江苏省兴化中学2020届高三考前冲刺练习数学含附加题

江苏省兴化中学2020届高三考前冲刺练习数学含附加题

高三考前冲刺练习 数学Ⅰ 参考公式：锥体的体积，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．‎ 球的体积，其中r表示球的半径．‎ 样本数据的方差，其中．‎ 一、填空题：本大题共14小题．‎ ‎1．已知集合，，若，则实数a的值为________．‎ ‎2．设复数z满足（i为虚数单位），则复数z=________．‎ ‎3．某次数学测验五位同学的成绩分布茎叶图如图，则这五位同学数学成绩的方差为________．‎ ‎4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，则最后输出的S的值是________．‎ ‎5．一张方桌有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，则A与B相对而坐的概率为________．‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的顶点到其渐近线的距离为________．‎ ‎7．若函数图象的一个对称中心为，则函数的最小正周期为________．‎ ‎8．某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同．已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该冰淇淋的体积是________cm3．‎ ‎9．已知函数，对任意的，，有，则实数k的取值范围是________．‎ ‎10．已知圆，若直线与圆C交于A，B两点，当弦AB的长度最小时，则正实数m=________．‎ ‎11．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列．①；第二步：将数列①的各项乘以，得到一个新数列．则根据以上两步可得________．‎ ‎12．如图，在△ABC中，，过点A作AC的垂线交BC于点D．若△ABC的面积为，则AD的最大值是________．‎ ‎13．已知C是以AB为直径的半圆上一点，且C是线段PQ的中点，若AB=5，PQ=1，与的夹角为，则________．‎ ‎14．已知函数，若不等式有解，则整数a的最小值为________．‎ 二、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F．‎ ‎（1）求证：平面平面PCD；‎ ‎（2）求证：AD∥EF．‎ ‎16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．‎ ‎（1）若面积为，求ab的值；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，直线l与椭圆有且只有一个公共点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在以原点O为圆心的圆满足：此圆与直线l相交于P，Q两点（两点均不在坐标轴上），且OP，OQ的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎18．如图所示，某地区打算在一块矩形地块上修建一个牧场（ABCDEF围成的封闭区域）用来养殖牛和羊，其中AF=1，AB=10，BC=4，CD=7（单位：百米），DEF是一段曲线形马路．该牧场的核心区为等腰直角三角形MPQ所示区域，该区域用来养殖羊，其余区域养殖牛，且MP=PQ，牧场大门位于马路DEF上的M处，一个观察点P位于AB的中点处，为了能够更好观察动物的生活情况，现决定修建一条观察通道，起点位于距离观察点P处1百米的O点所示位置，终点位于Q处．如图2所示，建立平面直角坐标系，若满足．‎ ‎ ‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求观察通道OQ长度的最小值．‎ ‎19．数列{an}的前n项和为，且满足，，，．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记，．‎ ‎①求Tn；‎ ‎②求证：．‎ ‎20．已知，‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若，在其公共点处切线相同，求实数a的值；‎ ‎（3）记，若函数存在两个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4-2：矩阵与变换]‎ 已知可逆矩阵的逆矩阵为，矩阵．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）若矩阵X满足，求矩阵X．‎ B．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在极坐标系中，已知以极点O为圆心，2为半径的圆O与以为圆心，且过极点的圆C相交于A、B两点．‎ ‎（1）分别求圆O，圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）求弦AB所在直线的极坐标方程．‎ C．[选修4-5：不等式选讲] ‎ 已知x，y，z是正实数，且，求证：．‎ ‎【必做题】第22、23题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．如图，在三棱锥A-BCD中，已知都是边长为2的等边三角形，E为BD 中点，且平面BCD，F为线段AB上一动点，记．‎ ‎（1）当时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；‎ ‎（2）当二面角A-CD-F的余弦值时，求的值．‎ ‎23．已知集合的“集合价”定义：含有个元素的集合其“集合价”为，例如含有一个元素的集合其“集合价”为．已知一个数集，我们从集合M的所有子集中，任意取出一个M的子集N．‎ ‎（1）求当n=4时，取出的集合N的“集合价”为的概率；‎ ‎（2）设随机变量X为取出的集合N的“集合价”，求X的分布列及数学期望E(X)．‎ 高三考前适应性练习 参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共14小题．‎ ‎1．4； 2． 3．10； 4．17； 5．； 6．； 7．； 8．；‎ ‎9．； 10．； 11．； 12．； 13．； 14．-1‎ 二、解答题：本大题共6小题．