2019-2020学年黑龙江省鹤岗市工农区第一中学高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

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2019-2020学年黑龙江省鹤岗市工农区第一中学高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

‎2019-2020学年黑龙江省鹤岗市工农区第一中学高二上学期期末数学(理)试题 一、单选题 ‎1.“p∨q为假”是“p∧q为假”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ p∨q为假,则p,q皆为假,p∧q为假;p∧q为假,则p,q中至少一个为假,p∨q不一定为假,所以“p∨q为假”是“p∧q为假”的充分不必要条件,选A.‎ ‎2.在上随机地取一个数,则事件“”的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用几何概型的概率求法,转化为事件的区间长度与随机数区间的长度比.‎ ‎【详解】‎ 设事件“”的概率为,‎ 则.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型的概率求法,属于基础题.‎ ‎3.2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办.如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观,那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据随机事件的概率计算完成求解.‎ ‎【详解】‎ 可能出现的选择有种,满足条件要求的种数为种,则,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解,难度较易.古典概型的概率计算公式:(目标事件的数量)(基本事件的总数).‎ ‎4.下列说法中正确的是( )‎ A.“”是“”成立的充分不必要条件 B.命题,则 C.为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,则分组的组距为40‎ D.已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为,则回归直线方程为.‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于A,取,时,不能推出,故错误;对于B,命题的否定为,故错误;对于C,为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,则分组的组距为,故错误;对于D,因为回归直线的斜率的估计值为1.23,所以回归直线方程可写成,根据回归直线方程过样本点的中心,则,所以回归直线方程为,故正确.‎ 故选D.‎ ‎5.已知离散型随机变量的概率分布如表:则其数学期望等于( )‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ P ‎0.5‎ m ‎0.2‎ A.1 B.0.6 C. D.2.4‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据所给的分布列,根据分布列中所有的概率之和是1,求出m的值,求期望即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵分布列中出现的所有的概率之和等于1,‎ ‎∴0.5+m+0.2=1,‎ ‎∴m=0.3,‎ ‎∴随机变量的数学期望E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分布列的性质和方差,本题解题的关键是根据分布列的性质做出分布列中未知的字母,本题是一个基础题.‎ ‎6.《孙子算经》中曾经记载,中国古代诸侯的等级从高到低分为:公、侯、伯、子、男,共有五级.若给有巨大贡献的人进行封爵,则两人不被封同一等级的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据古典概型概率公式求出两人被封同一等级的概率,再用对立事件的概率公式可求得.‎ ‎【详解】‎ 给有巨大贡献的人进行封爵,总共有种,‎ 其中两人被封同一等级的共有5种,‎ 所以两人被封同一等级的概率为,‎ 所以其对立事件,即两人不被封同一等级的概率为:.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式.属于基础题.‎ ‎7. 的展开式中的系数等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】通项为,当时,系数为.‎ ‎8.从0,2,4中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(  )‎ A.24 B.27 C.30 D.36‎ ‎【答案】C ‎【解析】分两种情况讨论:选0或2,4,分别求出组成无重复数字的三位奇数的个数,再求和即可.‎ ‎【详解】‎ 第一类,从0,2,4中选一个数字,若选0,则0只能排在十位,故有个奇数, ‎ 第二类,从0,2,4中选一个数字,若不选0,先把奇数排个位,再排其它,故有个奇数, ‎ 综上可得,从0,2,4中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为个, 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用,属于难题.有关排列组合的综合问题,往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题,解答这类问题理解题意很关键,一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”,在应用分类计数加法原理讨论时,既不能重复交叉讨论又不能遗漏,这样才能提高准确率.‎ ‎9.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为(  )‎ A.3×2-2 B.2-4 C.3×2-10 D.2-8‎ ‎【答案】C ‎【解析】E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,∴p=,n=12,则P(X=1)=·()1·()11=3×2-10.‎ ‎10.某班上午有五节课,分別安排语文,数学,英语,物理,化学各一节课.