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文档介绍
数学卷·2018届湖南省郴州市永兴一中、桂阳三中联考高二上学期期中数学试卷(文科)(解析版)
全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年湖南省郴州市永兴一中、桂阳三中联考高二(上)期中数学试卷(文科) 一、选择题(共12题,每题5分) 1.命题“若x=2,则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是( ) A.若x≠2,则x2﹣3x+2≠0 B.若x2﹣3x+2=0,则x=2 C.若x2﹣3x+2≠0,则x≠2 D.若x≠2,则x2﹣3x+2=0 2.已知a∈R,则“a>2”是“a2>2a”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.抛物线y2=8x的准线方程是( ) A.x=﹣2 B.x=﹣4 C.y=﹣2 D.y=﹣4 4.等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12=( ) A.15 B.30 C.31 D.64 5.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( ) A.﹣y2=1 B.﹣y2=1 C.﹣=1 D.x2﹣3y2=1 6.已知,则z=2x+y的最大值为( ) A.7 B. C.1 D.8 7.对于实数a,b,c,下列结论中正确的是( ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则 C.若a<b<0,则 D.若a>b,,则a>0,b<0 8.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( ) A.﹣24 B.0 C.12 D.24 9.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为﹣=1,C1 与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( ) A.x±y=0 B. x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 10.设M为椭圆+=1上的一个点,F1,F2为焦点,∠F1MF2=60°,则△MF1F2的周长和面积分别为( ) A.16, B.18, C.16, D.18, 11.已知单调递增的等比数列{an}中,a2•a6=16,a3+a5=10,则数列{an}的前n项和Sn=( ) A. B. C.2n﹣1 D.2n+1﹣2 12.如图,在中△ABC,∠CBA=∠CAB=30°,AC、BC边上的高分别为BD、AE,则以A、B为焦点,且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( ) A. B.1 C.2 D.2 二、填空题(共4题,每题5分) 13.在△ABC中,已知b=1,c=,∠C=120°,则a= . 14.已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),则关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集为 . 15.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点,若|AB|=8,则线段AB中点的横坐标为 . 16.设x>0,y>0.且2x﹣3=()y,则+的最小值为 . 三、解答题 17.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c. (Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C); (Ⅱ)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值. 18.已知命题p:k2﹣8k﹣20≤0,命题q:方程=1表示焦点在x轴上的双曲线. (Ⅰ)命题q为真命题,求实数k的取值范围; (Ⅱ)若命题“p∨q”为真,命题“p∧q”为假,求实数k的取值范围. 19.已知数列{an}(n∈N*)的前n项的Sn=n2. (Ⅰ)求数列{an},的通项公式; (Ⅱ)若,记数列{bn},的前n项和为Tn,求使成立的最小正整数n的值. 20.某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品,已知生产1t A产品,1t B产品分别需要的甲、乙原料数,可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示.问:在现有原料下,A、B产品应各生产多少才能使利润总额最大?列产品和原料关系表如下: 所需原料 产品 原料 A产品 (1t) B产品 (1t) 总原料 (t) 甲原料(t) 2 5 10 乙原料(t) 6 3 18 利润(万元) 4 3 21.已知点A(0,﹣2),B(0,4),动点P(x,y)满足; (1)求动点P的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹方程与直线y=x+2交于C、D两点;求证OC⊥OD(O为坐标原点). 22.已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0,),离心率为,左右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0). (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线l:y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点,与以F1F2 为直径的圆交于C、D两点,且满足=,求直线l的方程. 