………………9分 即或．………………………………………………………………………10分 ‎23．选修：不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．‎ 解：（1）构造，‎ 在上恒成立，‎ ‎，…………………………………………………………………………1分 又，………………………………………………………………3分 ‎，，……………………………………………………………………4分 的最大值．………………………………………………………………………5分 ‎（2）由（1）得，故．‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 或．……………………………………………………………………6分 故．……………………………………………7分 当时，，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时取“=”；…………………………………8分 当时，，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时取“=”．…………………………………9分 所以的取值范围是．………………………………10分