命题角度6-3 利用导数研究函数的零点、方程的根（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

命题角度6-3 利用导数研究函数的零点、方程的根（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学（理）大题狂练 命题角度3：利用导数研究函数的零点、方程的根 ‎1．已知函数（且），为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若函数只有一个零点，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由导函数的解析式可得．‎ ‎(2)由，得，分类讨论和两种情况可得．‎ ‎（Ⅱ）， ，‎ 令，得，则 ‎①当时， ，‎ 极小值 所以当时， 有最小值，‎ 因为函数只有一个零点，且当和时，都有，则 ，即，‎ 因为当时， ，所以此方程无解．‎ ‎②当时， ，‎ 极小值 所以当时， 有最小值，‎ 因为函数只有一个零点，且当和时，都有，‎ 所以，即（）（*）‎ 设，则，‎ 令，得，‎ 当时， ；当时， ；‎ 所以当时， ，所以方程（*）有且只有一解．‎ 综上， 时函数只有一个零点．‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎2.设函数， ．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论函数与图像的交点个数．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间； ‎ ‎（2）问题转化为求函数,的零点个数问题，通过求导，得到函数F（x）的单调区间，求出F（x）的极小值，从而求出函数h（x）的零点个数即f（x）和g（x）的交点个数．‎ ‎（Ⅱ） 解：令，问题等价于求函数的零点个数， ‎ 当时， ，有唯一零点；当时， ，‎ 当时， ，函数为减函数，注意到， ，‎ 所以有唯一零点；‎ 当时， 或时， 时，‎ 所以函数在和单调递减，在单调递增，注意到，‎ ，所以有唯一零点； ‎ 当时， 或时， 时， ‎ 所以函数在和单调递减，在单调递增，意到，‎ 所以，而，‎ 所以有唯一零点. ‎ 综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.‎ ‎3.已知函数（）.‎ ‎（1）若在点处的切线与直线垂直，求实数的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）讨论函数在区间上零点的个数.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）见解析 ‎【解析】试题分析：由 ，直线的斜率为，‎ 所以得出a值，（2）确定函数的单调区间 大于零或小于零解不等式即可注意当当， 时（3）由（2）可知，‎ 当时， 在上单调递增，而，故在上没有零点；‎ 当时， 在上单调递增，而，故在上有一个零点；只需讨论当时结合草图根据零点所在的区间逐一讨论即可 试题解析：‎ ‎（1）由题可知的定义域为，‎ 因为，所以 又因为直线的斜率为，‎ ，解得 ‎（2）由（1）知： ，‎ 当时， ，所以在上单调递增；‎ 当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上所述：当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎②若，即时， 在上单调递增，在上单调递减，而， ， ，‎ 若 ，即时， 在上没有零点；‎ 若 ，即时， 在上有一个零点；‎ 若 ，即时，由得，此时， 在上有一个零点；‎ 由得，此时， 在上有两个零点；‎ ‎③若，即时， 在上单调递增， ， ， 在上有一个零点.‎ 综上所述：当或时， 在上有一个零点；当或时， 在上没有零点；当时， 在上有两个零点.‎ ‎4.已知函数.‎ ‎（1）当时，求证：对时， ；‎ ‎（2）当时，讨论函数零点的个数.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）函数求导，再求导得恒成立，又因为恒成立；‎ ‎（2）由（1）可知，当x≤0时，f″(x)≤0，可得 对∀x∈R，f′(x)≥0，即ex≥x+1，分类讨论当x≥-1时，当x＜-1时，函数y=f(x)的零点个数即可得解；‎ 当x＜-1时，再分0≤m≤1和m＜0两种情况进行讨论，由函数零点定理进行判断即可得到答案.‎ 试题解析：，所以 ‎(1)当时， ，则，令，则，当时， ，即，所以函数在上为增函数，即当时， ，所以当时， 恒成立，所以函数在上为增函数，又因为，所以当时，对恒成立.‎ ‎(2)由（1）知，当时， ，所以，所以函数的减区间为，增函数为.所以，所以对 ， ，即.‎ ‎①当时， ，又， ‎，即，所以当时，函数为增函数，又，所以当 时， ，当时， ，所以函数在区间上有且仅有一个零点，且为.‎ ‎ ②当时，（ⅰ）当时， ，所以，所以函数在上递增，所以，且，故时，函数在区间上无零点. ‎ ‎(ⅱ)当时， ，令，则，所以函数在上单调递增， ，当时， ，又曲线在区间上不间断，所以，使，故当时， ，当时， ，所以函数的减区间为，增区间为，又，所以对，又当时， ，又，曲线在区间上不间断.所以，且唯一实数，使得，综上，当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有个两零点.‎ 点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：‎ ‎（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.‎ ‎5.已知函数 .‎ ‎（1）若在处，和图象的切线平行，求的值；‎ ‎（2）设函数，讨论函数零点的个数. ‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 试题解析：（1），‎ 由，得，所以，即 ‎（2）（1）当时，在单增，‎ ‎，故时，没有零点.‎ ‎（2）当时，显然有唯一的零点 ‎（3）当时，设，‎ 令有，故在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，，即 在上单调递减，在上单调递增，（当且仅当等号成立）有两个根（当时只有一个根）‎ 在单增，令为减函数，‎ 故只有一个根.‎ 时有个零点；时有个零点；时有个零点；时有个零点；时，有个零点.‎ ‎6.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数在上的最小值；‎ ‎（Ⅱ）对一切恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）探讨函数是否存在零点？