2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第三章第一讲　导数的概念及运算

2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第三章第一讲　导数的概念及运算

第三章　导数及其应用 第一讲　导数的概念及运算 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.下列说法正确的是 (　　) (1)f ' (x)与 f ' (x0)(x0 为常数)表示的意义相同. (2)在曲线 y=f (x)上某点处的切线与曲线 y=f (x)过某点的切线意义相同. (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. (5)(sin π 3)'=cos π 3. (6)(3x)' =3xlog3e. (7)(log2x)' = 1 푥·ln2. A.(1)(2)(3)(5)(7) B.(4)(5)(7) C.(3)(7) D.(6)(7) 2.某质点的位移 s(单位:m)关于时间 t(单位:s)的函数是 s=2t 3 - 1 2gt 2(g=10 m/s2),则当 t=2 s 时, 它的加速度是 (　　) A.14 m/s2B.4 m/s2 C.10 m/s2D. - 4 m/s2 3.设正弦函数 y=sin x 在 x=0 和 x=π 2附近的平均变化率分别为 k1,k2,则 k1,k2 的大小关系为(　　) A.k1>k2 B.k10)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为　　　　. 考法 1 导数的运算 1 求下列函数的导数: (1)y=(x+1)(x+2)(x+3); (2)y=sin푥 2(1 - 2cos2푥 4). 把已知函数式进行化简→利用导数公式进行求导 (1)因为 y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, 所以 y'=3x2+12x+11. (2)因为 y=sin푥 2( - cos푥 2)= - 1 2sin x, 所以 y'=( - 1 2sin x)' = - 1 2(sin x)' = - 1 2cos x. 2 若函数 f (x)=ln x - f '(1)x2+3x - 4,则 f '(3)=　　　. 先求出 f '(1),得出导函数的解析式,再把 x=3 代入导函数的解析式得 f '(3). 对 f (x)求导,得 f '(x)= 1 푥 - 2f '(1)x+3,所以 f '(1)=1 - 2f '(1)+3,解得 f '(1)=4 3,所以 f '(x)=1 푥 ― 8 3x+3,将 x=3 代入 f '(x),可得 f '(3)= - 14 3. 1.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f (x)=x(x - a1)(x - a2)…(x - a8),则 f ' (0)= (　　)　　　　　　　　　　　　　　 A.26 B.29 C.212D.215 考法 2 导数的几何意义的应用 3(1)[2019 全国卷Ⅱ,10,5 分][文]曲线 y=2sin x+cos x 在点(π, - 1)处的切线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.x - y - π - 1=0 B.2x - y - 2π - 1=0 C.2x+y - 2π+1=0 D.x+y - π+1=0 (2)[2019 全国卷Ⅲ,7,5 分][文]已知曲线 y=aex+xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则 A.a=e,b= - 1 B.a=e,b=1 C.a=e - 1,b=1 D.a=e - 1,b= - 1 (3)[2019 江苏,11,5 分]在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在曲线 y=ln x 上,且该曲线在点 A 处的切 线经过点( - e, - 1)(e 为自然对数的底数),则点 A 的坐标是　　　　. (1)先求得相应函数的导数,再依据导数的几何意义得出所求切线的斜率,最后由直线 的点斜式方程求解.(2)先求出切线方程,然后与已知的切线方程对比得出关于参数的方程组, 解之即可.(3)设出点 A 的坐标,先求出切线方程,然后将( - e, - 1)代入求解即可. (1)依题意得 y'=2cos x - sin x,y' | 푥=π=(2cos x - sin x)| 푥=π=2cos π - sin π= - 2, 因此所求的切线方程为 y+1= - 2(x - π), 即 2x+y - 2π+1=0.