2018-2019学年广西南宁市第二中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年广西南宁市第二中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年广西南宁市第二中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数 (i为虚数单位)的共轭复数是 A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i ‎【答案】B ‎【解析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．‎ 详解：化简可得z= ‎ ‎∴z的共轭复数为1﹣i.‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．‎ ‎2．曲线在处的切线方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由已知，点在曲线上，所以切线的斜率为，‎ 由直线方程的点斜式得，故选.‎ ‎【考点】导数的几何意义，直线方程.‎ ‎3．函数的单调递减区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先确定函数的定义域，然后求解函数的导函数，结合导函数的解析式即可确定函数的单调递减区间.‎ ‎【详解】‎ 由函数的解析式可知函数的定义域为，且，‎ 求解不等式可得：，‎ 故函数的单调递减区间为，即.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数的计算与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】A. ，不能判断正负；B. ，所以正确；C,D做差后也不能判断正负，故选B.‎ ‎5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，，则=（ ）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】：先设的坐标，表示出线段中点的横坐标为3的表达式，因为过焦点，由过焦点的弦长公式，解出。‎ ‎【详解】‎ ‎：设的坐标分别为，线段中点的横坐标为3，则，，由此解得 ‎【点睛】‎ ‎：到焦点的距离转化为到准线的距离，由此与交点的坐标产生关系，过焦点的弦长公式。‎ ‎6．用数学归纳法证明“（）”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时左侧为 ‎ 故选C. ‎ ‎7．设函数，则（ ）‎ A．在区间，内均有零点 B．在区间，内均无零点 C．在区间内有零点，在区间内无零点 D．在区间内无零点，在区间内有零点 ‎【答案】C ‎【解析】：，导函数为，函数在（0，3）上为减函数，，因此在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点 ‎8．若点O和F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（ ）‎ A． B．0 C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先设出点P的坐标，然后结合向量数量积的运算法则和三角函数的性质即可确定的最小值.‎ ‎【详解】‎ 易知，不妨设点P的坐标为，‎ 则：‎ ‎，‎ 结合二次函数的性质可知，当时，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆中的设点及其，平面向量数量积的计算，三角函数的性质，复合函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若是钝角三角形，显然为钝角，因此，由于过左焦点且垂直于轴，所以，，，则，，所以，化简整理得：，所以，即，两边同时除以得，解得或（舍），故选择D.‎ 点睛： 求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用.求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查.‎ ‎10．已知函数的两个极值点分别在和内，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意结合导函数与函数极值的关系将原问题转化为线性规划得到问题，然后利用线性规划的结论可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由函数的解析式可得：，函数的两个极值点分别在和 内，则：‎ ‎，即,‎ 绘制不等式组表示的平面区域如图所示，原问题等价于求解的取值范围，‎ 由线性规划的结论可知目标函数在点处取得最小值，‎ 在点处取得最大值.‎ 即的取值范围是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数研究函数的极值，线性规划及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11．已知函数是偶函数，且当时满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意结合函数的特征构造新函数，结合函数的单调性和函数的奇偶性整理计算即可确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ f(x+2)是偶函数，则的对称轴为x=2，‎ 构造函数，则关于（2，0）对称，‎ 当x>2时，由，‎ 得，‎ 则g（x)在上单调递增，g(x)在上也单调递增，‎ 故，.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.‎ 二、填空题 ‎12．求直线与曲线围成图形的的面积_____________.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】首先求得两函数交点的横坐标，然后利用定积分求解图形的面积即可.‎ ‎【详解】‎ 求解方程可得：，‎ 结合微积分的结论可知所求图形的面积：‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用定积分求解封闭图形面积的方法，微积分基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎13．已知椭圆的左、右焦点为、，点关于直线的对称点仍在椭圆上，则的周长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意首先求得点P的坐标，然后结合椭圆的定义求解焦点三角形的周长即可.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ F1关于直线的对称点P坐标为（0，c），‎ 点P在椭圆上，则：，‎ 则c=b=1,，则，‎ 故的周长为：.‎ ‎【点睛】‎ 椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．‎ ‎14．已知向量，若函数在区间上存在增区间，则t 的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先利用数量积的坐标表示求出， ‎ 然后对函数求导，由题意可知函数在 上单调递增，结合函数的单调性与导数的关系即可求解 ‎【详解】‎ ‎ ，‎ 函数在⊆(－1,1)上单调递增，‎ 故时恒成立，‎ 又，‎ 故.‎ 故答案为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性与函数的导数的关系及函数的恒成立问题求解参数的转化的应用 ‎15．已知函数，则函数有5个零点时m的范围_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先研究函数的性质得到函数的图像，然后结合复合函数的性质和二次函数的图像即可确定m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当时,，‎ 在区间上，单调递减，‎ 在区间上，单调递增，‎ 故函数在处取得极小值，‎ 据此绘制函数的图像如图所示，‎ 结合函数图像和题意可知原问题等价于函数与函数有两个交点，且交点的横坐标的范围分别位于区间和区间内，‎ 观察二次函数的图像可得m的范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数研究函数的性质，分段函数的性质，复合函数零点的处理方法，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 三、解答题 ‎16．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且的面积为，求a的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得，则.‎ ‎（Ⅱ）由三角形面积公式可得：，结合余弦定理计算可得，则.