【数学】2018届一轮复习人教A版　直线、平面平行的判定与性质学案

【数学】2018届一轮复习人教A版　直线、平面平行的判定与性质学案

第 4 讲　直线、平面平行的判定与性质 [学生用书 P137]) 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与这个平面内 的一条直线平行，则该直线与此 平面平行(线线平行⇒线面平行) 因为 l∥a， a⊂α，l⊄α， 所以 l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过 这条直线的任一平面与此平面 的交线与该直线平行(简记为 “线面平行⇒线线平行”) 因为 l∥α， l⊂β，α∩β＝b， 所以 l∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行，则这两个平面 平行(简记为“线面平行⇒面面 平行”) 因为 a∥β， b∥β，a∩b＝P， a⊂α，b⊂α， 所以 α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三 个平面相交，那么它们的交线平 行 因为 α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b， 所以 a∥b 1．辨明两个易误点 (1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． (2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件． 2．线面、面面平行的判定中所遵循的原则 一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面 面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的 具体条件而定，不可过于“模式化”． 1.教材习题改编 如果直线 a∥平面 α，那么直线 a 与平面 α 内的(　　) A．一条直线不相交　　　　 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交 　D　[解析] 因为 a∥平面 α，直线 a 与平面 α 无公共点，因此 a 和平面 α 内的任意一 条直线都不相交，故选 D． 2．a、b、c 为三条不重合的直线，α、β、γ 为三个不重合的平面，现给出四个命题： ①Error!⇒α∥β ②Error!⇒α∥β ③Error!⇒a∥α ④Error!⇒a∥α 其中正确的命题是(　　) A．①②③　　 B．①④ C．② D．①③④ 　C　[解析] ②正确．①错在 α 与 β 可能相交．③④错在 a 可能在 α 内． 3．若平面 α∥平面 β，直线 a∥平面 α，点 B∈β，则在平面 β 内过 B 点的所有直线中(　　) A．不一定存在与 a 平行的直线 B．只有两条与 a 平行的直线 C．存在无数条与 a 平行的直线 D．存在唯一一条与 a 平行的直线 　A　[解析] 当直线 a 在平面 β 内且经过 B 点时，a∥平面 α，但这时在平面 β 内过 B 点的所有直线中，不存在与 a 平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与 a 平行的直线， 故选 A. 4．过三棱柱 ABC­A1B1C1 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1 平行的直线共 有________条． [解析] 各中点连线如图，只有平面 EFGH 与平面 ABB1A1 平行，在四边形 EFGH 中有 6 条符合题意． [答案] 6 5.教材习题改编 在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E 是 DD1 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位置关系为________． [解析] 如图，连接 AC，BD 交于 O 点，连接 OE，因为 OE∥BD1，而 OE⊂平面 ACE， BD1⊄平面 ACE，所以 BD1∥平面 ACE. [答案] 平行 　线面平行的判定与性质(高频考点)[学生用书 P138] 平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线 面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中某一问． 