故选 C. (2)因为 y'=aex+ln x+1, 所以 y' | 푥=1=ae+1, 所以曲线在点(1,ae)处的切线方程为 y - ae=(ae+1)(x - 1),即 y=(ae+1)x - 1, 所以{푎e + 1 = 2, 푏 = - 1, 解得{푎 = e - 1, 푏 = - 1.故选 D. (3)设 A(x0,ln x0),又 y'=1 푥, 则曲线 y=ln x 在点 A 处的切线方程为 y - ln x0= 1 푥0(x - x0), 将( - e, - 1)代入得, - 1 - ln x0= 1 푥0( - e - x0),化简得 ln x0= e 푥0,解得 x0=e,则点 A 的坐标是(e,1). 2.(1)[2019 石家庄市质检]将函数 y=ex(e 为自然对数的底数)的图象绕坐标原点 O 顺时针旋转角 θ 后第一次与 x 轴相切,则角 θ 满足的条件是(　　) A.esin θ=cos θB.sin θ=ecos θ C.esin θ=1 D.ecos θ=1 (2)[2016 全国卷Ⅱ,16,5 分]若直线 y=kx+b 是曲线 y=ln x+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1)的切线, 则 b=　　　　. 274 1.C　由导数的概念、几何意义及导数公式可得(3)(7)正确. 2.A　由质点在时刻 t 的速度 v(t)=s ' (t)=6t 2 - gt,加速度 a(t)=v ' (t)=12t - g,得当 t=2 s时,a(2)=v ' (2)=12×2 - 10=14(m/s2). 3.A　∵y=sin x,∴y ' =(sin x) ' =cos x.k1=cos 0=1,k2=cosπ 2=0,∴k1>k2. 4.y=3x　因为 y ' =3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,所以曲线 y=3(x2+x)ex 在点(0,0)处的切线的 斜率 k=′ ,所以所求的切线方程为 y=3x. 5. - 3　y ' =(ax+1+a)ex,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为 - 2,得 y ' |x=0=(ax+1+a)ex|x=0=1+a= - 2,所以 a= - 3. 6.e　由题意得 f ' (x)=exln x+ex·1 푥,则 f ' (1)=e. 7.(1,1)　y ' =ex,则曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k 切=1,又曲线 y=1 푥(x>0)上点 P 处的切线与 曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线垂直,所以曲线 y= 1 푥(x>0)在点 P 处的切线的斜率为 - 1,设 P(a,b)(a,b>0),则曲线y= 1 푥(x>0)上点P处的切线的斜率为 ′ = - a - 2= - 1,可得a=1,又P(a,b)在曲线y= 1 푥上,所以 b=1,故 P(1,1). 1.C　因为 f ' (x)=x ' [(x - a 1)(x - a2)…(x - a8)]+[(x - a1)·(x - a2)…(x - a8)] ' x=(x - a 1)(x - a2)…(x - a8)+[(x - a1)(x - a2)…(x - a8)] ' x,所以 f ' (0)=(0 - a1)(0 - a2)…(0 - a8)+0=a1a2…a8.因为数列{an}为等 比数列,所以 a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8,所以 f ' (0)=84=212.故选 C. 2.(1)B　由题意得 x 轴绕坐标原点 O 逆时针旋转角 θ 后第一次与 y=ex 的图象相切,设切点为 (x0,e푥0),∵y ' =ex,∴e푥0 푥0 = e푥0,∴x0=1,∴tan θ=e,∴sin θ=ecos θ,故选 B. (2)1 - ln 2 　设直线 y=kx+b 与曲线 y=ln x+2 的切点为(x 1,ln x1+2),与曲线 y=ln(x+1)的切点为 (x2,ln(x2+1)). 则切线方程分别为 y - ln x1 - 2= 1 푥1(x - x1),y - ln(x2+1)= 1 푥2 + 1(x - x2),化简得 y= 1 푥1x+ln x1+1,y= 1 푥2 + 1x - 푥2 푥2 + 1+ln(x2+1), 依题意,得{ 1 푥1 = 1 푥2 + 1, ln 푥1 + 1 = - 푥2 푥2 + 1 + ln(푥2 + 1), 解得 x1=1 2, 从而 b=ln x1+1=1 - ln 2.