2017-2018学年安徽省宣城市高二上学期期末调研测试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年安徽省宣城市高二上学期期末调研测试数学（理）试题 Word版

高二数学试题（理科）‎ 考生注意事项：‎ ‎１本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 １５０分，考试时间 １２０分钟．‎ ‎２答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域．‎ ‎３考生作答时，请将答案答在答题卷上．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 ２Ｂ铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用０．５毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．‎ ‎４考试结束时，务必将答题卡交回．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共６０分）‎ 一、选择题（本大题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分）‎ ‎１．命题“若 ａ＜ｂ，则 ａ＋ｃ＜ｂ＋ｃ”的逆否命题是 Ａ若 ａ＋ｃ＜ｂ＋ｃ，则 ａ＞ｂ Ｂ若 ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ，则 ａ＞ｂ Ｃ 若 ａ＋ｃ≥ ｂ＋ｃ，则 ａ≥ ｂ Ｄ 若 ａ＋ｃ＜ｂ＋ｃ，则 ａ≥ ｂ ‎２‎ ‎２抛物线 ｘ＝－８ｙ的准线方程是 Ａｘ＝－４‎ Ｂｙ＝２‎ Ｃｘ＝－２‎ Ｄｙ＝４‎ ‎３若十进制数 ２６等于 ｋ进制数 ３２，则 ｋ等于 Ａ４‎ Ｂ５‎ Ｃ６‎ Ｄ８‎ ‎４从甲、乙两个班级中各选出 ７名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩 ‎（满分 １００分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是 ８５，乙班 学生成绩的中位数是８２，则ｘ＋ｙ的值为 Ａ５‎ Ｂ６‎ 第４题图 Ｃ７‎ Ｄ８‎ {０≤ ｘ≤ ２‎ ‎５．设不等式组 表示的平面区域为Ｄ，在区域Ｄ内随机取一个点，则此点到坐标原点 ‎０≤ ｙ≤ ２‎ 的距离大于２的概率是 Ａ π４ Ｂ π２－２ Ｃ π６ Ｄ４－４π ‎６．从装有 ２个红球和 ２个白球的口袋内任取 ２个球，那么互斥但不对立的两个事件是 至少有 个白球，都是白球 至少有一个白球，至少有一个红球Ｃ恰有 １个白球，恰有 ２个白球 Ｄ至少有一个白球，都是红球 宣城市高二数学（理）试卷第１页（共４页）‎ ‎７将６００名学生编号为：００１，００２，……６００，采用系统抽样方法抽取一个容量为６０的样本，且随 机抽得的号码为００３ 这６００名学生分成甲乙丙三组，从００１到３０２在甲组，从３０３到４９２在 乙组，从４９３到６００在丙组，则甲乙丙三组被抽中的人数依次为 Ａ３０，１８，１２ Ｂ３０，１９，１１‎ Ｃ２９，２０，１１ Ｄ２９，１９，１２‎ ‎８一个书架上放有３本数学书和２本语文书，现从书架上取出一本书不放回，然后再取出一本 书，则取出的两本书是相同学科的概率是 Ａ １２ Ｂ １５ Ｃ １４ Ｄ ２５‎ ‎９如图在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，点Ｏ为线段ＢＤ的中点，设点Ｐ 是线段ＣＣ１的中点，记直线ＯＰ与直线Ａ１Ｄ所成的角为α，则ｓｉｎα的值是 Ａ１ Ｂ １２‎ 槡２‎ 槡３‎ Ｃ ‎２‎ Ｄ ‎２‎ 第９题图 ‎１０在下列结论中，正确的是 ‎①“ｐ∧ ｑ”为真是“ｐ∨ ｑ”为真的充分不必要条件 ‎②“ｐ∧ ｑ”为假是“ｐ∨ ｑ”为真的充分不必要条件 ‎③“ｐ∨ ｑ”为真是“ ｐ”为假的必要不充分条件 ‎④“ ｐ”为真是“ｐ∧ ｑ”为假的必要不充分条件 Ａ①②‎ Ｂ①③‎ Ｃ②④‎ Ｄ③④‎ ‎２‎ ‎２‎ ｘ ｙ ‎１１若椭圆 ‎＋‎ ‎＝１上的任意一点 Ｐ（ｘ，ｙ）使 ｘ＋２ｙ＋ｍ≥０恒成立，则实数 ｍ的取值范围 ‎４‎ ‎３‎ 是 Ａ（－∞，－４］‎ Ｂ［－４，＋∞）‎ Ｃ（－∞，４］‎ Ｄ［４，＋∞）‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎１２已知斜率为１的直线过双曲线 ｘ ‎－‎ ｙ ‎＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左焦点 Ｆ，且与双曲线的两条 ‎２‎ ‎２‎ ａ ｂ 渐近线分别交于Ａ，Ｂ两点，若Ａ是线段ＦＢ的中点，则双曲线的渐近线方程是 ‎１‎ 槡２‎ Ａｙ＝±３ｘ Ｂｙ＝±‎ ｘ Ｃｙ＝±槡２ｘ Ｄｙ＝±‎ ｘ ‎３‎ ‎２‎ 宣城市高二数学（理）试卷第２页（共４页）‎ 二、填空题（本大题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分）‎ ‎１３已知样本数据：５，７，１０，１３，１５，则其方差是 ‎９‎ ‎１４某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则 ‎５‎ 正整数ｎ＝‎ ‎→‎ ‎→‎ ‎１５已知 Ａ１（－１，０），Ａ２（１，０），动点 Ｐ满足 ｜ＰＡ１｜＝２｜ＰＡ２｜，‎ 则点Ｐ的轨迹方程是 ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ｘ ｙ ｘ ｙ ‎１６已知椭圆 ‎＋‎ ‎＝１和双曲线 ‎－‎ ‎＝１（ｎ＞ｍ＞０）的 ｍ ｎ ｍ ｎ 离心率分别为槡λ及 １ ，则 λ＝槡２λ 三、解答题（本大题共 ６小题，共 ７０分）‎ ‎１７．（本题满分 １０分）‎ ‎３‎ ‎１‎ 已知ｐ：‎ ‎２ｘ－‎ ‎≤‎ ‎，ｑ：（ｘ－ａ）［ｘ－（ａ＋１）］≤ ０‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎１‎ ‎（Ⅰ）若 ａ＝‎ ‎，且 ｐ∧ ｑ为真，求实数 ｘ的取值范围；‎ ‎２‎ 第１４题图 ‎（Ⅱ）若 ｐ是 ｑ的充分不必要条件，求实数 ａ的取值范围．‎ ‎１８（本小题满分 １２分）‎ 某班同学对［２５，５５］岁的人群随机抽取ｎ人进行关于手机日均使用时间情况的调查，分为“低头族”和“非低头族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：‎ 组数 分组 低头族的人数 占本组的比率 第一组 ‎［２５，３０）‎ ‎１２０‎ ‎０．６‎ 第二组 ‎［３０，３５）‎ ‎１９５‎ ‎０．６５‎ 第三组 ‎［３５，４０）‎ ‎１００‎ ‎０．５‎ 第四组 ‎［４０，４５）‎ ａ ‎０．４‎ 第五组 ‎［４５，５０）‎ ‎３０‎ ‎０．３‎ 第六组 ‎［５０，５５］‎ ‎１５‎ ‎０．