数学理卷·2019届湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中高二下学期期中联考（2018-04）

数学理卷·2019届湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中高二下学期期中联考（2018-04）

‎2017-2018学年湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中高二下学期期中联考数学（理）试卷 ‎（时间120分钟，满分150分）‎ 一、选择题：（每小题5分，共计60分）‎ ‎1、设是虚数单位,若,则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、下列推理正确的是（ ）‎ ‎（A）把与类比，则有 ‎ ‎（B）把与类比，则有 ‎ ‎（C）把与类比，则有 ‎ ‎（D）把与类比，则有 ‎3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是（ ）‎ A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 ‎4、若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：，结论是：，‎ 那么这个演绎推理（ ）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．没有错误 ‎5、在极坐标系中，直线被圆ρ＝4截得的弦长为(　 　)‎ A. B. C. 4 D. 5‎ ‎6、,,则,的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．由的取值确定 ‎7、,则(　 　)‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎8、设， 是虚数单位，则“”是“复数 为纯虚数”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎9、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为，其中（），传输信息为，，，运算规则为：，，，．例如原信息为，则传输信息为．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10、用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11、平面几何中,有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值,类比上述命题,棱长为 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12、曲线在点处的切线为,则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是（ ）．‎ A． B． C．1 D．【来源：全,品…中&高*考+网】【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、已知复数，且有，则________．‎ ‎14、已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为__________．‎ ‎15、曲线的参数方程是，它的普通方程是 ．‎ ‎16、如下面数表为一组等式：‎ 某学生猜测,‎ 若该学生回答正确,则 ．‎ 三、解答题：（共70分）‎ ‎17、( 本题满分10分) 已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.‎ ‎(1)判断直线l与曲线C的位置关系;‎ ‎(2)设M为曲线C上任意一点,求的取值范围.‎ ‎18、( 本题满分12分)在中，内角、、的对边分别为，且，‎ 已知，‎ 求：(1)和的值； (2)的值．‎ ‎19、(本题满分12分)在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎20、( 本题满分12分) 已知{an}是公差为d的等差数列,∀n∈N*,an与an+1的等差中项为n.‎ ‎(1)求a1与d的值;‎ ‎(2)设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎21、( 本题满分12分)已知动点P到定点F(2,0)的距离和它到定直线x=4的距离的比值为.‎ ‎(1)求动点P的轨迹Ω的方程;‎ ‎(2)若过点F的直线与点P的轨迹Ω相交于M,N两点(M,N均在y轴右侧),点A(0,2),B(0,-‎ ‎2),设A,B,M,N四点构成的四边形的面积为S,求S的取值范围.‎ ‎22、（本题满分12分）已知函数).‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数);‎ 醴陵二中，醴陵四中 ‎2018年上学期两校联考高二年级数学（理）科期中考试答案 命题学校：醴陵二中 命题人：贺建军 审题人：宁盼 ‎（时间120分钟，满分150分）‎ 一、选择题：（每小题5分，共计60分）‎ ‎1、设是虚数单位,若,则复数（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、下列推理正确的是（ D ）‎ ‎（A）把与类比，则有 ‎ ‎（B）把与类比，则有 ‎ ‎（C）把与类比，则有 ‎ ‎（D）把与类比，则有 ‎3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是（ B ）‎ A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 ‎4、若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：，结论是：，‎ 那么这个演绎推理（ A ）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．没有错误 ‎5、在极坐标系中，直线被圆ρ＝4截得的弦长为(　A　)‎ A. B. C. 4 D. 5‎ ‎6、,,则,的大小关系为（ C ）‎ A． B． C． D．由的取值确定 ‎7、,则(　D　)‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎8、设， 是虚数单位，则“”是“复数 为纯虚数”的（ A ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎9、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为，其中（），传输信息为，，，运算规则为：，，，．例如原信息为，则传输信息为．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（ C ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10、用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为（ D ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11、平面几何中,有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值,类比上述命题,棱长为 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12、曲线在点处的切线为,则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是（ A ）．