成都市高三二轮复习文科数学（十九） 基本初等函数、函数与方程

成都市高三二轮复习文科数学（十九） 基本初等函数、函数与方程

第 13 页 共 13 页 成都市高三二轮复习文科数学（十九） 基本初等函数、函数与方程 ‎[全国卷3年考情分析]‎ 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2019‎ 指数式与对数式的大小比较·T3‎ 函数的零点与三角恒等变换·T5‎ ‎2018‎ 由对数值求参数问题·T13‎ 对数函数图象对称问题·T7‎ ‎2017‎ 对数函数的单调性与对称性·T9‎ ‎(1)基本初等函数作为高考的命题热点，多考查指数式与对数式的运算，利用函数的性质比较大小，一般出现在第7～11题的位置，有时难度较大.‎ ‎(2)函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起重视.‎ 基本初等函数的图象与性质 ‎[例1]　(1)若当x∈R时，函数f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)满足f(x)≤1，则函数y＝loga(x＋1)的图象大致为 ‎(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)是单调递减函数，则f(log25)，f，f(log53)的大小关系是(　　)‎ A.flog35>1>log53>0.又因为f(x)在[0，＋∞)上为单调递减函数，‎ 所以f(log53)>f(log35)>f(log25)，即f(log53)>f>f(log25).‎ ‎[答案]　(1)C　(2)D ‎[解题方略]　基本初等函数的图象与性质的应用技巧 ‎(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a的值不确定，注意a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当00和α<0两种情况的不同.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)‎ 解析：选B　∵y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称.因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.‎ ‎2.(2019·天津高考)已知a＝log27，b＝log38，c＝‎0.30.2‎，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A.clog24＝2，b＝log381，c＝‎0.30.2‎<0.30＝1，∴ c0，且a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则loga＋loga＝(　　)‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ ‎6.若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　)‎ A.f(x)＝ex＋1 B.f(x)＝ex－1‎ C.f(x)＝e－x＋1 D.f(x)＝e－x－1‎ ‎7.某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q(x)(台)进行统计，得数据如下：‎ x(月份)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ Q(x)(台)‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ 根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数是(　　)‎ A.Q(x)＝ax＋b(a≠0) B.Q(x)＝a|x－4|＋b(a≠0)‎ C.Q(x)＝a(x－3)2＋b(a≠0) D.Q(x)＝a·bx(a≠0，b>0且b≠1)‎ ‎8.已知函数f(x)＝lg是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为(　　)‎ A.(－∞，＋∞)上的减函数 B.(－∞，＋∞)上的增函数 C.(－1，1)上的减函数 D.(－1，1)上的增函数 ‎9.设函数f(x)＝ax－k－1(a>0，且a≠1)过定点(2，0)，且f(x)在定义域R上是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　)‎ ‎10.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a 第 13 页 共 13 页 的取值范围是(　　)‎ A.[－1，0) B.[0，＋∞)‎ C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)‎ ‎11.(2019·贵阳市第一学期监测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若a＝f，b＝f(log24.1)，c＝f(20.5)，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜a＜b D.c＜b＜a ‎12.(2019·福州市质量检测)已知函数f(x)＝当x∈[m，m＋1]时，不等式f(‎2m－x)＜f(x＋m)恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，－4) B.(－∞，－2)‎ C.(－2，2) D.(－∞，0)‎ 二、填空题 ‎13.(2019·广州市综合检测(一))已知函数f(x)＝x3＋alog3x，若f(2)＝6，则f＝________.‎ ‎14.(2019·河北模拟调研改编)已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a＞0，且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，则实数a＝________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________.‎ ‎15.已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元.‎ ‎16.已知函数f(x)＝在区间[－1，m]上的最大值是2，则m的取值范围是________.‎ B组——“5＋‎3”‎提速练 ‎1.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的零点个数为(　　)‎ A.2　　　　　　　　　 B.3‎ C.4 D.5‎ ‎2.已知函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，且a≠1)，当x∈时，恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间是(　　)‎ 第 13 页 共 13 页 A. B.(0，＋∞)‎ C. D. ‎3.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上(P，B点除外)的一个动点，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得截面面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f(x)的大致图象是(　　)‎ ‎4.(2019·河北省九校第二次联考)若函数f(x)＝kx－|x－e－x|有两个正实数零点，则k的取值范围是(　　)‎ A.(0，＋∞) B. C.