要求语文与化学相邻,数学与物理不相邻,则不同排课法的种数是( )‎ A.24 B.16 C.8 D.12‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意,分3步进行分析:①、用捆绑法分析语文与化学,即将语文与化学看成一个整体,考虑其顺序,②、将这个整体与英语全排列,分析排好后的空位数目,③、在3个空位中安排数学、物理,分析每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,分3步进行分析:‎ ‎①、要求语文与化学相邻,将语文与化学看成一个整体,考虑其顺序,有A22=2种情况,‎ ‎②、将这个整体与英语全排列,有A22=2种顺序,排好后,有3个空位,‎ ‎③、数学与物理不相邻,有3个空位可选,有A32=6种情况,‎ 则不同排课法的种数是2×2×6=24种;‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列、组合的综合应用,注意特殊问题如相邻问题与不能相邻问题的处理方法.‎ ‎11.袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,去除后不放回,直到取到有两种不同颜色的球时即终止,用表示终止取球时所需的取球次数,则随机变量的数字期望是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题需要“取到有两种不同颜色的球”,则既有可能是取三次(2白1其他颜色或者2黑1其他颜色),也有可能是取两次(1白1其他颜色或1黑1其他颜色或1红1其他颜色),通过上述计算出它们的概率,再算出它们的期望。‎ ‎【详解】‎ 袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,取后不放回,直到取到有两种不同颜色的球时即终止,用表示终止取球时所需的取球次数,则的可能取值为,,,‎ 所以,所以随机变量的数字期望是,故选A ‎【点睛】‎ 本题考查的是概率以及期望,计算概率时首先要明白题目所给的限制条件,再根据条件得出满足条件的几种可能,再依次计算出概率。‎ ‎12.已知是抛物线的焦点,过点且斜率为的直线交抛物线于, 两点,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线AB方程为: 设,联立直线与抛物线方程可得: , , =‎ 点睛:考察直线与抛物线的性质综合,要注意过焦点直线的弦的特征 二、填空题 ‎13.抽样调查表明,某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布,平均成绩为500分.已知P(400<X<450)=0.3,则P(550<X<600)=________.‎ ‎【答案】0.3‎ ‎【解析】∵某校高三学生成绩(总分750分)近似服从正态分布,平均成绩为500分 ∴正态分布曲线的对称轴为 ‎∵‎ ‎∴由下图可以看出.‎ 故答案为.‎ 点睛:本题主要考查正态分布知识的理解和运用.题目所给是服从正态分布,正态分布一般记为,为正态分布的均值,是正态分布是标准差,解题时,主要利用的正态分布的对称性,均值就是对称轴,标准差需要记忆的就是原理.‎ ‎14.的展开式中,的系数是________ .‎ ‎【答案】207‎ ‎【解析】由题可知:常数1和的五次项可以构成五次项,和的2次项构成5次项,故,所以的系数是252-45=207‎ 点睛:找到5次项形成的由来是解题关键,然后根据二项式定理展开求系数,最后合并同类项得结果 ‎15.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据几何概型的概率计算问题,求出对应时间的比即可.‎ ‎【详解】‎ 由于地铁列车每10min一班,则两班列车停靠车站之间时间可用长度为10的线段表示.‎ 而列车在车站停1min,乘客到达站台立即乘上车的时间可用长度为1的线段表示.‎ 如图所示:‎ 则乘客到达站台立即乘上车的概率P 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型的概率计算问题,是求对应时间的比值,属于基础题.‎ ‎16.设为自然数1、2、3、4的一个全排列,且满足,则这样的排列有_______个.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】利用和值为6,分解为4个非负数的和,最大值为3,最小值为0,列出所有情况即可.‎ ‎【详解】‎ x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列,且满足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6,‎ 可得4个数的和为6,共有,0+0+3+3=6;1+1+1+3=6;0+1+2+3=6;1+1+2+2=6;‎ 所有x1、x2、x3、x4分别为:‎ ‎0+0+3+3=6;类型有:‎ ‎4,2,3,1;‎ ‎1+1+1+3=6;类型有:‎ ‎2,3,4,1;‎ ‎4,1,2,3;‎ ‎0+1+2+3=6;类型有:‎ ‎4,1,3,2;‎ ‎4,2,1,3;‎ ‎3,2,4,1;‎ ‎2,4,3,1;‎ ‎1+1+2+2=6;类型有:‎ ‎2,4,1,3;‎ ‎3,1,4,2;‎ 共9种.‎ 故答案为:9.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合的实际应用,考查计数原理的应用,难度比较大.‎ 三、解答题 ‎17.(1)求焦点在轴上,长轴长为6,焦距为4的椭圆标准方程;‎ ‎(2)求一个焦点为,渐近线方程为的双曲线标准方程.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)设椭圆标准方程,由长轴长知;由焦距得到,解出后,代入椭圆方程即可得到结果;‎ ‎(2)设双曲线标准方程,由渐近线斜率可得,由焦点坐标可得,从而求得,代入双曲线方程可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设椭圆标准方程为:‎ 由长轴长知: ‎ 由焦距知: ,解得:‎ 椭圆标准方程为:‎ ‎(2)双曲线焦点在轴上 可设双曲线标准方程为 双曲线渐近线方程为: ‎ 又焦点为 ,解得: ‎ 双曲线标准方程为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程、双曲线方程的求解,椭圆和双曲线的简单几何性质的应用,属于基础题.‎ ‎18.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.‎ ‎(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;‎ ‎(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1)(2)详见解析 ‎【解析】试题分析:(1)首先设出至少有一种新产品研发成功为事件A,包含情况较多,所以要求该事件的概率,考虑求其对立事件,即没有一种新产品研发成功,根据独立试验同时发生的概率计算方法即可求的对立事件的概率,再利用互为对立事件概率之间的关系,即和为,即可求的相应的概率.