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理得，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即．‎ ‎∵∴，‎ ‎∴∴．‎ ‎（Ⅱ）由：可得．‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴由余弦定理得：，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎17．已知各项均为正数的数列的前n项和为,且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，数列的前n项和，证明.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】(1)由题意利用前n项和与通项公式的关系首先求得数列的首项，且由递推关系易得数列为等差数列，据此即可确定数列的前n项和.‎ ‎(2)首先整理数列的通项公式，然后裂项求和可得其前n项和，由前n项和的式子即可证得题中的结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，两式作差得，‎ 又数列各项均为正数，∴，即，‎ 当时，有，得，则，‎ 故数列为首项为2公差为2的等差数列，∴．‎ ‎（2），‎ ‎∴．故.‎ ‎【点睛】‎ 给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎18．某品牌新款夏装即将上市，为了对新款夏装进行合理定价，在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售，得到如下数据：‎ 连锁店 店 店 店 售价（元）‎ ‎80‎ ‎86‎ ‎82‎ ‎88‎ ‎84‎ ‎90‎ 销量（件）‎ ‎88‎ ‎78‎ ‎85‎ ‎75‎ ‎82‎ ‎66‎ ‎（1）分别以三家连锁店的平均售价与平均销量为散点，求出售价与销量的回归直线方程；‎ ‎（2）在大量投入市场后，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该夏装成本价为40元/件，为使该新夏装在销售上获得最大利润，该款夏装的单价应定为多少元？（保留整数）‎ 附：，.‎ ‎【答案】（1）；（2）80.‎ ‎【解析】分析：（1）先求出三家连锁店的平均年售价和平均销量，根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；‎ ‎（2）设定价是x，得出利润关于x的函数，利用二次函数的性质求出的最大值点，求得结果.‎ 详解：（1），，三家连锁店平均售价和销量分别为：，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴ ‎ ‎，‎ ‎∴，.‎ ‎（2）设该款夏装的单价应定为元，利润为元，‎ 则 .‎ 当时，取得最大值，故该款夏装的单价应定为80元.‎ 点睛：该题考查的是有关线性回归分析的问题，涉及到的知识点有回归直线的方程的求解问题，注意对公式的正确使用，再者就是有关应用函数的思想去解决最值问题，注意对解析式的正确求解.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是上的点.‎ ‎（1）求证：平面平面;‎ ‎（2）若是的中点, 且二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由平面，得到，在利用勾股定理，得到，即可利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证明结论；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，得到平面和平面的一个法向量，利用向量的运算，即可求解直线与平面所成角的正弦值.‎ 试题解析：（1）证明：平面平面,‎ ‎，.‎ 又面面平面平面 平面平面.‎ ‎（2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，‎ 则，设，‎ 则，‎ 取， 则为面的法向量.‎ 设为面的法向量.则， 即，‎ 取，则，‎ 依题意，，则，于是.‎ 设直线与平面所成角为，则，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定与证明；直线与平面所成的角的求解.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了平面与平面垂直的判定与证明、直线与平面所成的角的求解，其中解答中涉及到直线与平面垂直的判定与性质，平面与平面垂直的判定定理，空间向量的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生可空间想象能力，解答中熟记判定定理和建立空间直角坐标系，转化为空间向量的运算是解答的关键，属于中档试题.‎ ‎20．已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)过的直线与椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，内切圆面积最大值是，直线方程为.‎ ‎【解析】(1)设椭圆方程为＝1(a>b>0)，‎ 由焦点坐标可得c＝1.由|PQ|＝3，可得＝3.‎ 又a2－b2＝1，得a＝2，b＝.故椭圆方程为＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令y1>0，y2<0，‎ 设△F1MN的内切圆的半径R，‎ 则△F1MN的周长为4a＝8，S△F1MN＝(|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R，‎ 因此要使△F1MN内切圆的面积最大，则R最大，此时S△F1MN也最大．‎ S△F1MN＝F1F2||y1－y2|＝y1－y2，‎ 由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1，‎ 由得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，‎ 得y1＝，y2＝，‎ 则S△F1MN＝y1－y2＝，令t＝，则t≥1，‎ 则S△F1MN＝＝＝.令f(t)＝3t＋，则f′(t)＝3－，‎ 当t≥1时，f′(t)>0，所以f(t)在[1，＋∞)上单调递增，‎ 有f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤＝3，‎ 当t＝1，m＝0时，S△F1MN＝3，又S△F1MN＝4R，∴Rmax＝‎ 这时所求内切圆面积的最大值为π.‎ 故△F1MN内切圆面积的最大值为π，且此时直线l的方程为x＝1.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若有两个极值点，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若函数有且只有三个不同的零点，分别记为，且的最大值为，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) (0，)；（2）.‎ ‎【解析】（1）求出函数的导数，利用函数f（x）有两个极值点，说明导函数有两个解，即有两个不等的实数根，令，则，求得的极大值，可求得m的取值范围．‎ ‎（2）根据g(x) =(x-e)(lnx-mx)，得到x=e是其零点．又结合（1）知lnx-mx=0的两个根分别在(0，e)，(e，+∞)上，得到g(x)的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0e，进行的换元，则t∈．由，解得 构造，t∈，利用导函数转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，x>0．‎ 由题知=0有两个不等的实数根， ‎ 即有两个不等的实数根．令，则．‎ 由>0，解得，故在(0，e)上单调递增；‎ 由<0，解得x>e，故在(e，+∞)上单调递减；‎ 故在x=e处取得极大值，且，‎ 结合图形可得.‎ ‎∴当函数f(x)有两个极值点时，实数m的取值范围是(0，)． ‎ ‎（2）因为g(x)=xlnx-mx2-elnx+mex=(x-e)(lnx-mx)，‎ 显然x=e是其零点．‎ 由（1）知lnx-mx=0的两个根分别在(0，e)，(e，+∞)上，‎ ‎∴ g(x)的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0e． ‎ 令，则t∈．‎ 则由 解得 ‎ 故，t∈． ‎ 令，则．‎ 令，则．‎ 所以在区间上单调递增，即>．所以，即在区间上单调递增，即≤=，所以，即x1x3≤.‎ 所以x1x3的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值以及函数的极值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．‎