2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：2-5　对数与对数函数（讲解部分）

2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：2-5　对数与对数函数（讲解部分）

考点一    对数的概念及运算 考点清单 考向基础 1.对数的概念 一般地,如果 a x = N ( a >0且 a ≠ 1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x =log a N , 其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算法则 性质 log a 1=0;log a a =1;( a >0且 a ≠ 1)   = N ( a >0且 a ≠ 1, N >0);log a a N = N ( a >0且 a ≠ 1) 换底 公式 log a N =   (其中 a >0且 a ≠ 1, N >0, c >0且 c ≠ 1) lo   b m =   log a b ( m , n ∈R, n ≠ 0) 运算 法则 条件 a >0且 a ≠ 1, M >0, N >0 结论 log a ( MN )= log a M +log a N ; log a   = log a M -log a N ; log a M n = n log a M ( n ∈R) 2.对数的性质、换底公式与运算法则 【温馨提示】 应用换底公式时,一般选用e或10作为底数. 考向突破 考向    对数式的运算 例     (2019广东肇庆三模,9)设 a =   +   +   +   , y =| x - a |, x ∈N,当 y 取最小值时, x 的值为   (　　) A.2　　　　    B.3　　　　    C.4　　　　    D.5 解析      a =   +   +   +   =log π 2+log π 3+log π 4+log π 5=log π 120∈(4, 5),(5-log π 120)-(log π 120-4)=9-2log π 120=log π   >0,故当 y 取最小值时, x 的值 为4.故选C. 答案     C 考点二    对数函数的图象与性质 考向基础 　　1.对数函数的图象与性质 a >1 0< a <1 图象     性质 定义域:(0,+ ∞ ) 值域:R 过点(1,0),即 x =1时, y =0 当 x >1时, y >0;当0< x <1时, y <0 当 x >1时, y <0;当0< x <1时, y >0 在(0,+ ∞ )上是增函数 在(0,+ ∞ )上是减函数 2.反函数 指数函数 y = a x ( a >0,且 a ≠ 1)与对数函数 y =log a x ( a >0,且 a ≠ 1)互为反函数,它 们的图象关于直线 y = x 对称.其图象关系如图所示.   考向突破 考向一    对数式的大小比较 例1     (2019广东韶关4月模拟,8)下列三个数: a =ln   , b =-log 3   , c =   ,大小 顺序正确的是   (　　) A. c > a > b 　　　　    B. c > b > a 　　　　     C. b > a > c 　　　　    D. a > b > c 解析 　因为 b =-log 3   =log 3   , 且ln   b > a ,又因为 c =   >0,所以 c > b > a .故选B. 答案     B 考向二    对数函数的图象与性质及其应用 例2     (2018河南商丘二模,8)已知 a >0且 a ≠ 1,函数 f ( x )=log a ( x +   )在区间 (- ∞ ,+ ∞ )上既是奇函数又是增函数,则函数 g ( x )=log a || x |- b |的图象是   (    　)     解析 　∵函数 f ( x )=log a ( x +   )在区间(- ∞ ,+ ∞ )上是奇函数,∴ f (0)=0,∴ b =1,又函数 f ( x )=log a ( x +   )在区间(- ∞ ,+ ∞ )上是增函数,所以 a >1,所以 g ( x )=log a || x |-1|的定义域为{ x | x ≠ ± 1},且在(1,+ ∞ )上递增,在(0,1)上递减,故选 A. 答案     A 方法1      比较对数值大小的方法   方法技巧 解析      a =lo   6=-1-log 2 3=-1-   , b =lo   12=-1-log 4 3=-1-   , c =lo   15=-1 -log 5 3=-1-   .∵0   >   ,∴ a < b < c .故选 A. 例1     (2019安徽江南十校二模,10)设 a =lo   6, b =lo   12, c =lo   15,则   (    　) A. a < b < c 　　　　    B. c < b < a 　　　　    C. b < a < c 　　　　    D. c < a < b 答案     A 方法2      对数型复合函数的单调性问题 解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键:一是看底数是否大于1,当 底数未明确给出时,则应对底数 a 是否大于1进行讨论;二是运用复合法来判 断其单调性,但应注意中间变量的取值范围;三要注意其定义域(这是一个 隐含条件),也就是要坚持“定义域优先”的原则. 解题导引   例2　 已知 a >0,且 a ≠ 1,函数 f ( x )=log a | ax 2 - x |在[3,4)上是增函数,则 a 的取值范 围是   (　　) A.   ≤ a ≤   或 a >1　　　　    B. a >1 C.   ≤ a <   　　　　    D.   ≤ a ≤   或 a >1 解析 　令 y = g ( x )=| ax 2 - x |,由题意知 g ( x ) ≠ 0,作出其图象如下: 函数 f ( x )=log a | ax 2 - x |在[3,4)上是增函数, 若 a >1,则 y =log a x 在(0,+ ∞ )上单调递增,0<   <1,由 g ( x )的图象可知 g ( x )在[3,4) 上递增,故 f ( x )=log a | ax 2 - x |在[3,4)上单调递增,故 a >1时成立;若0< a <1,则   解得   ≤ a ≤   .综上可知, a 的取值范围是   ≤ a ≤   或 a >1. 答案     A