‎ ‎(2)根据题意,研发新产品的结果分为四种情况,利用独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率,再根据题意算出此时的利润,即可得到关于利润的分布列,再利用概率与对应的利润成绩之和即可得到数学期望.‎ ‎(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则,再根据对立事件概率之间的概率公式可得 ‎,所以至少一种产品研发成功的概率为.‎ ‎(2)由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有,,,,即,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:‎ ‎;;‎ ‎;;‎ 所以的分布列如下:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则数学期望.‎ ‎【考点】分布列 数学期望 概率 ‎19.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求曲线C的普通方程 ‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于AB两点,求|AB|.‎ ‎【答案】(1) (x﹣1)2+(y﹣2)2=16 (2).‎ ‎【解析】(1)利用转换关系式,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.‎ ‎(2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),整理得(x﹣1)2+(y﹣2)2=16,‎ ‎(2)把直线l的参数方程为(t为参数)代入圆的方程得.‎ 所以,t1•t2=﹣15(t1和t2为A、B对应的参数),‎ 则:|AB|.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.‎ ‎20.某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照分成5组,制成如图所示频率分直方图.‎ ‎(1)求图中x的值;‎ ‎(2)求这组数据的平均数和中位数;‎ ‎(3)已知满意度评分值在内的男生数与女生数3:2,若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈,求2人均为男生的概率.‎ ‎【答案】(1)0.02(2)平均数77,中位数(3).‎ ‎【解析】(1)由频率分布直方图的性质列方程能求出x.‎ ‎(2)由频率分布直方图能求出这组数据的平均数和中位数.‎ ‎(3)满意度评分值在[50,60)内有5人,其中男生3人,女生2人,记“满意度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈,2人均为男生”为事件A,利用古典概型能求出2人均为男生的概率.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由,解得.‎ ‎(2)这组数据的平均数为.中位数设为m,则,解得.‎ ‎(3)满意度评分值在内有人,‎ 其中男生3人,女生2人.记为 记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈,2人均为男生”为事件A 则总基本事件个数为 10个,A包含的基本事件个数为 3个,‎ 利用古典概型概率公式可知.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率平均数、中位数、概率的求法,考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.‎ ‎21.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(,为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线经过点,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)若,是曲线上两点,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)将首先化为普通方程,再化为极坐标方程,代入点可求得,整理可得所求的极坐标方程;(2)将代入方程,从而将代入整理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)将的参数方程化为普通方程得:‎ 由,得的极坐标方程为: ‎ 将点代入中得:,解得:‎ 代入的极坐标方程整理可得:‎ 的极坐标方程为:‎ ‎(2)将点,代入曲线的极坐标方程得:‎ ‎,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标方程的求解、极坐标中的几何意义的应用,关键是根据几何意义将所求的变为,从而使问题得以求解.‎ ‎22.已知椭圆的离心率为,焦点分别为,点P是椭圆C上的点,面积的最大值是2.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆C交于M,N两点,点D是椭圆C上的点,O是坐标原点,若,判定四边形的面积是否为定值?若为定值,求出定值;如果不是,请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析 ‎【解析】(Ⅰ)由题意得到的方程组,求出的值,即可得出椭圆方程;‎ ‎(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,易求出四边形的面积;当直线的斜率存在时,设直线方程是 ‎,联立直线与椭圆方程,结合判别式和韦达定理,可表示出弦长,再求出点到直线的距离,根据和点在曲线上,求出的关系式,‎ 最后根据,即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 解:(Ⅰ)由解得 得椭圆的方程为. ‎ ‎(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,直线的方程为或,此时四边形的面积为.‎ 当直线的斜率存在时,设直线方程是,联立椭圆方程 ‎ ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点到直线的距离是 ‎ 由得 因为点在曲线上,所以有整理得 ‎ 由题意四边形为平行四边形,所以四边形的面积为 ‎ ‎ 由得, 故四边形的面积是定值,其定值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程,以及椭圆中的定值问题,通常需要联立直线与椭圆方程,结合韦达定理、弦长公式等求解,计算量较大,属于常考题型.‎
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