３‎ 各年龄段人数频率分布直方图 ‎（Ⅰ）补全频率分布直方图并求 ｎ、ａ的值；‎ ‎（Ⅱ）从年龄段在［４０，５０）的“低头族”中采用分层抽样法抽取 ６人参加活动，其中选取 ２‎ 獉獉獉 人作为领队，求选取的２名领队中恰有１人年龄在［４０，４５）岁的概率．‎ 宣城市高二数学（理）试卷第３页（共４页）‎ ‎１９（本小题满分 １２分）‎ 某地区２０１３年至２０１７年农村居民家庭人均存款ｙ（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎２０１３‎ ‎２０１４‎ ‎２０１５‎ ‎２０１６‎ ‎２０１７‎ 年份代号ｘ ‎１‎ ‎２‎ ‎３‎ ‎４‎ ‎５‎ 人均存款ｙ ‎３‎ ‎３．８‎ ‎４．４‎ ‎４．８‎ ‎５‎ ‎（Ⅰ）已知变量 ｙ与 ｘ满足线性关系，求 ｙ关于 ｘ的线性回归直线方程；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归直线方程，预测该地区 ２０１８年农村居民家庭人均存款附：用最小二乘法求线性回归直线方程系数公式 ｎ ‎—‎ ‎—‎ ‎∧‎ ‎∑‎ ‎（ｘ－ｘ）·（ｙ －ｙ）‎ ｉ ‎１‎ ｂ＝‎ ｉ＝１‎ ｎ ‎— ２‎ ‎∑‎ ｉ ‎（ｘ－ｘ）‎ ‎‎ ｎ ‎—‎ ‎—‎ ｘｙ－ｎｘ·ｙ ‎∑ ｉｉ ‎∧ — —‎ ‎＝‎ ｉ ‎，ａ＝ｙ－ｂｘ ｎ ２‎ ‎—２‎ ‎∑ ｉ ｘ－ｎｘ ｉ＝１ ｉ ‎２０（本小题满分 １２分）‎ 如图，ＡＢＣＤ是块矩形纸板，其中ＡＢ＝２槡２，ＡＢ＝２ＡＤ，Ｅ为ＤＣ的中点，将它沿ＡＥ折成直二面角Ｄ－ＡＥ－Ｂ ‎（Ⅰ）求三棱锥 Ｄ－ＡＢＥ的体积；‎ ‎（Ⅱ）求二面角 Ｂ－ＡＤ－Ｅ的余弦值 第２０题图 ‎２１（本小题满分 １２分）‎ ‎２‎ 已知点Ａ（１，４），Ｂ（ｘ，ｙ），Ｃ（ｘ，ｙ）在抛物线ｙ＝２ｐｘ上，Ｆ为抛物线的焦点，Ｍ是ＢＣ的 ‎１ １ ２ ２‎ ‎→ →‎ 中点，且．ＡＦ＝２ＦＭ ‎（Ⅰ）求抛物线方程及线段 ＢＣ中点 Ｍ的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求 ＢＣ所在直线的方程．‎ ‎２２（本小题满分 １２分）‎ 第２１题图 ‎２‎ ‎２‎ 如图，已知Ａ（－５，－１）是椭圆 ｘ ‎＋‎ ｙ ‎＝１（ａ＞ｂ＞０）上的一点，且短轴长与焦距相等 ‎２‎ ‎２‎ ａ ｂ ‎（ ）‎ ‎；‎ Ⅰ 求椭圆的标准方程 ‎（Ⅱ）点 Ｂ在椭圆上且线段 ＡＢ的中点（非原点）在直线 ｌ：‎ ‎１‎ 獉獉獉 ｙ＝‎ ｘ上 设动点 Ｐ在椭圆上（异于点 Ａ，Ｂ）且直线 ‎２‎ ＰＡ，ＰＢ分别交直线ｌ于Ｍ，Ｎ两点，求Ｂ点的坐标及的值 ‎２２‎ ＯＭ·ＯＮ 第 ‎→‎ ‎→‎ 题图 宣城市高二数学（理）试卷第４页（共４页）‎ 宣城市 ２０１７—２０１８学年度第一学期期末调研测试 高二数学试题参考答案（理科）‎ 一、选择题（每小题５分，共６０分）‎ ‎１Ｃ ２Ｂ ３Ｄ ４Ｃ ５Ｄ ６Ｃ ７Ｂ ８Ｄ ９Ａ １０Ｂ １１Ｄ １２Ａ 二、填空题（每小题５分，共２０分）‎ ‎６８‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎１０‎ ‎５－槡１７‎ ‎１３．‎ ‎１４．５‎ ‎１５．ｘ ＋ｙ －‎ ｘ＋１＝０‎ ‎１６．