高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下三个命题角度： (1)判断线面的位置关系； (2)线面平行的证明； (3)线面平行性质的应用． [典例引领] 　(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥 P­ABCD 中，PA⊥ 底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点． (1)证明 MN∥平面 PAB； (2)求四面体 N­BCM 的体积． 【解】　(1)证明：由已知得 AM＝ 2 3AD＝2. 取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 的中点知 TN∥BC， TN＝1 2BC＝2. 又 AD∥BC，故 TN 綊 AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN∥AT. 因为 AT⊂平面 PAB，MN⊄平面 PAB， 所以 MN∥平面 PAB． (2)因为 PA⊥平面 ABCD，N 为 PC 的中点， 所以 N 到平面 ABCD 的距离为 1 2PA. 取 BC 的中点 E，连接 AE，由 AB＝AC＝3 得 AE⊥BC，AE＝ AB2－BE2＝ 5. 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5， 故 S△BCM＝1 2×4× 5＝2 5.所以四面体 N­BCM 的体积 VN­BCM＝ 1 3×S△BCM× PA 2 ＝ 4 5 3 . (1)证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到 这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行． (2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平 面来确定交线． (3)利用平面几何知识证明线线平行的主要方法：①有中点，找中点，连中线，证平行； ②构造三角形的中位线；③构造平行四边形条件． [题点通关] 角度一　判断线面的位置关系 1．已知直线 a 和平面 α，那么 a∥α 的一个充分条件是(　　) A．存在一条直线 b，a∥b 且 b⊂α B．存在一条直线 b，a⊥b 且 b⊥α C．存在一个平面 β，a⊂β且 α∥β D．存在一个平面 β，a∥β且 α∥β 　C　[解析] 在 A，B，D 中，均有可能 a⊂α，错误；在 C 中，两平面平行，则其中 一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故 C 正确． 角度二　线面平行的证明 2．(2015·高考四川卷节选)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图 所示．在正方体中，设 BC 的中点为 M，GH 的中点为 N. (1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)证明：直线 MN∥平面 BDH. [解] (1)点 F，G，H 的位置如图所示． (2)证明：如图，连接 BD，设 O 为 BD 的中点，连接 OH，OM，MN，BH. 因为 M，N 分别是 BC，GH 的中点， 所以 OM∥CD，且 OM＝ 1 2CD， HN∥CD，且 HN＝1 2CD， 所以 OM∥HN，OM＝HN. 所以四边形 MNHO 是平行四边形，从而 MN∥OH. 又 MN⊄平面 BDH，OH⊂平面 BDH， 所以 MN∥平面 BDH. 角度三　线面平行性质的应用 3.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证：AP∥GH. [证明] 连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，因为 PM＝MC，AO＝ OC， 所以 PA∥MO， 因为 PA⊄平面 MBD，MO⊂平面 MBD，所以 PA∥平面 MBD． 因为平面 PAHG∩平面 MBD＝GH， 所以 AP∥GH. 　面面平行的判定与性质[学生用书 P139] [典例引领] 　如图，在三棱柱 ABC­A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的 中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 【证明】　(1)因为 GH 是△A1B1C1 的中位线，所以 GH∥B1C1. 又因为 B1C1∥BC，所以 GH∥BC， 所以 B，C，H，G 四点共面． (2)因为 E，F 分别为 AB，AC 的中点，所以 EF∥BC， 因为 EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， 所以 EF∥平面 BCHG. 因为 A1G 綊 EB， 所以四边形 A1EBG 是平行四边形，所以 A1E∥GB． 