江苏省如东高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考数学试题 含解析

江苏省如东高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考数学试题 含解析

江苏省如东高级中学2018-2019学年高二上学期数学第二次月考试卷 一、填空题 ‎1.命题“ ，sinx＜1”的否定是________命题．（填“真”或“假”） ‎ ‎2.已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是________． ‎ ‎3.一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为________． ‎ ‎4.若 是不等式 成立的充分不必要条件,则实数 的范围是________. ‎ ‎5.运行如图所示的伪代码，其结果为________． ‎ ‎6.已知双曲线 的离心率为 ，则C的渐近线方程为________． ‎ ‎7.为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是________． ‎ ‎8.已知正六棱锥P－ABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为________． ‎ ‎9.若椭圆 的离心率 ，则k的值为________. ‎ ‎10.已知 是直线， 是平面，给出下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 内不共线的三点到 的距离都相等，则 ；④若 ，且 ，则 ；⑤若 为异面直线， ，则 。则其中正确的命题是________．（把你认为正确的命题序号都填上） ‎ ‎11.抛物线 上的点 到焦点的距离为5，则 的值为 ________． ‎ ‎12.如图,用一边长为 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢，将体积为 的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为________． ‎ ‎13.在棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点， 是棱 上的动点，若点 为线段 上的动点，则 的最小值为________． ‎ ‎14.设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，其焦距为 ，点 在椭圆的内部，点 是椭圆 上的动点，且 恒成立，则椭圆离心率的取值范围是________． ‎ 二、解答题 ‎15.设命题 :实数 满足 ，其中 ，命题 实数 满足 ． ‎ ‎（1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围； ‎ ‎（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． ‎ ‎16.如图，在直三棱柱 中， 分别为棱 的中点，且 ‎ ‎（1）求证：平面 平面 ； ‎ ‎（2）求证： ∥平面 . ‎ ‎17.已知菱形 的边长为2， ， 四边形 是矩形，且 平面 ， ． ‎ ‎ ‎ ‎（1）求证： 平面 ； ‎ ‎（2）设 中点为 ，求证 平面 ． ‎ ‎18.椭圆 与直线 交于 、 两点，且 ，其中 为坐标原点. ‎ ‎（1）求 的值； ‎ ‎（2）若椭圆的离心率 满足 ，求椭圆长轴的取值范围. ‎ ‎19.某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，AB=4，O为AB的中点，椭圆的焦点P在对称轴OD上，M、N在椭圆上，MN平行AB交OD与G ， 且G在P的右侧，△MNP为灯光区，用于美化环境. ‎ ‎（1）若学校的另一条道路EF满足OE=3，tan∠OEF=2，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于 ，求半椭圆形的小湖的最大面积：(椭圆 ( )的面积为 ) ‎ ‎（2）若椭圆的离心率为 ，要求灯光区的周长不小于 ，求PG的取值范围. ‎ ‎20.已知椭圆C： ，圆Q（x﹣2）2+（y﹣ ）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0， ）到椭圆C的右焦点的距离为  ． ‎ ‎  ‎ ‎（1）求椭圆C的方程； ‎ ‎（2）过点P作互相垂直的两条直线l1.l2 ， 且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围． ‎ 答案解析部分 一、填空题 ‎ ‎1.【答案】假 ‎ ‎【考点】全称命题 ‎ ‎【解析】【解答】解：命题“ ，sinx＜1”是真命题， 故它的否定是假命题， 故答案为：假． 