专题43 直线的交点坐标与距离公式（押题专练）-2018年高考数学（文）一轮复习精品资料

专题43 直线的交点坐标与距离公式（押题专练）-2018年高考数学（文）一轮复习精品资料

‎1．已知点A(1，－2)，B(m，2)且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是(　　)‎ A．－2　　　　B．－7　　　　C．3　　　　D．1‎ 解析：因为线段AB的中点在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.‎ 答案：C ‎2．若直线(a＋1)x＋2y＝0与直线x－ay＝1互相垂直，则实数a的值等于(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ 解析：由×＝－1，得a＋1＝2a，故a＝1.‎ 答案：C ‎3．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是(　　)‎ A. B．8 C．2 D. 答案：C ‎4．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：两直线垂直⇔(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0⇔m＝－2，或m＝，‎ 所以“m＝”是“两直线垂直”的充分而不必要条件．‎ 答案：B ‎5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点(　　)‎ A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2)‎ 解析：直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，‎ 又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2经过定点(0，2)．‎ 答案：B ‎6．直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x，y轴的截距和最小时，实数a的值是(　　)‎ A．1 B. C．2 D．3‎ 解析：当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝，令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋。∵a＞1，‎ ‎∴a－1＞0.∴t≥5＋2＝9。‎ 当且仅当a－1＝，即a＝3时，等号成立。‎ 答案：D ‎7．若直线l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为__________。‎ 答案：－5‎ ‎8．点P(0,1)在直线ax＋y－b＝0上的射影是点Q(1,0)，则直线ax－y＋b＝0关于直线x＋y－1＝0对称的直线方程为__________。‎ 解析：由已知，有解得 即ax＋y－b＝0为x－y－1＝0，‎ 设x－y－1＝0关于x＋y－1＝0对称的直线上任一点(x，y)，点(x，y)关于x＋y－1＝0的对称点(x0，y0)必在x－y－1＝0上，且 则代入x－y－1＝0，得x－y－1＝0。‎ 答案：x－y－1＝0‎ ‎9．已知点A(－5,4)和B(3,2)，则过点C(－1,2)且与点A，B的距离相等的直线方程为__________。‎ 解析：由题可知，当过点C的直线斜率不存在时，即直线为x＝－1时，点A，B到直线的距离均为4；当直线斜率存在时，可知要使点A，B到直线的距离相等，则过点C的直线的斜率k＝kAB＝＝－，故此时直线方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋4y－7＝0。‎ 综上所述，所求直线方程为x＝－1或x＋4y－7＝0。‎ 答案：x＝－1或x＋4y－7＝0‎ ‎10．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程。‎ ‎(1)l′与l平行且过点(－1,3)；‎ ‎(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；‎ ‎(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线。‎ 解析：(1)直线l：3x＋4y－12＝0，kl＝－，‎ 又∵l′∥l，∴kl′＝kl＝－。‎ x＝－x0，y＝－y0，则－3x－4y－12＝0。‎ ‎∴l′为3x＋4y＋12＝0。‎ ‎11．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，‎ ‎(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；‎ ‎(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值。‎ 解析：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 ‎(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，‎ 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，‎ ‎∴＝3。‎ 即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或。‎ ‎∴l方程为x＝2或4x－3y－5＝0。‎ ‎(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)。‎ ‎∴dmax＝|PA|＝。‎ ‎12．一条光线经过P(2,3)点，射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后穿过点Q(1,1)。‎ ‎(1)求入射光线的方程；‎ ‎(2)求这条光线从P到Q的长度。‎ 解析：如图所示。‎ 又∵M为QQ′的中点， ‎ 由解得 ‎∴Q′(－2，－2)。‎ 设入射光线与l交于点N，且P、N、Q′共线。‎ 由P(2,3)、Q′(－2，－2)，得入射光线的方程为＝，即5x－4y＋2＝0。‎ ‎(2)∵l是QQ′的垂直平分线，‎ 因而|NQ|＝|NQ′|，‎ ‎∴|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|‎ ‎＝＝。‎ 即这条光线从P到Q的长度是。‎ ‎13．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．‎ ‎(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；‎ ‎(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．‎ ‎∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.‎ 故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.‎ ‎14．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3，4)．‎ ‎(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．‎ ‎(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．‎ ‎(1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，‎ 由得 ‎∴直线l恒过定点(－2，3)．‎ ‎(2)解：设直线l恒过定点A(－2，3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．‎ 又直线PA的斜率kPA＝＝，‎ ‎∴直线l的斜率kl＝－5.‎ 故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.‎