因为 A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 因为 A1E∩EF＝E，所以平面 EFA1∥平面 BCHG. 在本例条件下，线段 BC1 上是否存在一点 M 使得 EM∥平面 A1ACC1? [解] 存在．当 M 为 BC1 的中点时成立． 证明如下：连接 EM，AC1(图略)，在△ABC1 中， E，M 分别为 AB，BC1 的中点， 所以 EM 綊 1 2AC1，又 EM⊄平面 A1ACC1， AC1⊂平面 A1ACC1，所以 EM∥平面 A1ACC1. 　 [通关练习] 1．已知平面 α∥β，P∉α且 P∉ β，过点 P 的直线 m 与 α，β分别交于 A，C，过点 P 的直线 n 与 α，β分别交于 B，D，且 PA＝6，AC＝9，PD＝8，则 BD 的长为________． [解析] 如图 1，因为 AC∩BD＝P， 图 1 所以经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD． 因为 α∥β，α∩平面 PCD＝AB， β∩平面 PCD＝CD， 所以 AB∥CD．所以 PA AC＝ PB BD， 即 6 9＝ 8－BD BD ，所以 BD＝ 24 5 . 如图 2，同理可证 AB∥CD． 图 2 所以 PA PC＝PB PD， 即 6 3＝ BD－8 8 ，所以 BD＝24. 综上所述，BD＝ 24 5 或 24. [答案] 24 5 或 24 2．如图，ABCD 与 ADEF 为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点．求证：平面 BDE∥平面 MNG. [证明]　因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，所以 DE∥GN， 又 DE⊄平面 MNG，GN⊂平面 MNG， 所以 DE∥平面 MNG. 又 M 为 AB 中点，所以 MN 为△ABD 的中位线， 所以 BD∥MN， 又 BD⊄平面 MNG，MN⊂平面 MNG， 所以 BD∥平面 MNG， 又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线， 所以平面 BDE∥平面 MNG. 　线、面平行中的探索性问题[学生用书 P139] [典例引领] 　如图，四棱锥 P­ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，E 为 PB 的中点． (1)求证：CE∥平面 PAD； (2)在线段 AB 上是否存在一点 F，使得平面 PAD∥平面 CEF？ 若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由． 【解】　(1)证明：如图所示，取 PA 的中点 H，连接 EH，DH， 因为 E 为 PB 的中点， 所以 EH∥AB，EH＝ 1 2AB， 又 AB∥CD，CD＝ 1 2AB． 所以 EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形 DCEH 是平行四边形， 所以 CE∥DH， 又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD， 所以 CE∥平面 PAD． (2)如图所示，取 AB 的中点 F，连接 CF，EF， 所以 AF＝ 1 2AB， 又 CD＝ 1 2AB，所以 AF＝CD， 又 AF∥CD，所以四边形 AFCD 为平行四边形， 所以 CF∥AD， 又 CF⊄平面 PAD，所以 CF∥平面 PAD， 由(1)可知 CE∥平面 PAD， 又 CE∩CF＝C，故平面 CEF∥平面 PAD， 故存在 AB 的中点 F 满足要求． 解决探索性问题的策略方法 (1)根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论 证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． (2)按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”“只需使……成 立”． 　如图，在正三棱柱 ABC­A1B1C1 中，D，E 分别为 AB， BC 的中点． (1)若 F 为 BB1 的中点，判断 AC1 与平面 DEF 是否平行？若平行， 请给予证明，若不平行，说明理由； (2)试问：在侧棱 BB1 上是否存在点 F，使三棱锥 F­DEB 的体积与三 棱柱 ABC­A1B1C1 的体积之比为1 8. [解] (1)法一：连接 B1C，BC1 交于点 G，连接 DG，FG， 则 DG∥AC1， 因为 DG⊂平面 GDF，AC1⊄平面 GDF， 则 AC1∥平面 GDF. 