成都市高三二轮复习文科数学-客观题的解题方法总结

成都市高三二轮复习文科数学-客观题的解题方法总结

第 8 页 共 8 页 成都市高三二轮复习文科数学-客观题的解题方法总结 方法思路概述 高考选择题、填空题绝大部分属于低中档题目，一般按由易到难的顺序排列，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力.‎ ‎(1)解题策略：选择题、填空题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解题的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直接，另外对选择题可以先排除后求解.‎ ‎(2)常用方法：选择题、填空题属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题快解.主要分直接法和间接法两大类.具体的方法有：直接法，特例法，图解法，构造法，估算法，对选择题还有排除法(筛选法)等.‎ 解法分类指导 技法一　直接法 方法诠释 直接法是从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则或公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确结论的做题方法 适用范围 对于计算型试题，多通过计算求结果 ‎[例1]　(1)(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)‎ A.　　　　　　B. C. D. ‎(2)(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.‎ ‎[解析]　(1)由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos2α.‎ 又∵ α∈，∴ 2sin α＝cos α，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝.∴ sin α＝.故选B.‎ ‎(2)∵ {an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，∴ 公差d＝＝＝2，‎ 首项a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，∴ S10＝‎10a1＋d＝100. [答案]　(1)B　(2)100‎ 直接法的使用技巧 直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化，从而得到结果，这是快速准确求解客观题的关键.　　　　 ‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(2019·唐山市摸底考试)设z＝，则|z|＝(　　)‎ A.　　　　　　　　 B.2‎ 第 8 页 共 8 页 C. D.1‎ 解析：选D　法一：∵z＝＝＝＝＋i，∴|z|＝ ＝1，故选D.‎ 法二：|z|＝＝＝＝＝1，故选D.‎ ‎2.(2019·武汉部分学校调研)已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，若tb－a与a垂直，则实数t＝________.‎ 解析：由已知可得a·b＝1××＝1.因为tb－a与a垂直，所以(tb－a)·a＝0，得ta·b－a2＝0，即t－2＝0，故t＝2.答案：2‎ 技法二　排除法(针对选择题)‎ 方法诠释 排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论 适用范围 这种方法适用于直接法解决问题很困难或者计算较繁杂的情况 ‎[例2]　(1)(2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则(　　)‎ A.ln(a－b)＞0 B‎.‎‎3a＜3b C.a3－b3＞0 D.|a|＞|b|‎ ‎(2)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)‎ ‎[解析]　(1)法一：不妨设a＝－1，b＝－2，则a＞b，可验证A、B、D错误，只有C正确.‎ 法二：由a＞b，得a－b＞0.但a－b＞1不一定成立，则ln(a－b)＞0不一定成立，故A不一定成立.‎ 因为y＝3x在R上是增函数，当a＞b时，‎3a＞3b，故B不成立.‎ 因为当a＝3，b＝－6时，a＞b，但|a|＜|b|，所以D不一定成立.故选C.‎ ‎(2)∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A.‎ 第 8 页 共 8 页 当x＝π时，f(π)＝＞0，排除B、C. 故选D.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)D 排除法的使用技巧 排除法适用于不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定，再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直接得到正确的选项.　　　　 ‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(2019·郑州市第一次质量预测)已知集合M＝{x|－3≤x＜4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则(　　)‎ A.M∪N＝R B.M∪N＝{x|－3≤x＜4}‎ C.M∩N＝{x|－2≤x≤4} D.M∩N＝{x|－2≤x＜4}‎ 解析：选D　法一：由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，所以N＝{x|－2≤x≤4}，则M∪N＝{x|－3≤x≤4}，M∩N＝{x|－2≤x＜4}，故选D.‎ 法二：当x＝4时，x∉M，x∈N，所以x∈M∪N，x∉M∩N，排除B、C；当x＝5时，x∉M，x∉N，x∉M∪N，排除A，故选D.‎ ‎2.(2019·兰州市诊断考试)已知函数f(x)＝x2＋ln(|x|＋1)，若对于x∈[1，2]，f(ax2)＜f(3)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.－＜a＜ B.－3＜a＜‎3 ‎‎ C.a＜ D.a＜3‎ 解析：选A　法一：易知f(x)＝x2＋ln(|x|＋1)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，故原问题等价于|ax2|＜3对x∈[1，2]恒成立，即|a|＜对x∈[1，2]恒成立，所以|a|＜，解得－＜a＜，故选A.‎ 法二：易知f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，若a＝1时，f(x2)＜f(3)不恒成立，排除B、D.若a＝－1时，f(－x2)＝f(x2)＜f(3)不恒成立，排除C，故选A.‎ 技法三　特例法 方法诠释 从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等 适用范围 适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题 ‎[例3]　已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令＝a，＝b，若过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且＝ma，＝nb，则＋＝(　　)‎ A.3 B.4‎ 第 8 页 共 8 页 C.5 D. ‎[解析]　由于题中直线PQ的条件是过点E，所以该直线是一条“动”直线，所以最后的结果必然是一个定值.故可利用特殊直线确定所求值.‎ 法一：如图1，PQ∥BC，则＝，＝，此时m＝n＝，故＋＝3，故选A.‎ 法二：如图2，取直线BE作为直线PQ，此时＝，＝，故m＝1，n＝，所以＋＝3.