‎ ‎５‎ ‎３‎ ‎４‎ 三、解答题（共７０分）‎ ‎１７（本题 １０分）‎ 解析：（Ⅰ）∵ｐ∧ ｑ为真，∴ｐ真ｑ真 ‎３‎ ‎１‎ ‎１‎ Ｐ真：由 ‎２ｘ－‎ ‎≤‎ 解得Ａ＝｛ｘ｜‎ ‎≤ ｘ≤ １｝‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ｑ真：由（ｘ－ａ）［ｘ－（ａ＋１）］≤ ０解得 Ｂ＝｛ｘ｜ａ≤ ｘ≤ ａ＋１｝ …… ３分 ‎∵ａ＝‎ ‎１‎ ‎∴Ｂ＝｛ｘ｜‎ ‎１‎ ‎≤ ｘ≤‎ ‎３‎ ‎｝‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎１‎ ‎２‎ ‎∴Ａ∩ Ｂ＝｛ｘ｜‎ ‎≤ ｘ≤ １｝‎ ‎２‎ ‎１‎ ‎∴ 实数 ｘ的取值范围为：｛ｘ｜‎ ‎≤ ｘ≤１｝ ……………………………… ５分 ‎１‎ ‎２‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 Ａ＝｛ｘ｜‎ ‎≤ ｘ≤ １｝，Ｂ＝｛ｘ｜ａ≤ ｘ≤ ａ＋１｝‎ ‎２‎ ‎∵ｐ是 ｑ的充分不必要条件，‎ ‎∴Ａ是 Ｂ的真子集 …………………………………………………………… ６分 ａ＜‎ ‎１‎ ａ≤‎ ‎１‎ ‎∴‎ ‎２‎ 或 ‎２‎ ‎………………………………………………… ５分 {ａ＋１≥ １‎ {ａ＋１＞１‎ 解得 ０≤ ａ≤‎ ‎１‎ ‎，‎ ‎２‎ ‎１‎ ‎∴ 实数 ａ的取值范围为：｛ａ｜０≤ ａ≤‎ ‎｝ ……………………………… １０分 ‎２‎ ‎１８．（本题 １２分）‎ 解析：（Ⅰ）第二组的频率为１－（０．０４＋０．０４＋０．０３＋０．０２＋０．０１）×５＝０．３，‎ ‎０．３‎ 所以高为 ＝０．０６．频率直方图如下：‎ ‎５‎ ‎…………………………………………… ２分 宣城市高二数学（理）试卷答案第１页（共４页）‎ ‎１２０‎ ‎２００‎ 第一组的人数为 ‎＝２００，频率为 ０．０４×５＝０．２，所以 ｎ＝‎ ‎＝１０００．‎ ‎０．６‎ ‎０．２‎ ‎…………………………………………………………………………… ４分 第四组的频率为０．０３×５＝０．１５，所以第四组的人数为１０００×０．１５＝１５０，所以 ａ＝１５０×０．４＝６０． ………………………………………………… ６分 ‎（Ⅱ）因为［４０，４５）岁年龄段的“低头族”与［４５，５０）岁年龄段的“低头族”人数的比值为３０∶１５＝２∶１，所以采用分层抽样法抽取６人，［４０，４５）岁中有４人，［４５，５０）岁中有２人．‎ 设［４０，４５）岁中的４人为ａ、ｂ、ｃ、ｄ，［４５，５０）岁中的２人为ｍ、ｎ，则选取２人作为 领队的有 ‎（ａ，ｂ）、（ａ，ｃ）、（ａ，ｄ）、（ａ，ｍ）、（ａ，ｎ）、‎ ‎（ｂ，ｃ）、（ｂ，ｄ）、（ｂ，ｍ）、（ｂ，ｎ）、‎ ‎（ｃ，ｄ）、（ｃ，ｍ）、（ｃ，ｎ）、‎ ‎（ｄ，ｍ）、（ｄ，ｎ）、‎ ‎（ｍ，ｎ），‎ 共 １５种； …………………………………………………………………………… ８分 其中恰有１人年龄在［４０，４５）岁的有（ａ，ｍ）、（ａ，ｎ）、（ｂ，ｍ）、（ｂ，ｎ）、（ｃ，ｍ）、‎ ‎（ｃ，ｎ）、（ｄ，ｍ）、（ｄ，ｎ），共 ８种．…………………………………………………… １０分 所以选取的２名领队中恰有１人年龄在［４０，４５）岁的概率为Ｐ＝‎ ‎８‎ ‎．……… １２分 ‎１９（本题 １２分）‎ ‎１５‎ ‎—‎ ‎—‎ 解析：（Ⅰ）解 ｘ＝３，ｙ＝４．２， ………………………………………………………… ２分 ‎∧‎ ‎（３＋７．６＋１３．２＋１９．２＋２５）－５×３×４．２‎ ‎１‎ ｂ＝‎ ‎＝‎ ‎， ……………… ５分 ‎（１＋４＋９＋１６＋２５）－５×９‎ ‎２‎ ‎∧‎ ‎１‎ ａ＝４．２－‎ ‎×３＝２．