2018-2019学年甘肃省武威第一中学高二下学期第一次阶段测试数学（理）试题 解析版
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甘肃省武威第一中学2018-2019学年高二下学期第一次阶段测试数学（理)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．函数在点处的切线斜率为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
求函数导数，进而得即为所求.
【详解】
函数，求导得.
所以，即函数在点处的切线斜率为1.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.
2．函数f(x)＝x2－ln 2x的单调递减区间是( )
A． B． C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出f(x)的导数f′(x)，令f′(x)≤0即可解出答案（注意定义域）
【详解】
由题意知，函数f(x)定义域为x>0，
因为f′(x)＝2x－＝，由f′(x)≤0得解得0
0), 由<,>=60°,利用坐标运算可得m，进而可得cos<,>，从而得解；
（2）平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0),由cos<,>即可得解.
【详解】
(1)如图所示,以D为原点,DA,DC,DD′分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,
设DA=1.则=(1,0,0),=(0,0,1).连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.
设=(m,m,1)(m>0),
由已知<,>=60°,由·=||||cos<,>,可得2m=.解得m=,
所以=.
因为cos<,>==
所以<,>=45°,即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0),
因为cos<,>==
所以<,>=60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
【点睛】
本题主要考查了利用空间向量处理线线角和二面角，属于基础题.
19．求函数的单调区间．
【答案】增区间为，减区间为.
【解析】
【分析】
求函数导数，根据导函数为正得增区间，导函数为负得减区间.
【详解】
由得，
令，即，得，从而，
令，即，得，此时为增函数，又，得增区间为，
令，即，得，此时为减函数，减区间为.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，解题时要注意函数的定义域，属于基础题.
20．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝4，求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）通过证明BD⊥AC和BD⊥PA，可证得结论；
（2）以BD与AC的交点O为坐标原点，OB，OC所在直线为x轴，y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别计算平面PBC的一个法向量为n1，平面PDC的一个法向量为n2，利用向量夹角公式可得解.
【详解】
(1)证明：因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
又PA⊥平面ABCD，
所以BD⊥PA.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
(2)以BD与AC的交点O为坐标原点，OB，OC所在直线为x轴，y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知可得，AO＝OC＝，OD＝OB＝1，
所以P(0，－，4)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(－1，0，0)，
(0，2，－4)，＝(－1，，0)，＝(－1，－，0)．
设平面PBC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由可得令x1＝，可得n1＝.
同理，由可得n2＝，
所以cos〈n1，n2〉＝＝－，所以平面PBC与平面PDC所成角的余弦值为.
【点睛】
用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
21．已知函数f(x)＝lnx＋，若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
【答案】
【解析】
【分析】
求函数导数，讨论函数单调性求最值，列方程求解即可.
【详解】
函数的定义域为[1，e]，
f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝a，
①当a≤1时，f′(x)≥0，
函数f(x)在[1，e]上是增函数，
f(x)min＝f(1)＝ln1＋a＝，
∴a＝∉(－∞，1]，故舍去．
②当1 (n∈N*)．
【答案】（1）y＝2x（2）见解析（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）求导计算得切线斜率，进而由点斜式求切线即可；
（2）由，令，得x＝－a－1，讨论－a－1和定义域的关系求极值即可；
（3）当a＝－1时，由(2)知，，令x＝ (n∈N*)，，从而得证.
【详解】
(1)解 当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)＋，
所以＋＝，
所以，
又f(0)＝0，
所以函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.
(2)解 ＋
＝ (x>－1)．
令x＋1＋a＝0，得x＝－a－1.
若－a－1≤－1，即a≥0，
则>0恒成立，此时f(x)无极值．
若－a－1>－1，即a<0，
当－1－a－1时，f′(x)>0，
此时f(x)在x＝－a－1处取得极小值，
极小值为ln(－a)＋a＋1.
(3)证明 当a＝－1时，由(2)知，f(x)min＝f(0)＝0，
所以ln(x＋1)－≥0，即ln(x＋1)≥.
令x＝ (n∈N*)，
则ln≥＝，
所以ln≥.
又因为－＝>0，
所以>，
所以ln>，
所以ln＋ln＋ln＋…＋ln>＋＋＋…＋，
即ln(n＋1)>＋＋＋…＋.
【点睛】
本题主要考查了导数的综合应用，利用导数可求切线斜率，可研究函数的单调性求极值，不等式证明问题通常是根据已求函数的最值列不等式，套用结论证明即可，具有一定的难度，属于难题.