(0，1) D.(0，e)‎ ‎5.已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是(　　)‎ A.(1，2 019) B.(1，2 020)‎ C.[2，2 020] D.(2，2 020)‎ ‎6.已知在(0，＋∞)上函数f(x)＝则不等式log2x－[log(4x)－1]·f(log3x＋1)≤5的解集为________.‎ ‎7.某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长.记2016年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f(x)‎ ‎4.00‎ ‎5.61‎ ‎7.00‎ ‎8.87‎ 若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b，②f(x)＝2x＋a，③f(x)＝logx＋a.则你认为最适合的函数模型的序号为________.‎ ‎8.(2019·吉林长春四校5月联考)已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x.若存在x∈[－1，1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的最大值为________.‎ 第 13 页 共 13 页 ‎1解析：选D　设f(x)＝xa，则‎2a＝，所以a＝－2，所以f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0).故选D.‎ ‎2解析：选B　由对数函数的单调性可得a＝log20.220＝1，01时，函数y＝在[0，1]上单调递减，∴＝1且＝0，解得a＝2；当00，则－1－1时，有2个交点，符合题意.综上，a的取值范围为[－1，＋∞).故选C.‎ ‎11解析：选D　由题意，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，所以f＝f(－log25)＝f(log25)，因为log25＞log24.1＞2＞20.5＞0，所以f(log25)＞f(log24.1)＞f(20.5)，即c＜b＜a，故选D.‎ ‎12解析：选B　易知函数f(x)＝在x∈R上单调递减，‎ 又f(‎2m－x)＜f(x＋m)在x∈[m，m＋1]上恒成立，‎ 所以‎2m－x＞x＋m，即2x＜m在x∈[m，m＋1]上恒成立，所以2(m＋1)＜m，解得m＜－2，故选B.‎ ‎13解析：由f(2)＝8＋alog32＝6，解得a＝－，所以f＝＋alog3＝－alog32＝＋×log32＝.答案： ‎14解析：函数f(x)＝loga(－x＋1)(a＞0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].当a＞1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2，0]上单调递减，∴无解；当0＜a＜1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2，0]上单调递增，∴解得a＝.∵g(x)＝－3的图象不经过第一象限，∴g(0)＝－3≤0，解得m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞).答案：　[－1，＋∞)‎ ‎15解析：设利润为y元，租金定为3 000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元.则y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2 900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50＝204 800，当且仅当58＋x＝70－x，即x 第 13 页 共 13 页 ‎＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润.答案：3 300‎ ‎16解析：f(x)＝作出函数的图象，如图所示，因为函数f(x)在[－1，m]上的最大值为2，又f(－1)＝f(4)＝2，所以－10，所以00得x>0或x<－.又2x2＋x＝2－，由复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调递增区间为.‎ ‎3解析：选D　法一：如图，过点M作MT∥PA交AB于点T，过点M 作MN∥BC交PC于点N，过点N作NS∥PD交CD于点S，连接TS，则平面MTSN∥平面PAD，所以y＝S四边形MTSN.由PA⊥平面ABCD，可得MT⊥平面ABCD，所以平面α与平面PAD之间的距离x＝AT，且四边形MTSN为直角梯形.由MT∥PA，MN∥BC，得＝，＝，所以MT＝×4＝2(2－x)，MN＝×2＝x，所以y＝S四边形MTSN＝·(MN＋ST)＝(2－x)(x＋2)＝4－x2(0＜x＜2).故选D.‎ 法二：设M，N，S，T分别为棱PB，PC，CD，AB的中点，连接MN，NS，ST，MT，则易知四边形MTSN为直角梯形.易证CD⊥平面PAD，平面MTSN∥平面PAD，所以此时x＝1，y＝(MN＋ST)×MT＝×(1＋2)×2＝3，即函数y＝f(x)的图象过点(1，3)，排除A、C；又当x→0时，y→S△PAD＝×2×4＝4，所以排除B.故选D.‎ ‎4解析：选C　令f(x)＝kx－|x－e－x|＝0，得kx＝|x－e－x|，当x＞0时，k＝＝，令g 第 13 页 共 13 页 ‎(x)＝1－，x＞0，则g′(x)＝＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g＝1－＜0，g(1)＝1－＞0，所以在上存在一个a，使得g(a)＝0，所以y＝|g(x)|的图象如图所示.由题意知，直线y＝k与y＝|g(x)|的图象有两个交点，所以0＜k＜1，故选C.‎ ‎5解析：选D　法一：由于函数y＝sin πx的周期为2，0≤x≤1，故它的图象关于直线x＝对称.不妨设0＜a＜b＜c，则a＋b＝1，c＞1，故有a＋b＋c＞2，再由正弦函数的定义域和值域可得f(a)＝f(b)＝f(c)∈[0，1]，故有0≤log2 ‎019c＜1，解得c＜2 019.综上可得，2＜a＋b＋c＜2 020，故选D.‎ 法二：作出函数f(x)的图象与直线y＝m，如图所示，不妨设a＜b＜c，当0≤x≤1时，函数f(x)的图象与直线y＝m的交点分别为A，B，由正弦曲线的对称性，可得A(a，m)与B(b，m)关于直线x＝对称，因此a＋b＝1，当直线y＝m＝1时，由log2 019x＝1，解得x＝2 019.若满足f(a)＝f(b)＝f(c)，且a，b，c互不相等，由a＜b＜c可得1＜c＜2 019，因此可得2＜a＋b＋c＜2 020，即a＋b＋c∈(2，2 020).故选D.‎ ‎6解析：原不等式等价于或 解得1≤x≤4或＜x＜1，所以原不等式的解集为.答案： ‎7解析：若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)＝logx＋a，则f(x)是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)＝ax＋b，由已知得解得所以f(x)＝x＋，x∈N，所以最适合的函数模型的序号为①.答案：①‎ ‎ 8解析：因为g(x)－h(x)＝2x，①所以g(－x)－h(－x)＝2－x.‎ 又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，所以g(x)＋h(x)＝2－x，②‎ 联立①②，得g(x)＝，h(x)＝.由m·g(x)＋h(x)≤0，得m≤＝＝1－.‎ 因为y＝1－为增函数，所以当x∈[－1，1]时，＝1－＝，所以m≤，即实数m的最大值为.答案：