由于平面 GDF∩平面 DEF＝DF， 故 AC1 与平面 DEF 不可能平行． 法二：连接 B1C，BC1 交于点 G，连接 DG，FG， 则 DG∥AC1， 而 DG⊄平面 DEF，且 DG 与平面 DEF 交于点 D， 故 AC1 与平面 DEF 不可能平行． (2)假设点 F 存在，由 VF­DEB VABC­A1B1C1 ＝ 1 3 × 1 2 × (1 2BA ) × (1 2BC )sin∠ABC × BF 1 2 × BA × BC × sin∠ABC × BB1 ＝ 1 12× BF BB1＝ 1 8， 得 BF BB1＝ 3 2， 显然，点 F 不存在． [学生用书 P358(独立成册)] 1．在空间内，下列命题正确的是(　　) A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 　D　[解析] 对于 A，平行直线的平行投影也可能互相平行，或为两个点，故 A 错误； 对于 B，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故 B 错误；对于 C，垂直于同一平面的两 个平面也可能相交，故 C 错误；而 D 为直线和平面垂直的性质定理，正确． 2．(2015·高考北京卷)设 α，β是两个不同的平面，m 是直线且 m⊂α，“m∥β”是“α∥β” 的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 　B　[解析] 当 m∥β 时，过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能相交，因而 m∥βD/⇒α∥ β；当 α∥β 时，α内任一直线与 β 平行，因为 m⊂α，所以 m∥β.综上知，“m∥β”是 “α∥β”的必要而不充分条件． 3.如图，AB∥平面 α∥平面 β，过 A，B 的直线 m，n 分别交 α， β 于 C，E 和 D，F，若 AC＝2，CE＝3，BF＝4，则 BD 的长为(　　) A. 6 5　　　　　　　　　　 B． 7 5 C. 8 5 D． 9 5 　C　[解析] 由 AB∥α∥β，易证 AC CE＝ BD DF. 即 AC AE＝ BD BF，所以 BD＝ AC·BF AE ＝ 2 × 4 5 ＝8 5. 4．(2017·江西赣中南五校模拟)已知 m，n 是两条不同的直线， α，β，γ是三个不同 的平面，则下列命题中正确的是(　　) A．若 α⊥γ，α⊥β，则 γ∥β B．若 m∥n，m⊂α，n⊂β，则 α∥β C．若 m∥n，m⊥α，n⊥β，则 α∥β D．若 m∥n，m∥α，则 n∥α 　C　[解析] 对于 A，若 α⊥γ，α⊥β，则 γ 与 β 平行或相交；对于 B，若 m∥n，m⊂ α，n⊂β，则 α 与 β 平行或相交；对于 D，若 m∥n，m∥α，则 n∥α 或 n 在平面 α 内． 5.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，AD 上的点，且 AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又 H，G 分别为 BC，CD 的中 点，则(　　) A．BD∥平面 EFGH，且四边形 EFGH 是矩形 B．EF∥平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形 C．HG∥平面 ABD，且四边形 EFGH 是菱形 D．EH∥平面 ADC，且四边形 EFGH 是平行四边形 　B　[解析] 由 AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4 知 EF 綊 1 5BD，所以 EF∥平面 BCD．又 H， G 分别为 BC，CD 的中点，所以 HG 綊 1 2BD，所以 EF∥HG 且 EF≠HG.所以四边形 EFGH 是梯形． 6. 在三棱锥 S­ABC 中，△ABC 是边长为 6 的正三角形，SA＝SB＝SC ＝12，平面 DEFH 分别与 AB、BC、SC、SA 交于 D、E、F、H，且 它们分别是 AB、BC、SC、SA 的中点，那么四边形 DEFH 的面积为 (　　) A．18　　 B．18 3 C．36 D．36 3 　A　[解析] 因为 D、E、F、H 分别是 AB、BC、SC、SA 的中 点，所以 DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB，EF∥SB，则四边形 DEFH 是平行四边形，且 HD＝ 1 2SB＝6，DE＝ 1 2AC＝3. 如图，取 AC 的中点 O，连接 OB、SO， 因为 SA＝SC＝12，AB＝BC＝6， 所以 AC⊥SO，AC⊥OB， 又 SO∩OB＝O， 所以 AO⊥平面 SOB，所以 AO⊥SB， 则 HD⊥DE，即四边形 DEFH 是矩形， 所以四边形 DEFH 的面积 S＝6×3＝18，故选 A. 7.