‎ A． B． C．1 D．【来源：全,品…中&高*考+网】【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、已知复数，且有，则________．‎ ‎14、已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为__________．‎ ‎15、曲线的参数方程是，它的普通方程是 ．‎ ‎16、如下面数表为一组等式：‎ 某学生猜测,‎ 若该学生回答正确,则 8 ．‎ 三、解答题：（共70分）‎ ‎17、( 本题满分10分) 已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.‎ ‎(1)判断直线l与曲线C的位置关系;‎ ‎(2)设M为曲线C上任意一点,求的取值范围.‎ 解:(1)由题意可得,直线l的普通方程为x-y+4=0,‎ 曲线C的直角坐标系下的方程为=1,是以为圆心,1为半径的圆,该圆圆心到直线x-y+4=0的距离为d==5>1,‎ 所以直线l与曲线C的位置关系为相离. 5分 ‎(2)由(1)得曲线C的参数方程为(θ为参数),‎ 因为M为曲线上任意一点,故设M,‎ 则x+y=cos θ+sin θ=sin∈[-]. 10分 ‎18、( 本题满分12分)在中，内角、、的对边分别为，且，‎ 已知，‎ 求：(1)和的值； (2)的值．‎ 解：(1)由·＝2得c·acosB＝2．又cosB＝，所以ac＝6． 2分 由余弦定理得a2＋c2＝b2＋2accosB． ‎ 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13．‎ 解，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2． 5分 因为a>c，所以a＝3，c＝2． 6分 ‎(2)在△ABC中，sinB＝＝＝．‎ 由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝． 8分 因为a＝b>c，所以C为锐角，‎ 因此cosC＝＝＝． 10分 于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝． 12分 ‎19、(本题满分12分)在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ 解：【解答】如图建立空间直角坐标系，则由题意得，‎ ‎，‎ 所以。 3分 设向量所成角为，则，或，‎ 由于，所以，得，解得 6分 ‎（2）连接，则三棱锥的体积等于三棱锥的体积，‎ 的面积，的面积， （10分）‎ 又平面，‎ 所以，所以 （12分）‎ ‎20、( 本题满分12分) 已知{an}是公差为d的等差数列,∀n∈N*,an与an+1的等差中项为n.‎ ‎(1)求a1与d的值;‎ ‎(2)设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解:(1)依题意,an=a1+(n-1)d.‎ ‎(方法一)由an与an+1的等差中项为n得=n,‎ 即=a1+d=n. 所以解得a1=,d=1. 5分 ‎(方法二)由an与an+1的等差中项为n得,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2.‎ 解得a1=,d=1.‎ ‎(2)由(1)得an=n-,bn=2n·an=n×2n-2n-1. 7分 ‎(方法一)记Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,则 ‎2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1.‎ 两式相减得,Tn=-2-22-23-…-2n+n×2n+1=n×2n+1-2n+1+2. 10分 数列的前n项和1+2+22+…+2n-1=2n-1.‎ ‎∴Sn=(n×2n+1-2n+1+2)-(2n-1)=n×2n+1-3×2n+3. 12分 ‎(方法二)‎ Sn=(1×2-20)+(2×22-21)+(3×23-22)+…+[(n-1)×2n-1-2n-2]+(n×2n-2n-1),‎ ‎2Sn=(1×22-21)+(2×23-22)+(3×24-23)+…+[(n-1)×2n-2n-1]+(n×2n+1-2n),两式相减得 Sn= - (1×2-20)-(1×22+1×23+…+1×2n)+(n×2n+1-2n)=n×2n+1-3×2n+3.‎ ‎21、( 本题满分12分)已知动点P到定点F(2,0)的距离和它到定直线x=4的距离的比值为.‎ ‎(1)求动点P的轨迹Ω的方程;‎ ‎(2)若过点F的直线与点P的轨迹Ω相交于M,N两点(M,N均在y轴右侧),点A(0,2),B(0,-2),设A,B,M,N四点构成的四边形的面积为S,求S的取值范围.‎ 解:(1)设动点P(x,y),则,化简得=1. 4分 ‎(2)由(1)知,轨迹Ω是以F(2,0)为焦点,离心率为的椭圆,如图,连接OM,ON,设直线MN的方程为x=my+2,点M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 联立 消去x,得(m2+2)y2+4my-4=0,‎ 则y1+y2=-,y1y2=-, 6分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 所以|y1-y2|==.‎ 由于M,N均在y轴右侧,则x1>0,x2>0,且0≤|m|<1,【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 则S=S△OAM+S△OBN+S△OMN=×2(x1+x2)+×2|y1-y2|‎ ‎=m(y1+y2)+4+|y1-y2|‎ ‎=-+4+‎ ‎=, 8分 令t=,则1≤t<, 则S=.‎ 方法一:‎ S'=<0, 10分 故面积函数S=在1≤t<上单调递减,所以S∈,‎ 所以面积S的取值范围是. 12分 方法二:‎ S===,‎ 因为1≤t<,则t+,‎ 所以(t+)+-2,则,‎ 即S∈,‎ 所以面积S的取值范围是.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎22、（本题满分12分）已知函数f(x)=aln x-ax-3(a≠0).‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)若f(x)+(a+1)x+4-e≤0对任意x∈[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数);‎ ‎(1)解:f'(x)=(x>0), 1分 当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,1],单调减区间为[1,+∞); 3分 当a<0时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),单调减区间为(0,1]. 5分 ‎(2)解:令F(x)=aln x-ax-3+ax+x+4-e=aln x+x+1-e,则F'(x)==0. 6分 若-a≤e,即a≥-e,则F(x)在[e,e2]上是增函数.‎ F(x)max=F(e2)=2a+e2-e+1≤0,a≤无解. 7分 若e<-a≤e2,即-e2≤a<-e,则F(x)在[e,-a]上是减函数;在[-a,e2]上是增函数,‎ F(e)=a+1≤0,a≤-1,F(e2)=2a+e2-e+1≤0,a≤, ‎ ‎∴-e2≤a≤. 9分 若-a>e2,即a<-e2,则F(x)在[e,e2]上是减函数,‎ F(x) max=F(e)=a+1≤0,a≤-1.‎ ‎∴a<-e2. 11分 综上所述,a≤. 12分