【分析】根据命题和命题的否定的真假关系结合三角函数判断即可．‎ ‎2.【答案】 ‎ ‎【考点】极差、方差与标准差 ‎ ‎【解析】【解答】平均值为 ，所以方差为 . 【分析】求出平均数，结合方差的计算公式，即可得到该组数据的方差.‎ ‎3.【答案】 700 ‎ ‎【考点】频率分布直方图 ‎ ‎【解析】【解答】 内的频率为 ，故人数为 人. 【分析】根据频率分布直方图求出相应的频率，即可得到人数.‎ ‎4.【答案】 ‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 ‎ ‎【解析】【解答】不等式可转化为 ，解得 ，由于 是 的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到 . 【分析】通过解不等式，结合充分必要条件，得到集合间的关系，即可求出实数m的取值范围.‎ ‎5.【答案】 ‎ ‎【考点】伪代码 ‎ ‎【解析】【解答】伪代码用于计算 .故结果为 . 【分析】根据未打码语句，依次计算，即可得到相应的结果.‎ ‎6.【答案】 ‎ ‎【考点】双曲线的简单性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：因为双曲线C： 的离心率为 ， ‎ 所以 ，‎ 则C的渐近线方程为 ‎ ‎ 【分析】根据双曲线的离心率确定a，b和c的关系，即可求出双曲线的渐近线方程.‎ ‎7.【答案】 7500 ‎ ‎【考点】分层抽样方法 ‎ ‎【解析】【解答】设总人数为 ，则分层抽取比例为 ，而大一，大二共抽取300人，且大一，大二的总人数为 ，所以 得 【分析】设出总人数，根据分层抽取比例，即可确定该校学生总人数.‎ ‎8.【答案】 12 ‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 ‎ ‎【解析】【解答】由己知正六棱锥的高为 ，底面面积为 ，所以 . 【分析】根据正六棱锥的几何特征，求出底面积和高，即可得到几何体的体积.‎ ‎9.【答案】 0或 ‎ ‎【考点】椭圆的简单性质 ‎ ‎【解析】【解答】由题意得： ，即 或 ， 【分析】根据椭圆的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出k的值.‎ ‎10.【答案】 ②⑤ ‎ ‎【考点】平面与平面之间的位置关系 ‎ ‎【解析】【解答】对于①，由于 可能相交，故①错误.对于②，由于垂直于同一条直线的两个平面平行，故②正确. ③如下图所示， 三个点不共线，它们到 的距离都相等，当时两个平面相交，故③错误.对于④，由于 两条直线不一定相交，所以无法判断两个平面平行，故④错误.对于⑤命题等价于平面内两条相交直线和另一个平面平行，可以推出面面平行，故⑤正确.综上所述，正确的是②⑤. ‎ ‎ 【分析】根据空间平面与平面的位置关系，逐一判断即可.‎ ‎11.【答案】 ‎ ‎【考点】抛物线的定义 ‎ ‎【解析】【解答】根据抛物线的定义可知 ，故 ，所以抛物线方程为 ，当 时， . 【分析】根据抛物线的定义，求出p，得到抛物线的方程，代入即可求出m的值.‎ ‎12.【答案】 ‎ ‎【考点】简单组合体的结构特征 ‎ ‎【解析】【解答】根据球的体积公式，有 .题目所给图中，虚线的小正方形的边长为 ，其一半为 ，四个等腰直角三角形斜边上的高为 .画出截面图形如下图所示，其中 ，故 .所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为 . ‎ ‎ 【分析】根据球的体积求出半径，作出截面图形，结合平面图形的特点，即可求出鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离.‎ ‎13.【答案】 ‎ ‎【考点】棱柱的结构特征 ‎ ‎【解析】【解答】作出 关于直线 的对称点 ，过 作 的垂线，交 于 ，交 与 ，过 作 ，交 于 ，连接 .画出图像如下图所示， ‎ 由于 ，故 为最短的距离.在三角形 中，设 ，则 ，而 ，故 ，所以 ，所以 .‎ ‎ 【分析】根据几何体的结构特征，结合余弦的二倍角公式和同角三角函数的平方关系，即可求出相应的最小值.‎ ‎14.【答案】 ‎ ‎【考点】椭圆的定义 ‎ ‎【解析】【解答】解： ‎ ‎∵点Q（c， ）在椭圆的内部，∴ ，⇒2b2＞a2⇒a2＞2c2 ． ‎ ‎|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|‎ 又因为﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|= ，‎ 要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+ ＜5×2c,‎ ‎ ， ，则椭圆离心率的取值范围是 ．