如图，在空间四边形 ABCD 中，M∈AB，N∈AD，若 AM MB＝ AN ND，则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是__________． [解析] 在平面 ABD 中， AM MB＝ AN ND， 所以 MN∥BD． 又 MN⊄平面 BCD，BD⊂平面 BCD， 所以 MN∥平面 BCD． [答案] 平行 8.如图，正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，AB＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上．若 EF∥平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于________． [解析] 因为 EF∥平面 AB1C，EF⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 AB1C＝AC， 所以 EF∥AC，所以 F 为 DC 中点． 故 EF＝ 1 2AC＝ 2. [答案] 2 9．设 α， β，γ是三个不同的平面，a，b 是两条不同的直线，有下列三个条件： ①a∥γ ， b ⊂β； ②a∥γ ， b ∥β； ③b∥β ， a ⊂γ. 如 果 命 题 “α∩β ＝ a ， b ⊂γ， 且 ________，则 a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的 序号都填上)． [解析] 由面面平行的性质定理可知，①正确；当 b∥β，a⊂γ时，a 和 b 在同一平面内， 且没有公共点，所以平行，③正确．故填入的条件为①或③. [答案] ①或③ 10．在棱长为 2 的正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，P 是 A1B1 的中点，过点 A1 作与截面 PBC1 平行的截面，所得截面的面积是________． [解析] 如图， 取 AB，C1D1 的中点 E，F，连接 A1E，A1F，EF，则平面 A1EF∥平面 BPC1. 在△A1EF 中， A1F＝A1E＝ 5，EF＝2 2， S△A1EF＝ 1 2×2 2× （ 5）2－（ 2）2＝ 6， 从而所得截面面积为 2S△A1EF＝2 6. [答案] 2 6 11.如图，已知 ABCD­A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1 上，点 F 在 CC1 上，G 在 BB1 上，且 AE＝FC1＝B1G＝1，H 是 B1C1 的 中点． (1)求证：E，B，F，D1 四点共面； (2)求证：平面 A1GH∥平面 BED1F. [证明] (1)因为 AE＝B1G＝1，所以 BG＝A1E＝2， 因为 BG∥A1E，所以 A1G∥BE. 又因为 C1F 綊 B1G， 所以 FG∥C1B1∥D1A1， 所以四边形 A1GFD1 是平行四边形． 所以 A1G∥D1F，所以 D1F∥EB， 故 E、B、F、D1 四点共面． (2)因为 H 是 B1C1 的中点， 所以 B1H＝ 3 2. 又 B1G＝1，所以 B1G B1H＝ 2 3. 又 FC BC＝ 2 3，且∠FCB＝∠GB1H＝90°， 所以△B1HG∽△CBF， 所以∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG， 所以 HG∥FB． 又由(1)知 A1G∥BE， 且 HG∩A1G＝G， FB∩BE＝B，所以平面 A1GH∥平面 BED1F. 12.如图，斜三棱柱 ABC­A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 上 的点． (1)当 A1D1 D1C1等于何值时，BC1∥平面 AB1D1? (2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1，求 AD DC的值． [解] (1)如图，取 D1 为线段 A1C1 的中点， 此时 A1D1 D1C1＝1. 连接 A1B 交 AB1 于点 O，连接 OD1. 由棱柱的性质，知四边形 A1ABB1 为平行四边形，所以点 O 为 A1B 的中点． 在△A1BC1 中，点 O，D1 分别为 A1B，A1C1 的中点， 所以 OD1∥BC1. 又因为 OD1⊂平面 AB1D1，BC1⊄平面 AB1D1， 所以 BC1∥平面 AB1D1. 所以 A1D1 D1C1＝1 时，BC1∥平面 AB1D1. (2)由已知，平面 BC1D∥平面 AB1D1， 且平面 A1BC1∩平面 BDC1＝BC1， 平面 A1BC1∩平面 AB1D1＝D1O. 