2016-2017学年湖南省郴州市永兴一中、桂阳三中联考高二(上)期中数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共12题,每题5分) 1.命题“若x=2,则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是( ) A.若x≠2,则x2﹣3x+2≠0 B.若x2﹣3x+2=0,则x=2 C.若x2﹣3x+2≠0,则x≠2 D.若x≠2,则x2﹣3x+2=0 【考点】四种命题间的逆否关系. 【分析】根据命题“若p,则q”的逆否命题是“若¬q,则¬p”,写出它的逆否命题即可. 【解答】解:命题“若x=2,则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是 “若x2﹣3x+2≠0,则x≠2”. 故选:C. 2.已知a∈R,则“a>2”是“a2>2a”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】不等关系与不等式. 【分析】我们分别判断“a>2”⇒“a2>2a”与“a2>2a”⇒“a>2”的真假,然后根据充要条件的定义,即可得到答案. 【解答】解:∵当“a>2”成立时,a2﹣2a=a(a﹣2)>0 ∴“a2>2a”成立 即“a>2”⇒“a2>2a”为真命题; 而当“a2>2a”成立时,a2﹣2a=a(a﹣2)>0即a>2或a<0 ∴a>2不一定成立 即“a2>2a”⇒“a>2”为假命题; 故“a>2”是“a2>2a”的充分非必要条件 故选A 3.抛物线y2=8x的准线方程是( ) A.x=﹣2 B.x=﹣4 C.y=﹣2 D.y=﹣4 【考点】抛物线的应用. 【分析】根据抛物线方程可求得p,再根据抛物线性质求得准线方程. 【解答】解:根据抛物线方程可知2p=8,p=4, 故准线方程为x=﹣2, 故选A 4.等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12=( ) A.15 B.30 C.31 D.64 【考点】等差数列的性质. 【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16,再由a4=1=a1+3d,解方程求得a1和公差d的值,从而求得a12的值. 【解答】解:设公差等于d,由a7+a9=16可得 2a1+14d=16,即 a1+7d=8. 再由a4=1=a1+3d,可得 a1=﹣,d=. 故 a12 =a1+11d=﹣+=15, 故选:A. 5.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( ) A.﹣y2=1 B.﹣y2=1 C.﹣=1 D.x2﹣3y2=1 【考点】椭圆的简单性质;双曲线的简单性质. 【分析】求出椭圆的焦点坐标,设出双曲线方程,求解即可. 【解答】解:椭圆+y2=1的焦点坐标(,0), 设双曲线方程为:, 双曲线经过点P(2,1), 可得,解得a=, 所求双曲线方程为:﹣y2=1. 故选:B. 6.已知,则z=2x+y的最大值为( ) A.7 B. C.1 D.8 【考点】简单线性规划. 【分析】画出约束条件表示的可行域,判断目标函数z=2x+y的位置,求出最大值. 【解答】解:作出约束条件的可行域如图, 目标函数z=2x+y在的交点A(3,1)处取最大值为z=2×3+1=7. 故选:A. 7.对于实数a,b,c,下列结论中正确的是( ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则 C.若a<b<0,则 D.若a>b,,则a>0,b<0 【考点】不等式的基本性质. 【分析】选项是不等式,可以利用不等式性质,结合特例逐项判断,得出正确结果. 【解答】解:对于A,当c=0时,有ac2=bc2 故错. 对于B,取a=,b=,则2<3,故错; 对于C 若a<b<0,取a=﹣2,b=﹣1,可知<,故错; A,B,C都错,故选:D. 8.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( ) A.﹣24 B.0 C.12 D.24 【考点】等比数列的性质. 【分析】由题意可得(3x+3)2=x(6x+6),解x的值,可得此等比数列的前三项,从而求得此等比数列的公比,从而求得第四项. 【解答】解:由于 x,3x+3,6x+6是等比数列的前三项,故有(3x+3)2=x(6x+6),解x=﹣3, 故此等比数列的前三项分别为﹣3,﹣6,﹣12,故此等比数列的公比为2,故第四项为﹣24, 故选A. 9.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为﹣=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( ) A.x±y=0 B. x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出椭圆与双曲线的离心率,然后推出ab关系,即可求解双曲线的渐近线方程. 【解答】解:a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,C1的离心率为:, 双曲线C2的方程为﹣=1,C2的离心率为:, ∵C1与C2的离心率之积为, ∴, ∴=, =, C2的渐近线方程为:y=,即x±y=0. 故选:A. 10.设M为椭圆+=1上的一个点,F1,F2为焦点,∠F1MF2=60°,则△MF1F2的周长和面积分别为( ) A.16, B.18, C.16, D.18, 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】首先根据题中的已知条件以余弦定理为突破口,建立等量关系进一步求得△MF1F2的周长和面积. 【解答】解:M是椭圆+=1上的点,F1、F2是椭圆的两个焦点,∠F1MF2=60°, 设:|MF1|=x,|MF2|=y, 根据余弦定理得:x2+y2﹣xy=64, 由于x+y=10, 求得:xy=12, 所以△MF1F2的周长=x+y+8=18,S△F1MF2==3. 故选:D. 11.