‎ 故答案为： ‎ ‎ 【分析】根据点在椭圆内部，确定a和b的大小关系，结合椭圆的定义，即可求出离心率的取值范围。‎ 二、解答题 ‎ ‎15.【答案】 （1）解：当 时，由 ，得 ． ‎ 由 ，得 ，所以 ． ‎ 由p∧q为真，即p ， q均为真命题，‎ 因此 的取值范围是 ‎ ‎ （2）解：若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件， ‎ 由题意可得 ， , ‎ 所以 ，因此 且 ，解得 ．‎ ‎【考点】复合命题的真假 ‎ ‎【解析】【分析】（1）将a=1代入，通过解不等式确定命题p和q，结合 为真，则p和q均为真命题，即可求出实数x的取值范围； （2）结合充分必要性，解不等式组，即可得到实数a的取值范围.‎ ‎16.【答案】 （1）证明：因为 为棱 的中点，且 ， ‎ 所以 ，‎ 因为 是直三棱柱，‎ 所以 ，‎ 因为 ，‎ 所以 ， ‎ 又因为 ，且 ，‎ 所以 ，‎ 因为 ，‎ 所以平面 ‎ ‎ （2）证明：取 的中点 ，连接 和 ， ‎ 因为 为棱 的中点，‎ 所以 ，且 ，‎ 因为 是棱柱，‎ 所以 ，‎ 因为 为棱 的中点，‎ 所以 ，且 ， ‎ 所以 ，且 ，‎ 所以 是平行四边形， ‎ 所以 ，‎ 又因为 ，‎ 所以 ‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，证明线面垂直，即可得到面面垂直； （2）根据线面平行的判定定理，证明平面内一条直线与平面外一条直线平行，即可得到线面平行.‎ ‎17.【答案】（1）证明： 平面 //平面 //平面 （2）证明：因为 中点为 ，则由 ， ‎ ‎ ‎ 且计算可得： ， ‎ 又 ，所以， , ‎ 又 ，所以 平面 ‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据面面平行的判定定理，证明 平面 //平面 ADE，即可证明AG//平面 ； （2）根据线面垂直的判定定理，证明直线AG与平面CEF内两条相交直线垂直即可.‎ ‎18.【答案】 （1）解：设 ，由于 ，故 ，而 代入上式化简得 ①. ‎ ‎   ，‎ 由韦达定理得 ‎ 代入①化简得 .‎ ‎ （2）解： ‎ 由（1）知 ‎ ‎ .‎ ‎∴长轴 2a ∈ [ ].‎ ‎【考点】椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题 ‎ ‎【解析】【分析】（1）设   由OP⊥OQ 可得 结合 可得   ，将y=1-x代入椭圆方程即可得   再利用韦达定理得出  进而得出 的值。   （2））由 及 可求a得范围，进而得出椭圆长轴的取值范围。‎ ‎19.【答案】 （1）解：因为 ，所以直线 的斜率为 ， ‎ 所以 所在的直线方程为 。‎ 因为椭圆上任意一点到道路 的距离都小于 ，‎ 所以椭圆最大面积时与一条平行于 且距离为 的直线相切，‎ 设直线 ，‎ 由两条直线之间的距离为 ，所以 ，‎ 解得 或 （舍弃）‎ 设椭圆方程为 ，‎ 由于 得到 ‎ 因为直线与椭圆相切，所以 ，解得 ，‎ 所以椭圆方程为 ，‎ 所以椭圆分面积为 。‎ ‎ （2）解：设椭圆方程为 ， ‎ 因为椭圆的离心率为 ，所以 ，所以 。‎ 所以椭圆方程为 ‎ 设 ，则灯光区的周长 ‎ 由题意 ，‎ 所以 ，所以 ‎ ‎∴ ，‎ 所以 ，即 ，‎ 又因为 在 的右侧，所以 ，所以 ‎ 所以 的取值范围是 。‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据正切值求出直线的斜率，得到直线的方程，结合两平行线间的距离公式，解方程求出m的值，将直线方程与椭圆方程联立，结合直线与圆相切，判别式为0，得到a即可求出椭圆的方程，得到相应的面积； （2）根据椭圆方程，结合椭圆离心率，求出a，得到椭圆方程，表示相应的函数，采用换元法，求出t的范围，即可得到线段PG的取值范围.‎ ‎20.【答案】 （1）解：圆 ： 的圆心为 ， ‎ 代入椭圆方程可得 ，‎ 由点 到椭圆 的右焦点的距离为 ，即有 ，‎ 解得 ，即 ，‎ 解得 ， ，‎ 即有椭圆方程为 ．‎ ‎ （2）解：依题意知直线 斜率必存在，当斜率为0时，直线 ： ， ‎ 代入圆的方程可得 ，可得 的坐标为 ，又 ，‎ 可得 的面积为 ；‎ 当直线 斜率不为0时设直线 ： ，代入圆 的方程可得 ‎ ，‎ 可得中点 ，‎ ‎ ，‎ 此时直线 的方程为 ，代入椭圆方程，可得：‎ ‎ ，‎ 设 ， ，可得 ， ，‎ 则   ，‎ 可得 的面积为 ，‎ 设 （ ），可得 ，‎ 可得 ，且 ，‎ 综上可得，△ 的面积的取值范围是 ．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据圆的方程，得到圆心坐标，代入，解方程组即可得到椭圆的标准方程； （2）设出直线斜率，表示直线方程，代入圆的方程，得到M的坐标，表示三角形的面积，结合基本不等式，即可求出面积的取值范围.‎