７…………………………………………………… ７分 ‎２‎ ‎∧‎ ‎１‎ 则ｙ＝‎ ｘ＋２．７…………………………………………………………… ８分 ‎２‎ ‎１‎ ‎∧‎ ‎（Ⅱ）２０１８年，即 ｘ＝６时，ｙ＝‎ ‎×６＋２．７＝５．７，即２０１８年农村的居民家庭人均存款为 ‎２‎ ‎５．７千元 ………………………………………………………………………… １２分 ‎２０．（本题 １２分）‎ 解析：（Ⅰ）由题设可知ＡＤ⊥ ＤＥ，取ＡＥ中点Ｏ，连接ＯＤ，ＢＥ．由ＡＢ＝２槡２，ＡＢ＝２ＡＤ，得 ＡＤ＝ＤＥ＝槡２，‎ ‎∴ＯＤ⊥ ＡＥ．又二面角 Ｄ－ＡＥ－Ｂ为直二面角，∴ＯＤ⊥ 平面 ＡＢＣＥ，所以三棱锥 Ｄ－ＡＢＥ的高 ＤＯ＝１， ………………………………………………… ２分 又ＡＤ⊥ ＤＥ，所以ＡＥ＝ＢＥ＝２，ＡＢ＝２槡２，∴∠ＡＥＢ＝９０°‎ ‎１‎ 三棱锥Ｄ－ＡＢＥ的底面积Ｓ△ＡＢＥ ＝‎ ＡＥ·ＢＥ＝２ ……………………… ４分 ‎１‎ ‎１‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎………………………… ６分 所以ＶＤ＝ＡＢＥ ＝‎ Ｓ△ＡＢＥ·ＤＯ＝‎ ‎×２×１＝‎ ‎３‎ ‎３‎ ‎３‎ 宣城市高二数学（理）试卷答案第２页（共４页）‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ＡＢ中点 Ｆ，连接 ‎（Ⅱ）ＡＢ ＝ＡＥ＋ＢＥ．∴ＡＥ⊥ ＢＥ．取 ＯＦ，则 ＯＦ∥ ＥＢ ∴ＯＦ⊥ ＡＥ．以点 Ｏ为原点，ＯＡ，‎ ＯＦ，ＯＤ分别为 ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间直角坐标系（如 图），‎ 则Ａ（１，０，０），Ｄ（０，０，１），Ｂ（－１，２，０），Ｅ（－１，０，０），‎ ‎→‎ ‎→‎ ‎→‎ ＡＤ＝（－１，０，１），ＢＤ＝（１，－２，１），ＥＢ＝（０，２，０），‎ ‎…………………………………………………… ７分 ‎→‎ 设ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ）是平面ＡＢＤ的一个法向量，‎ ‎→ →‎ ｘ－２ｙ＋ｚ＝０ →‎ ｍ·ＢＤ＝０‎ 则{→ →‎ ‎∴{ ‎－ｘ＋ｚ＝０ 则 ｍ＝（１，１，１） …………………………… ９分 ｍ·ＡＤ＝０‎ ‎→‎ 平面 ＡＤＥ的法向量ＯＦ＝（０，１，０）……………………………………………… １０分 ‎→‎ ‎→‎ ‎１‎ 槡３‎ ｍ·ＯＦ ‎∴ｃｏｓ〈ｍ，ＯＦ〉＝‎ ‎→‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎３‎ ‎．‎ ‎｜ｍ｜｜ＯＦ｜‎ ‎１×槡３‎ 槡３‎ ‎∴ 二面角 Ｂ－ＡＤ－Ｅ的余弦值为 ‎３‎ ‎．…………………………………………… １２分 ‎２１．（本题 １２分）‎ ‎２‎ ‎２‎ 解析：（Ⅰ）由点Ａ（１，４）在抛物线ｙ＝２ｐｘ上，解得ｐ＝８．所以抛物线方程为ｙ＝１６ｘ ‎………………………………………………………………………………………… ２分 焦点Ｆ的坐标为（４，０）．设点Ｍ的坐标为（ｘ，ｙ），‎ ‎０ ０‎ ‎→‎ ＡＦ＝（４，０）－（１，４）＝（３，－４）‎ ‎→‎ ‎－４，ｙ０）…………………………………… ４分 ＦＭ＝（ｘ０，ｙ０）－（４，０）＝（ｘ０‎ ‎→ →‎ ‎３＝２（ｘ －４）‎ ‎１１‎ ‎０‎ 由ＡＦ＝２ＦＭ，则 { －４＝２ｙ０‎ ‎，解得 ｘ０‎ ‎＝‎ ‎，ｙ０‎ ‎＝－２，‎ ‎２‎ ‎１１‎ 所以点 Ｍ的坐标为（ ，－２） ……………………………………………… ６分 ‎２‎ ‎（Ⅱ）由于线段 ＢＣ的中点 Ｍ不在 ｘ轴上，所以 ＢＣ所在的直线不垂直于 ｘ轴．