‎ ‎[答案]　A 特例法的使用技巧 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：‎ 第一，取特值尽可能简单，有利于计算和推理；‎ 第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.　　　　 ‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.计算＝(　　)‎ A.－2 B‎.2 C.－1 D.1‎ 解析：选D　取α＝，则原式＝＝＝1.‎ ‎2.如图所示，在▱ABCD中，AP⊥BD，垂足为点P，且AP＝3，则·＝________.‎ 解析：把▱ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC＝6，则·＝18.‎ 第 8 页 共 8 页 答案：18‎ ‎3.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是________.‎ 解析：取特殊数列an＝n满足题意.所以＝. 答案： 技法四　图解法(数形结合法)‎ 方法诠释 对于一些含有几何背景的题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等 适用范围 图解法是研究求解问题中含有几何意义命题的主要方法，解题时既要考虑图形的直观，还要考虑数的运算 ‎[例4]　(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2019·天津高考)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(　　)‎ A. B. C.∪{1} D.∪{1}‎ ‎[解析]　(1)法一：由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2.∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝＝＝.‎ ‎∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为.故选B.‎ 法二：如图，设＝a，＝b，则＝a－b，∴B＝，‎ ‎||＝2||，∴∠AOB＝，即〈a，b〉＝.‎ ‎(2)由题意画出f(x)的图象，如图所示，当直线y＝－x＋a与曲线y＝(x＞1)相切，方程＝－x＋a有一个解，x2－4ax＋4＝0，Δ＝(－‎4a)2－4×4＝0，得a＝1，此时f(x)＝－x＋a有两个解.当直线y＝－x＋a经过点(1，2)时，即2＝－×1＋a，所以a＝，当直线y＝－x＋a经过点(1，1)时，1＝－×1＋a，得a＝，从图象可以看出当a∈时，函数f(x)＝的图象与直线y＝－x＋a有两个交点，即方程f(x)＝－ 第 8 页 共 8 页 x＋a有两个互异的实数解.故选D.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)D 图解法实质上就是数形结合的思想方法，在解决题中的应用时，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.　　　　 ‎ ‎ [跟踪训练]‎ ‎1.(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为(　　)‎ A.x＋2y－8＝0 B.x－2y－8＝0‎ C.2x＋y－16＝0 D.2x－y－16＝0‎ 解析：选A　如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝2x，所以直线AB的斜率为－，因为A(8，0)，所以直线AB的方程为y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.‎ ‎2.不等式·sin x＜0，x∈[－π，2π]的解集为________.‎ 解析：在同一坐标系中分别作出y＝|x|－与y＝sin x的图象：‎ 根据图象可得不等式的解集为∪∪(π，2π). 答案：∪∪(π，2π)‎ 技法五　构造法 方法诠释 构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法 适用范围 适用于求解问题中常规方法不能解决的问题 ‎[例5]　(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(2，＋∞)　　　　　 B.[2，＋∞)‎ C. D. 第 8 页 共 8 页 ‎(2)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________.‎ ‎[解析]　(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，∴实数a的取值范围是.‎ ‎(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝＝2R，所以R＝，故球O的体积V＝＝π.‎ ‎[答案]　(1)D　(2)π 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.(2)题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.　　　　 ‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)，则a10＝(　　)‎ A.128 B.256‎ C.512 D.1 024‎ 解析：选B　因为Sn＋1＝2Sn－1，所以Sn＋1－1＝2(Sn－1)，所以{Sn－1}是等比数列，且公比为2，又S1－1＝a1－1＝1，所以Sn－1＝2n－1，所以Sn＝2n－1＋1，所以a10＝S10－S9＝29－28＝256.故选B.‎ ‎2.已知f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)＞xf′(x)恒成立，则不等式x‎2f－f(x)＞0的解集为________.‎ 解析：设g(x)＝，则g′(x)＝，‎ 又因为f(x)＞xf′(x)，所以g′(x)＝＜0在(0，＋∞)上恒成立，‎ 所以函数g(x)＝为(0，＋∞)上的减函数，又因为x‎2f－f(x)＞0⇔＞⇔g＞g(x)，‎ 则有＜x，且x＞0解得x＞1.答案：(1，＋∞)‎ 技法六　估算法 方法诠释 由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程.因此，有些题目，‎ 第 8 页 共 8 页 不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量 适用范围 难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题，常用估值法确定选项 ‎[例6]　(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是.著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为‎105 cm，头顶至脖子下端的长度为‎26 cm，则其身高可能是(　　)‎ A‎.‎‎165 cm B‎.175 cm C‎.185 cm D‎.190 cm ‎[解析]　不妨设此人咽喉至肚脐的长度为x cm，则≈0.618，得x≈42，故某人身高大约为26＋42＋105＝173(cm)，考虑误差，结合选项，可知选B. [答案]　B 估算法的应用技巧 估算法就是不需要计算出准确数值，可根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行估算出大致取值范围从而解决相应问题的方法.当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，常采用估算法.　　　　 ‎ ‎[跟踪训练]‎ 已知sin θ＝，cos θ＝，则tan＝　(　　)‎ A. B. C.－ D.5‎ 解析：选D　由于受条件sin2θ＋cos2θ＝1的制约，m为一确定的值，进而推知tan也为一确定的值，又＜θ＜π，所以＜＜，故tan＞1.‎