已知单调递增的等比数列{an}中,a2•a6=16,a3+a5=10,则数列{an}的前n项和Sn=( ) A. B. C.2n﹣1 D.2n+1﹣2 【考点】等比数列的前n项和. 【分析】由等比数列的性质和韦达定理可得a3,a5为方程x2﹣10x+16=0的实根,解方程可得q和a1,代入求和公式计算可得. 【解答】解:∵a2•a6=16,a3+a5=10, ∴由等比数列的性质可得a3•a5=16,a3+a5=10, ∴a3,a5为方程x2﹣10x+16=0的实根, 解方程可得a3=2,a5=8,或a3=8,a5=2, ∵等比数列{an}单调递增, ∴a3=2,a5=8,∴q=2,, ∴ 故选:B. 12.如图,在中△ABC,∠CBA=∠CAB=30°,AC、BC边上的高分别为BD、AE,则以A、B为焦点,且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( ) A. B.1 C.2 D.2 【考点】椭圆的简单性质;双曲线的简单性质. 【分析】根据题意设出AB,进而根据椭圆的定义可求得a和c的关系式,求得椭圆的离心率.进而利用双曲线的性质,求得a和c关系,求得双曲线的离心率,然后求得二者离心率倒数和. 【解答】解:设|AB|=2c,则在椭圆中,有c+c=2a, ==, 而在双曲线中,有c﹣c=2a, ==, ∴+=+= 故选A 二、填空题(共4题,每题5分) 13.在△ABC中,已知b=1,c=,∠C=120°,则a= 1 . 【考点】余弦定理. 【分析】根据题意,由余弦定理可得,﹣=,变形可得a2+a﹣2=0,解可得a的值,即可得答案. 【解答】解:根据题意,在△ABC中,b=1,c=,∠C=120°, 由余弦定理cosC=可得, ﹣=,即a2+a﹣2=0, 解可得:a=1或a=﹣2(舍), 即a=1, 故答案为:1. 14.已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),则关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集为 . 【考点】二次函数的性质;一元二次不等式的解法. 【分析】由已知可得函数f(x)=x2+ax+b的图象开口朝上,且有两个零点2和1,由韦达定理,可得a,b的值,进而可将不等式bx2+ax+1>0化为:2x2+x﹣1>0,解得答案. 【解答】解:∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2), ∴函数f(x)=x2+ax+b的图象开口朝上,且有两个零点2和1, ∴a=﹣3,b=2, 故bx2+ax+1>0可化为:2x2﹣3x+1>0, 解得:x∈, 故答案为: 15.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点,若|AB|=8,则线段AB中点的横坐标为 3 . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】由抛物线y2=4x,可得焦点F(1,0),若AB⊥x轴,则|AB|=2p=4,不符合条件,舍去.设直线l的方程为:my=(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2).与抛物线方程联立可得:y2﹣4my﹣4=0,利用根与系数的关系及其弦长公式:|AB|=,解得m.再利用中点坐标公式即可得出. 【解答】解:由抛物线y2=4x,可得焦点F(1,0), 若AB⊥x轴,则|AB|=2p=4,不符合条件,舍去. 设直线l的方程为:my=(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2). 联立, 化为y2﹣4my﹣4=0, ∴y1+y2=4m,y1y2=﹣4. ∴|AB|===8, 化为m2=1, 解得m=±1, 当m=1时,联立,化为x2﹣6x+1=0, ∴x1+x2=6,因此=3. 同理可得:m=﹣1时, =3. ∴线段AB中点的横坐标为3. 故答案为:3. 16.设x>0,y>0.且2x﹣3=()y,则+的最小值为 3 . 【考点】基本不等式. 【分析】2x﹣3=()y,可得x+y=3.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵2x﹣3=()y,∴x﹣3=﹣y,即x+y=3. 又x>0,y>0. 则+===3,当且仅当y=2x=2时取等号. ∴+的最小值为3. 故答案为:3. 三、解答题 17.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c. (Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C); (Ⅱ)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值. 【考点】余弦定理;等差数列的通项公式;等差关系的确定. 【分析】(Ⅰ)由a,b,c成等差数列,利用等差数列的性质得到a+c=2b,再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证; (Ⅱ)由a,b,c成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,将c=2a代入表示出b,利用余弦定理表示出cosB,将三边长代入即可求出cosB的值. 【解答】解:(Ⅰ)∵a,b,c成等差数列, ∴a+c=2b, 由正弦定理得:sinA+sinC=2sinB, ∵sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C), 则sinA+sinC=2sin(A+C); (Ⅱ)∵a,b,c成等比数列, ∴b2=ac, 将c=2a代入得:b2=2a2,即b=a, ∴由余弦定理得:cosB===. 18.已知命题p:k2﹣8k﹣20≤0,命题q:方程=1表示焦点在x轴上的双曲线. (Ⅰ)命题q为真命题,求实数k的取值范围; (Ⅱ)若命题“p∨q”为真,命题“p∧q”为假,求实数k的取值范围. 