……… ７分 ‎１１‎ 设ＢＣ所在直线的方程为：ｙ＋２＝ｋ（ｘ－‎ ‎）（ｋ≠ ０） ………………………… ８分 ‎１１‎ ‎２‎ ｙ＋２＝ｋ（ｘ－‎ ‎）‎ ‎２‎ 由{ ２‎ ‎２消 ｘ得 ｋｙ －１６ｙ－８８ｋ－３２＝０‎ ｙ＝１６ｘ ｙ＋ｙ ‎１６‎ ‎１‎ ‎２‎ 所以ｙ１ ＋ｙ２ ＝‎ ‎，由（Ⅱ）的结论得 ‎＝－２，解得 ｋ＝－４‎ ‎…………… １０分 ‎２‎ ｋ ‎…………………………………… １２分 因此ＢＣ所在直线的方程为：ｙ＝－４ｘ＋２０‎ ‎２２（本题 １２分）‎ ｂ＝ｃ，‎ 解析：（Ⅰ）由已知，得 ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ { ‎９‎ ‎９‎ ‎，及 ａ＝ｂ＋ｃ ‎＋‎ ‎＝１‎ ‎２‎ ‎２‎ ａ ｂ 宣城市高二数学（理）试卷答案第３页（共４页）‎ ‎２‎ ａ＝２７，‎ 解得 ‎２‎ ‎２７‎ ‎……………………………………………………………… ２分 {ｂ＝‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ 所以椭圆的标准方程为 ｘ ‎＋‎ ｙ ‎＝１ ……………………………………… ４分 ‎２７‎ ‎２７‎ ‎２‎ ｍ－５ｎ－１‎ ‎（Ⅱ）设点 Ｂ（ｍ，ｎ），则 ＡＢ中点坐标为（ ２‎ ‎，２‎ ‎）‎ ｎ－１‎ ‎１ ｍ－５‎ ‎１‎ 由已知，线段ＡＢ的中点（非原点）在直线ｌ：ｙ＝‎ ｘ，从而 ‎＝‎ ‎·‎ ‎，所以 ｍ ‎２‎ ‎＝２ｎ＋３①‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ 又 ∵ 点Ｂ在椭圆上，∴ｍ ＋２ｎ＝２７②‎ 由 ①②，解得ｎ＝１（舍），ｎ＝－３，从而ｍ＝－３‎ 所以点 Ｂ的坐标为（－３，－３） ………………… ８分 ‎（Ⅲ）设 Ｐ（ｘ０，ｙ０），Ｍ（２ｙ１，ｙ１），Ｎ（２ｙ２，ｙ２）‎ ‎３（ｙ０ －ｘ０）‎ ｙ１ ＋３ ｙ０‎ ‎＋３‎ ‎∵Ｐ，Ａ，Ｍ三点共线，∴‎ ‎＝‎ ‎，整理，得 ｙ１‎ ‎＝‎ ‎－２ｙ０‎ ‎２ｙ１‎ ‎＋３ ｘ０‎ ‎＋３‎ ｘ０‎ ‎－３‎ ｙ２ ＋１ ｙ０‎ ‎＋１‎ ‎５ｙ０ －ｘ０‎ ‎∵Ｐ，Ｂ，Ｎ三点共线，∴‎ ‎＝‎ ‎，整理，得 ｙ２‎ ‎＝‎ ‎……… １０分 ｘ０‎ ‎２ｙ２‎ ‎＋５ ｘ０‎ ‎＋５‎ ‎－２ｙ０ ＋３‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎∵ 点在椭圆上，∴ｘ０ ＋２ｙ０‎ ‎＝２７，ｘ０ ＝２７－２ｙ０‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎３（ｘ＋５ｙ －６ｘｙ） ３（３ｙ －６ｘｙ＋２７）‎ ‎３‎ ‎９‎ ‎０‎ ‎０‎ ‎００‎ ‎０‎ ‎００‎ 从而ｙｙ１２ ＝‎ ‎＝‎ ‎＝３×‎ ‎＝‎ ‎２‎ ‎２‎ ‎－４ｘｙ００ －９‎ ‎２‎ ‎→‎ ｘ０‎ ‎＋４ｙ０‎ ‎２ｙ０ －４ｘｙ００ ＋１８‎ ‎２ ２‎ ‎→‎ ‎４５‎ ‎→‎ ‎→‎ ‎４５‎ 所以ＯＭ·ＯＮ＝５ｙｙ＝ ∴ ＯＭ·ＯＮ为定值，定值为 ………………… １２分 ‎１２ ２ ２‎ 宣城市高二数学（理）试卷答案第４页（共４页）‎