数学文卷·2018届广东省实验中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学文卷·2018届广东省实验中学高二下学期期中考试（2017-04）

‎2016—2017学年高二下期中考试试题 数学（文史类）‎ ‎ 第一部分选择题（共60分）‎ 一、 本大题共12小题，每小题5分，满分60分．‎ ‎1.设集合，‎ 则用列举法可表示为( )‎ A．{-1,1} B．{(-1,1)} C．(-1,1),(1,1) D．{(-1,1),(1,1)} ‎ ‎2. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为（ ）‎ ‎ A． B． C． -3 D．3 ‎ ‎3．的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎4. 下列说法中，正确命题的个数是(　　)‎ ‎①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；‎ ‎②用R2来刻画回归的效果，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好；‎ ‎③比较两模型拟合效果，可比较残差平方和大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好.‎ ‎④相关系数r的值越小，线性相关关系越弱 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎5． 已知函数，则函数的最大值为（ ）‎ ‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎6． 已知，则的值为（ ）‎ ‎ A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．‎ ‎7．如图2所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形 ‎，且主视图投影面与 平面PAD平行，则下列选项中可能是四棱锥P—ABCD的主视图的是（ ） ‎ A B C D A B C D ‎8．如图，在△ABC中，D在AC上，AB⊥BD，BC=3，BD=5，sin∠ABC=，‎ 则CD的长为（　　）‎ A． B． 4 C． 2 D． 5‎ ‎9．右边所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成， ‎ 箭头将告诉你下一步到哪一个框图．阅读该流程图解决如下问题：‎ 若，则输出的数是（ ）‎ A. a B. b C. c D. a或c ‎ ‎10．数列的前99项之和是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2，点M，N分别是AB，BC的中点，在△ABC ‎ （包括边界）内任取一点P．则使>0的概率为( )． ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．设函数=,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得 ‎ ‎ 0，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A.[-，1） B. [-，） C. [，） D. [，1）‎ 第二部分非选择题（90分）‎ 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）高.考.资.源.网 ‎13．某工厂经过技术改造后,生产某种产品的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)有如下几组样本数据,‎ 据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得回归直线的 斜率为,那么这组数据的回归直线方程是 .‎ ‎14．复数满足. 设，则 .‎ ‎15．一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……‎ 若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么,则在打出的前120个圈中， ‎ ‎●圈的个数是 . ‎ ‎16．已知双曲线的离心率为，右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点O、A两点，若三角形AOF的面积为1，则a= .‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎　　等差数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求证：.‎ ‎18. 某旅行社为调查市民喜欢“自然景观” 景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：‎ 喜欢 不喜欢 合计 大于40岁 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ ‎20岁至40岁 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 合计 ‎30‎ ‎25‎ ‎55‎ ‎（1） 请用独立性检验的方法判断是否有99.5％的把握认为喜欢“自然景观” 景点与年龄有关？‎ ‎（2） 用分层抽样的方法从喜欢“自然景观” 景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁” 的市民和1位“20岁至40岁” 的市民的概率．‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎_‎ j ‎_‎ A ‎'‎ ‎_‎ G ‎_‎ A ‎_‎ C ‎_‎ F ‎_‎ D ‎_‎ E B B ‎19. （本题满分12分）‎ 边长为2的正的中线AF与中位线DE相交于G，‎ 已知是绕边DE旋转过程中的一个图形 ‎（其中：）.‎ ‎ （1）证明：恒有;‎ ‎ （2）求直线与垂直时三棱锥的体积 ‎ ‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．‎ ‎（1）求m的值与椭圆E的方程；‎ ‎（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数，‎ ‎（1）求函数f(x)的最大值.‎ ‎（2）若ａ＞０，求函数f(x)在区间［２ａ，４ａ］上的最小值．‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ 已知关于的不等式．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式有解，求实数的取值范围．‎ 高二下学期期中考试试题 数学（文史类）‎ ‎ 参考答案 一、 本大题共12小题，每小题5分，满分60分．‎ ‎1-12 DCBC CBDB BABD 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）高.考.资.源.网 ‎13． 14． 3 15． 14 16． 2‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17解：（Ⅰ）设数列的公差为，则由已知条件可得：，…2分 解得， 　…………4分 于是可求得.　………6分 ‎ （Ⅱ）因为， ………8分 故， ………10分 于是 . ‎ ‎……11分 又因为，所以. ………………………………12分 ‎18．解析：‎ ‎（1）假设喜欢“自然景观” 景点与年龄无关……1分 由公式 ， ……5分 所以可以认为有的把握认为喜欢“自然景观” 景点与年龄有关…6分 ‎（2）设恰有1名“大于40岁” 和1名“20岁至40岁” 之间的市民为事件A，设所抽样本中有个“大于40岁” 市民，则 ，得人…7分 所以样本中有4个“大于40岁” 的市民，2个“20岁至40岁” 的市民，分别记作，从中任选2人的基本事件有：‎ 共15个， ……9分 其中A事件的基本事件有共8个，…10分 所以，故恰有1名“大于40岁” 和1名“20岁至40岁” 之间的市民的概率为…12分 H O ‎_‎ j ‎_‎ A ‎'‎ ‎_‎ G ‎_‎ A ‎_‎ C ‎_‎ F ‎_‎ D ‎_‎ E B B ‎19解析:(1) 旋转过程中恒有DE⊥FG，DE⊥，………2分 ‎，………3分 ‎∴DE⊥平面，………4分 又，‎ ‎.………5分 ‎(2) ，由引AF的垂线,垂足为O 可得………6分 ‎，又, ，………8分 故，延长EO交AB于H， 则H为AD的中点，………9分 故O为正三角形ＡＤＥ的中心，‎ 可得三棱锥是棱长为１的正四面体………10分 计算得： ………11分 故三棱锥的体积为………12分 ‎20. 解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，得．∵m＜3，∴m＝1．…………1分 则圆C：． 设直线PF1的斜率为k，则PF1：，‎ 即．∵直线PF1与圆C相切，∴．…………3分 解得,当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．‎ 当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，…………5分 ‎∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．2a＝AF1＋AF2＝，，‎ a2＝18，b2＝2．椭圆E的方程为：． …………7分 ‎ ‎（Ⅱ）方法一：，设Q（x，y），，…………8分 ‎．…………9分 ‎∵，即，‎ 而，∴－18≤6xy≤18． …………11分 则的取值范围是[0，36]． ‎ 的取值范围是[－6，6]．∴的取值范围是[－12，0]．……12分 ‎ 方法二：，设Q（x，y），，‎ ‎．∵，故可设（）‎ ‎==‎ ‎，‎ ‎∴的取值范围是[－12，0]‎ 方法三：几何法…………‎ ‎21. 解析：（1）∵， -----1分 当时，，f(x)在区间 单调递增；‎ 当时， ，f(x)在区间 单调递减；-----3分 故∴当时，.-----4分 ‎(2)①当即0<时，由（1）可知此时函数f(x)在区间单调递增；函数f(x)在区间［２ａ，４ａ］上的最小值为f(2a) -----6分 ‎②当即时，由（1）可知此时函数f(x)在区间单调递减；函数f(x)在区间［２ａ，４ａ］上的最小值为f(4a) -----8分 ‎③即时，由（1）可知此时函数f(x)在区间单调递增；在区间单调递减，函数f(x)在区间［２ａ，４ａ］上的最小值为----10分 ‎，-----11分 时，，此时函数f(x)在区间［２ａ，４ａ］上的最小值为f(2a)---12分 时，此时函数f(x)在区间［２ａ，４ａ］上的最小值为f(4a) -----13分 综上可知：时函数f(x)在区间［２ａ，４ａ］上的最小值为f(4a)=.‎ 时函数f(x)在区间［２ａ，４ａ］上的最小值为f(2a)=. -----14分 ‎22. 解析: （Ⅰ）由题意可得：，‎ 当时，，即； ……………………2分 ‎ ‎ 当时，，即即；……………………3分 当时，，即 ……………………4分 ‎ 该不等式解集为. …………5分 ‎ ‎（Ⅱ）令，有题意可知： ……………………7分 ‎ 又 ，……………………9分 ‎. ……………………10分