数学（理）卷·2018届内蒙古集宁一中高三上学期第三次月考（2017

数学（理）卷·2018届内蒙古集宁一中高三上学期第三次月考（2017

集宁一中2017-2018学年第一学期第三次月考 高三年级理科数学试题 本试卷满分150分，考试时间为120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（下列各题的选项中，只有一项是符合题意的，每小题5分，共60分）‎ ‎1．在复平面内，复数 对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2.已知集合,，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长一尺，以后逐日增加一倍，则（ ）天后，蒲与莞长度相等。参考数据：,,结果精确到0.1。（注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍）‎ A. 2.2‎‎ B. 2.4 C. 2.6 D. 2.8‎ ‎4. 如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为( )‎ A.-4 B.6 C.10 D.17‎ ‎6.某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )‎ A.72 B.120 C.144 D.168 ‎ ‎7.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过a,b,c三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过b城市;乙说:我没去过c城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为（ ） ‎ A． a B． b C．a和b D．以上都不对 ‎8.执行右面的程序框图，‎ 如果输入的，则输出的（ ）‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．5‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为( )‎ A. B. C. D.2 ‎ ‎10. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )‎ A . B.2 C. D.3 ‎ ‎11．已知函数是上的偶函数，且在区间 上是单调递增的,A，B，C是锐角三角形的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎12. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,其导函数为,若,且f(x+1)=f(3-x),f(2015)=2,则不等式f(x)<2的解集为( )‎ A.(1,+∞) B.(e,+∞) C.(-∞,0) D. ‎ 第Ⅰ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．函数 的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中,则的最小值为 ‎ ‎14.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 .‎ ‎15. 在正项等比数列{an}中,前n项和为Sn,a5=,a6+a7=3,则S5= . ‎ ‎16．甲、乙等5名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数,则X的均值为 . ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17. 的内角的对边分别为 ,已知．‎ ‎(1)求 ‎ ‎(2)若 , 面积为2,求 ‎ ‎18.《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学智力知识和脑力竞技的节目。某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列表：‎ 喜欢《最强大脑》‎ 不喜欢《最强大脑》‎ 合计 男生 ‎15‎ 女生 ‎15‎ 合计 已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4‎ ‎（1）请将上述列联表绘制到答题纸并补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；‎ ‎（2）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X，求X的分布列和数学期望。下面的临界值表仅供参考 P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.897‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：,其中）‎ ‎19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，‎ ‎ E是PD的中点.‎ ‎（1）证明：直线 平面PAB ‎（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成的角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.已知圆C1:x2+y2=r2(r>0)的一条直径是椭圆C2:=1(a>b>0)的长轴,过椭圆C2上一点D的动直线l与圆C1相交于点A,B,弦AB长的最小值是.[来源]‎ ‎(1)求圆C1和椭圆C2的方程;‎ ‎(2)椭圆C2的右焦点为F,过点F作两条互相垂直的直线m,n,设直线m交圆C1于点P,Q,直线n与椭圆C2交于点M,N,求四边形PMQN面积的取值范围.‎ ‎21.已知函数f(x)=ax-xlna(a>1),,e为自然对数的底数.‎ ‎(1)当a=e,b=5时,求整数n的值,使得方程f(x)=g(x)在区间(n,n+1)内有解;‎ ‎(2)若存在x1,x2∈[-1,1],使得f(x1)+g(x2)+≥f(x2)+g(x1)+e成立,求实数a的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。