【考点】双曲线的标准方程;复合命题的真假. 【分析】(Ⅰ)命题q为真命题,由已知得,可求实数k的取值范围; (Ⅱ)根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题,分别讨论“p真q假”与“p假q真”即可得出实数a的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)当命题q为真时,由已知得,解得1<k<4 ∴当命题q为真命题时,实数k的取值范围是1<k<4… (Ⅱ)当命题p为真时,由k2﹣8k﹣20≤0解得﹣2≤k≤10… 由题意得命题p、q中有一真命题、有一假命题 … 当命题p为真、命题q为假时,则, 解得﹣2≤k≤1或4≤k≤10.… 当命题p为假、命题q为真时,则,k无解.… ∴实数k的取值范围是﹣2≤k≤1或4≤k≤10.… 19.已知数列{an}(n∈N*)的前n项的Sn=n2. (Ⅰ)求数列{an},的通项公式; (Ⅱ)若,记数列{bn},的前n项和为Tn,求使成立的最小正整数n的值. 【考点】等差数列的通项公式;数列与不等式的综合. 【分析】(Ⅰ)当n≥2时根据an=Sn﹣Sn﹣1求通项公式,a1=S1=1符合上式,从而求出通项公式., (II)由(I)求得的an求出bn,利用裂项求和方法求出数列{bn}的前n项和为Tn,解不等式求得最小的正整数n. 【解答】解:(Ⅰ)∵Sn=n2 当n≥2时,Sn﹣1=(n﹣1)2 ∴相减得:an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1 又a1=S1=1符合上式 ∴数列{an},的通项公式an=2n﹣1 (II)由(I)知 ∴Tn=b1+b2+b3++bn = = 又∵ ∴ ∴成立的最小正整数n的值为5 20.某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品,已知生产1t A产品,1t B产品分别需要的甲、乙原料数,可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示.问:在现有原料下,A、B产品应各生产多少才能使利润总额最大?列产品和原料关系表如下: 所需原料 产品 原料 A产品 (1t) B产品 (1t) 总原料 (t) 甲原料(t) 2 5 10 乙原料(t) 6 3 18 利润(万元) 4 3 【考点】简单线性规划的应用. 【分析】先设生产A、B两种产品分别为xt,yt,其利润总额为z万元,列出约束条件,再根据约束条件画出可行域,设z=4x+3y,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线z=4x+3y过可行域内的点时,从而得到z值即可. 【解答】解析:设生产A、B两种产品分别为xt,yt,其利润总额为z万元, 根据题意,可得约束条件为… 作出可行域如图:…. 目标函数z=4x+3y, 作直线l0:4x+3y=0,再作一组平行于l0的直线l:4x+3y=z,当直线l经过P点时z=4x+3y取得最大值,…. 由,解得交点P…. 所以有… 所以生产A产品2.5t,B产品1t时,总利润最大,为13万元.… 21.已知点A(0,﹣2),B(0,4),动点P(x,y)满足; (1)求动点P的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹方程与直线y=x+2交于C、D两点;求证OC⊥OD(O为坐标原点). 【考点】直线与圆锥曲线的关系;轨迹方程. 【分析】(1)由,,代入可求 (2)联立,设C(x1,y1),D(x2,y2),则根据方程的根与系数关系可求x1+x2,x1x2,由y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4,代入到=x1x2+y1y2可证OC⊥OD 【解答】解:(1)∵A(0,﹣2),B(0,4),P(x,y) ∴, ∵ ∴﹣x(﹣x)+(4﹣y)(﹣2﹣y)=y2﹣8 整理可得,x2=2y (2)联立可得x2﹣2x﹣4=0 设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=2,x1x2=﹣4, ∴y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=4 ∵=x1x2+y1y2=0 ∴OC⊥OD 22.已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0,),离心率为,左右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0). (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线l:y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点,与以F1F2为直径的圆交于C、D两点,且满足=,求直线l的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【分析】(Ⅰ)由题意可得,解出即可. (Ⅱ)由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1.利用点到直线的距离公式可得:圆心到直线l的距离d及d<1,可得m的取值范围.利用弦长公式可得|CD|=2.设A(x1,y1),B(x2,y2).把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,进而得到弦长|AB|=.由=,即可解得m. 【解答】解:(Ⅰ)由题意可得, 解得,c=1,a=2. ∴椭圆的方程为. (Ⅱ)由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1. ∴圆心到直线l的距离d=, 由d<1,可得.(*) ∴|CD|=2==. 设A(x1,y1),B(x2,y2). 联立, 化为x2﹣mx+m2﹣3=0, 可得x1+x2=m,. ∴|AB|==. 由=,得, 解得满足(*). 因此直线l的方程为. 查看更多