‎ ‎15．证明：（1）因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥BC．‎ 因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥BC．‎ 因为CD∩PD=D， CD，平面PCD，所以BC⊥平面PCD．‎ 因为平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD．‎ ‎（2）底面ABCD是矩形，所以AD∥BC，‎ 因为平面PBC，平面PBC，所以AD∥平面PBC 因为平面ADFE，平面ADFE∩平面PBC=EF，所以AD∥EF．‎ ‎16．【解】（1）因为，‎ 在中，由正弦定理，得，‎ 化简得，‎ 在中，由余弦定理得，，‎ 因为，所以，‎ 又面积为，可得，所以ab=4．‎ ‎（2）因为，‎ 在中，由正弦定理，‎ 所以 因为，所以 由（1）得，所以，‎ 化简得，所以．‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以 ‎ ‎ ‎17．【解】（1）设椭圆的焦距为2c，‎ 由题意，得，‎ 解得，所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）结论：存在符合条件的圆，此圆的方程为，‎ 直线OP，OQ的斜率之积为定值．‎ 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为．‎ 当直线l的斜率存在时，设直线，设，‎ 由得，‎ 因为直线l与椭圆有且只有一个公共点，‎ 所以，‎ 所以 由得，‎ 所以 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 要使为定值（与k无关），则，即．‎ 所以当圆的方程为，圆与直线l相交于P，Q两点，‎ 直线OP，OQ的斜率之积为定值．‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l为，此圆与直线l相交于P，Q 此时，，满足，‎ 综上所述，存在满足条件的圆，‎ 此圆与直线l相交于P，Q两点（两点均不在坐标轴上），‎ 且OP，OQ的斜率之积为定值 ‎18．‎ ‎ ‎ ‎【解】（1）因为AB=10，P是AB的中点，所以AP=5，‎ 又OP=1，所以AO=4，所以，，‎ 因为CD=7，BC=4，AF=1所以，‎ 由得，k=-4，所以．‎ 故，又，所以解得，‎ 所以 ‎（2）过点M，Q分别作x轴的垂线，垂足为，，‎ 则，‎ 又因为PM⊥PQ，所以 所以，又因为PM=PQ，所以，‎ 所以，由，可得，‎ ‎①若，设，则，‎ ‎．‎ 令，则 ‎，因为，所以 所以在上单调减，所以 设，则在上单调减 所以，所以 ‎②若，设，则，‎ ‎，‎ 在上单调递减，所以时，，‎ 所以OQ的长度的最小值为百米．‎ 答：观察通道OQ的长度的最小值为百米 注：理科同学用矩阵旋转做同样给分 ‎19．【解】（1）因为，‎ 所以n=2时，S1=1，即a1=1．‎ 因为n≥2时，，‎ 即．‎ 时也适合该式．‎ 所以n≥2时，，‎ ‎，‎ 两式相减得，‎ 则，‎ 两式相减得，n≥2．‎ 所以，n≥2，‎ 所以．‎ 所以数列{an}为等差数列．‎ 因为a1=1，a2=2，所以公差d=1，‎ 所以．‎ ‎（2）①因为an=n，‎ 所以 所以 ‎ ，‎ 所以 ‎ ‎ ‎②要证，只要证，‎ 只要证，即证．‎ 设，x>1，令，x>1，‎ 则，易证x>1时，，故在恒成立．‎ 所以在上单调递增，‎ 因为，所以.‎ 所以所证不等式成立．‎ ‎20．【解】（1），得x=-1，‎ 当x<-1时，；当x>-1时，．‎ 所以函数的单调减区间为：；增区间为：． ‎ ‎（2）由，．‎ 因为点为函数的公共点，且函数在点P处的切线相同，‎ 所以，且．‎ 由（2）得，，代入（1）得，，‎ 显然a≠0，所以．‎ 设，由得，在上是单调增函数，‎ 又，所以．‎ ‎（3）由得，，x>0.‎ 则，‎ 令得，．‎ 设，由（1）知，在上是单调增函数．‎ ‎1° 当a≤0时，由x>0得，，‎ 所以，所以在上是单调增函数，至多1个零点，不符，舍去．‎ ‎2° 当a>0时，因为，，‎ 由零点存在性定理，，在上是单调增函数且连续，‎ 所以存在唯一，使得，即．‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增．‎ 因为存在两个零点，‎ 所以，即，从而．‎ 所以．因为在上是单调增函数，‎ 且，所以，‎ 由（1）可知，在是单调递增，所以．‎ 又，，‎ 而，易证得，，‎ 所以，‎ 由零点存在性定理知，函数在上存在唯一一个零点，在上存在唯一一个零点，此时函数存在两个零点．‎ 所以a>e．‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．【解】（1）因为，‎ 所以，解得；‎ ‎（2）法一：因为，所以，‎ 所以．‎ 法二：设，则，‎ 所以，解得所以．‎ B．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎【解】（1）圆O的极坐标方程为，圆C的极坐标方程为；‎ ‎（2）由得，或、，‎ 所以弦AB所在直线的极坐标方程为．‎ 所以，当且仅当时取等号． ‎ ‎【必做题】第22、23题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．【解】连接CE，以EB，EC，EA分别为x，y，z轴，‎ 建立如图空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 因为F为线段AB上一动点，且，‎ 则，‎ 所以．‎ ‎（1）当时，，，，‎ ‎．‎ 所以异面直线DF与BC所成角的余弦值是.‎ ‎（2）设平面ACD的一个法向量为 由得化简得 ‎，取 设平面CDF的一个法向量为由得 ‎，化简得，取 设二面角A-CD-F的平面角为，‎ ‎，‎ 化简得：，解得或（舍去），所以．‎ ‎23．【解】（1）记“取出的集合N的“集合价”为”为事件A．‎ 则当n=4时，，集合M的所有子集个数为24，‎ 其中“集合价”的子集（即二元集）的个数为个，所以．‎ 答：取出的集合N的“集合价”为的概率为．‎ 说明：若不记事件或者不答各扣1分．‎ ‎（2）随机变量X的所有可能取值为 则 X P ‎，随机变量X的概率分布为 因此随机变量X的数学期望为 其中 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 答：随机变量X的数学期望为．‎