‎ ‎22.选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程是 (t为参数).‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;‎ ‎(2)设点P(m,0),若直线l与曲线C交于A,B两点,且|PA||PB|=1,求实数m的值.‎ ‎23. 选修4—5:不等式选讲 已知a∈R,设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.‎ ‎(1)若a=1,求A;‎ ‎(2)若A=R,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 高三理科数学答案 一、选择题 : DDCBB BABCC CA 二、填空题13、8； 14、2； 15、； 16、‎ 三、解答题 ‎17、（1）15/17（2）2[][]‎ ‎18、解：（Ⅰ）由题意知列联表为：‎ 喜欢《最强大脑》‎ 不喜欢《最强大脑》‎ 合计 男生 ‎45‎ ‎15‎ ‎60‎ 女生 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ K2≈14.063＞10.828， ∴有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关． （II）X的可能取值为0，1，2，‎ ‎ P（X=0）=1/10， P（X=1）=3/5， ‎ P（X=2）=3/10，∴X的分布列为：‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎ 1/10‎ ‎ 3/5‎ ‎ 3/10‎ EX=6/5‎ ‎19、（1）略；（2）‎ ‎20解:(1)当l垂直于OD时|AB|最小,‎ 因为|OD|=,所以r==2,‎ 因为圆C1:x2+y2=r2(r>0)的一条直径是椭圆C2的长轴,所以a=2.‎ 又点D在椭圆C2:=1(a>b>0)上,[]‎ 所以=1⇒b=,‎ 所以圆C1的方程为x2+y2=4,椭圆C2的方程为=1.‎ ‎(2)椭圆C2的右焦点F的坐标是(1,0),‎ 当直线n垂直于x轴时,|PQ|=2,|MN|=4,‎ 四边形PMQN的面积S=4;‎ 当直线n垂直于y轴时,|PQ|=4,|MN|=3.‎ 四边形PMQN的面积S=6.‎ 当直线n不垂直于坐标轴时,设n的方程为y=k(x-1)(k≠0),此时直线m的方程为y=-(x-1),‎ 圆心O到直线m的距离为d=,‎ 所以|PQ|=2=2,‎ 将直线n的方程代入椭圆C2的方程得到(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.‎ ‎|MN|=,‎ 所以四边形PMQN的面积S=|PQ|·|MN|==4∈(6,4),‎ 综上,四边形PMQN的面积的取值范围是[6,4].‎ ‎21解:(1)令F(x)=f(x)-g(x)=ax-xlna+x2-b,‎ 当a=e,b=5时,F(x)=ex-x+x2-5,F'(x)=ex-1+3x;‎ 当x>0时,F'(x)>0,则F(x)在(0,+∞)上为增函数,‎ 当x<0时,F'(x)<0,则F(x)在(0,+∞)上为减函数;‎ 而F(0)=-4,F(1)=e-<0,F(2)=e2-1>0,‎ F(-1)=<0,F(-2)=+3>0;‎ 又∵F(x)在(1,2),(-2,-1)上分别连续且单调,‎ ‎∴F(x)在(1,2),(-2,-1)内分别有一个零点,‎ 即方程f(x)=g(x)在区间(1,2),(-2,-1)内分别有一个解;‎ 综上所述,当n=1或n=-2时,方程f(x)=g(x)在区间(n,n+1)内有解.‎ ‎(2)若存在x1,x2∈[-1,1],使得f(x1)+g(x2)+≥f(x2)+g(x1)+e成立,‎ 即存在x1,x2∈[-1,1],使得[f(x1)-g(x1)]-[f(x2)-g(x2)]≥e-;‎ 即存在x1,x2∈[-1,1],使得F(x1)-F(x2)≥e-;‎ 即F(x)max-F(x)min≥e-成立,x∈[-1,1];‎ F'(x)=axlna-lna+3x=3x+(ax-1)lna;‎ ‎①当x>0时,由a>1,得ax-1>0,lna>0,故F'(x)>0;‎ ‎②当x=0时,F'(x)=0;‎ ‎③当x<0时,由a>1,得ax-1<0,lna>0,故F'(x)<0;‎ 则F(x)在[-1,0]上为减函数,[0,1]上为增函数;‎ 故F(x)min=F(0)=1-b;‎ F(x)max=max{F(-1),F(1)};‎ 而F(1)-F(-1)=a--2lna(a>1);‎ 设h(a)=a--2lna(a>0),‎ 则h'(a)=1+≥0,‎ ‎(当且仅当a=1时,等号成立)‎ ‎∴h(a)在(0,+∞)上为增函数,而h(1)=0;‎ 故当a>1时,h(a)>h(1)=0;‎ ‎∴F(1)>F(-1);‎ 故F(1)-F(0)≥e-;‎ 化简可得,a-lna≥e-lne,‎ 且易知m(a)=a-lna在(1,+∞)上是增函数,‎ 故a≥e;‎ 即实数a的取值范围为[e,+∞).‎ ‎22解:(1)由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ,‎ ‎∴x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.‎ 由得x=y+m,即x-y-m=0,‎ ‎∴直线l的普通方程为x-y-m=0.‎ ‎(2)将代入(x-1)2+y2=1得=1,‎ 整理得t2+(m-1)t+m2-2m=0,‎ 令Δ>0,即3(m-1)2-4(m2-2m)>0,‎ 解得-1时,3x+2≥2x+4,得x≥2, 综上,A={x|x≤0,x≥2}. (2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立. 当x>-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,得x≥a+1或x≤, 所以a+1≤-2或a+1≤,得a≤-2. 综上,a的取值范围为a≤-2.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