若存在，求出函数的零点，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）; （Ⅲ）函数无零点.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导，由导数确定函数的单调性，从而求得最小值；‎ ‎（2）将原问题转化为，再记，从而转化为函数的最值问题；‎ ‎（3）原问题可转化为）是否有解，只需不等号左边的最小值与右边函数的最大值进行比较即可。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ），‎ 由得，由得，‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 当时，，‎ ‎∴.‎ 当时，在上单调递增，，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅲ）令，得，即，‎ 由（Ⅰ）知当且仅当时，的最小值是，‎ 设，则，‎ 易知在（0,1）上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴当且仅当时，取最大值，且，‎ ‎∴对都有，，即恒成立.‎ ‎∴函数无零点.‎ 点睛：函数的零点问题常用的方法和思路：‎ 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ 分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；‎ 数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.‎ ‎7.已知，其中为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）设（其中为的导函数），判断在上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若无零点，试确定正数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）单调递增；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1) 在定义域内恒正，则在上单调递增.‎ ‎(2)结合(1)的结论分类讨论：‎ ‎①当时，不符合题意；‎ ‎②当时，不符合题意；‎ ‎③当时， 没有零点.‎ 综上所述，正数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为，则， ，‎ 所以，所以在上单调递增.‎ ‎（Ⅱ）由知，‎ 由（Ⅰ）知在上单调递增，且，可知当时， ，‎ 则有唯一零点，设此零点为.‎ 易知时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减，‎ 故，其中.‎ 令，则，‎ 易知在上恒成立，所以， 在上单调递增，且.‎ ‎①当时， ，由在上单调递增知，‎ 则，由在上单调递增， ‎ ，所以，故在上有零点，不符合题意；‎ ‎8.已知函数， .‎ ‎（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数的值；‎ ‎（2）当时，若曲线与在公共点处有相同的切线，求证：点唯一；‎ ‎（3）若， ，且曲线与总存在公切线，求：正实数的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）1.‎ ‎【解析】试题分析：（1）曲线与在公共点处有相同的切线， ，解出即可；（2）设，由题设得，转化为关于的方程只有一解，进而构造函数转化为函数只有一个零点，利用导数即可证明；（3）设曲线在点处的切线方程为，则只需使该切线与相切即可，也即方程组，只有一解即可，所以消去后，问题转化关于方程总有解，分情况借助导数进行讨论即可求得值.‎ 试题解析：（1），．∵曲线与在公共点 处有相同的切线∴　，　 解得，． ‎ ‎（2）设，则由题设有 … ①又在点有共同的切线 ‎∴代入①得 ‎ 设，则，‎ ‎∴在上单调递增，所以 ＝0最多只有个实根，‎ 从而，结合（Ⅰ）可知，满足题设的点只能是 ‎ ‎（3）当，时，，，‎ 曲线在点处的切线方程为，即．‎ 由，得 ．‎ ‎∵ 曲线与总存在公切线，∴ 关于的方程，‎ 即 总有解． ‎ 若，则，而，显然不成立，所以 ．‎ 从而，方程可化为 ．‎ 令，则．‎ ‎∴ 当时，；当时，，即 在上单调递减，在上单调递增．∴在的最小值为，‎ 所以，要使方程有解，只须，即．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.‎ ‎9.已知函数满足：①；②；③在内能取到最大值.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设函数，若对，使得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出的表达式，得到的导数，得到在内必有解，求出的最大值，从而求出的值即可；（2）设出和的值域，求出的值域，通过讨论的范围，求出的值域，根据集合的包含关系，解关于的不等式，求出的范围即可.‎ 试题解析：（1）当时，有，由条件②得，再由条件①得.故， .‎ 由条件③得在在内有最大值，方程，即在内必有解，故，且解为.又最大值为，所以，即，所以.‎ 若，则当时， ， 为减函数，所以.‎ 由，得，故必有.‎ 若，则当时， ， 为增函数，所以.由，得，故必有.‎ 若，则，此时不成立.‎ 综上可知， 的取值范围是.‎ ‎10.已知函数， ，其中， 为常数．‎ ‎（1）若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有2个零点， 有6个零点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2） ‎【解析】试题分析：结合极值点导数为零及导数的几何意义求出切线方程；函数零点问题是导数的一个应用方面 ，首先搞清函数 零点个数的三种判断方法，其一： 的图象与 轴交点的横坐标 ；其二：方程 的根；其三：函数 与 的图象的交点的横坐标 ；本题根据函数存在2个零点，转化为方程有2个不同的实根，解出，再根据有6个零点，求出 范围.‎ ‎∵，∴令，得或，即或，‎ 而有6个零点，故方程与都有三个不同的解，‎ ‎∴且，∴，∴．‎ ‎【点睛】函数 零点个数的三种判断方法，其一： 的图象与 轴交点的横坐标 ；其二：方程 的根；其三：函数 与 的图象的交点的横坐标 ；涉及 零点问题，一般设 ，则 ，先考虑的零点，找出对应的 值（或范围），再根据 找出对应的 值（或个数），需要借助函数图象数形结合去完成.‎