因此 BC1∥D1O，同理 AD1∥DC1. 所以 A1D1 D1C1＝ A1O OB ， A1D1 D1C1＝DC AD. 又因为 A1O OB ＝1， 所以DC AD＝1，即 AD DC＝1. 13．如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD­A1B1C1D1 内灌进一些水，固定容器底面 一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题： ①没有水的部分始终呈棱柱形； ②水面 EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱 A1D1 始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE·BF 是定值． 其中正确的个数是(　　) A．1　　 B．2 C．3 D．4 　C　[解析] 由题图，显然①是正确的，②是错的； 对于③因为 A1D1∥BC，BC∥FG， 所以 A1D1∥FG 且 A1D1⊄平面 EFGH， 所以 A1D1∥平面 EFGH(水面)． 所以③是正确的； 因为水是定量的(定体积 V)． 所以 S△BEF·BC＝V，即 1 2BE·BF·BC＝V. 所以 BE·BF＝ 2V BC(定值)，即④是正确的，故选 C. 14.(2017· 湖 南 省 长 沙 一 中 高 考 模 拟 ) 如 图 所 示 ， 正 方 体 ABCD­A1B1C1D1 的棱长为 a，点 P 是棱 AD 上一点，且 AP＝ a 3，过 B1、 D1 、P 的 平 面 交 底 面 ABCD 于 PQ ， Q 在 直 线 CD 上 ， 则 PQ ＝ ________． [解析] 因为平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD，而平面 B1D1P∩平 面 ABCD＝PQ，平面 B1D1P∩平面 A1B1C1D1＝B1D1， 所以 B1D1∥PQ. 又因为 B1D1∥BD，所以 BD∥PQ， 设 PQ∩AB＝M，因为 AB∥CD， 所以△APM∽△DPQ. 所以 PQ PM＝ PD AP＝2，即 PQ＝2PM. 又知△APM∽△ADB， 所以 PM BD＝ AP AD＝ 1 3， 所以 PM＝ 1 3BD，又 BD＝ 2a， 所以 PQ＝ 2 2 3 a. [答案] 2 2 3 a 15.如图，一个侧棱长为 l 的直三棱柱 ABC­A1B1C1 容器中盛有液 体(不计容器厚度)．若液面恰好分别过棱 AC，BC，B1C1，A1C1 的中点 D，E，F，G. (1)求证：平面 DEFG∥平面 ABB1A1； (2)当底面 ABC 水平放置时，求液面的高． [解] (1)证明：因为 D，E 分别为棱 AC，BC 的中点，所以 DE 是△ABC 的中位线，所以 DE∥AB．又 DE⊄平面 ABB1A1，AB⊂平面 ABB1A1，所以 DE∥平面 ABB1A1.同理 DG∥平面 ABB1A1，又 DE∩DG＝D，所以平面 DEFG∥平面 ABB1A1. (2)当直三棱柱 ABC­A1B1C1 容器的侧面 AA1B1B 水平放置时，由(1)可知，液体部分是直 四棱柱，其高即为原直三棱柱 ABC­A1B1C1 容器的高，即侧棱长 l，当底面 ABC 水平放置时， 设液面的高为 h，△ABC 的面积为 S， 则由已知条件可知，△CDE∽△CAB，且 S△CDE＝ 1 4S，所以 S 四边形 ABED＝ 3 4S. 由于两种状态下液体体积相等，所以 V 液体＝Sh＝S 四边形 ABEDl＝ 3 4Sl，即 h＝ 3 4l. 因此，当底面 ABC 水平放置时，液面的高为 3 4l. 16．如图，长方体 ABCD­A1B1C1D1 中，AB＝16，BC＝10，AA 1＝8.点 E，F 分别在 A1B1，D1C1 上，过点 E、F 的平面 α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 EFGH. (1)求证：A1E＝D1F； (2)判断 A1D 与平面 α 的关系． [解] (1)证明：过点 E 分别作 EM⊥AB 于点 M，EN⊥D1C1 于点 N. 设 MH＝m，NF＝n. 因为 EFGH 是正方形， 所以 EF＝EH＝ 2 2 HF. 又在长方体 ABCD­A1B1C1D1 中，AA1＝8，BC＝10. 所以 102＋n2＝82＋m2＝ 1 2[102＋82＋(m－n)2] 解之得 n＝0，m＝6. 所以 N 与 F 重合． 所以 A1E＝D1N＝D1F. (2)由(1)知，A1D≠EG. 又 A1E∥DG. 所以四边形 A1DGE 是以 A1D 与 EG 为腰的梯形，即 A1D 与 EG 相交．又 EG⊂α. 所以直线 A1D 与平面 α 相交．