【数学】2018届一轮复习人教A版高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题学案（全国通用）
1．(2016·全国甲卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
答案 B
解析 由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B.
2．在△ABC中，AC·cos A＝3BC·cos B，且cos C＝，则A等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
答案 B
解析 由题意及正弦定理得sin Bcos A＝3sin Acos B，
∴tan B＝3tan A，∴0°＜A<90°，0°
0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A＝________.
答案 π
解析 由题意知M(，A)，N(，－A)，
又∵·＝×－A2＝0，
∴A＝π.
题型一 三角函数的图象和性质
例1 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离均为，求函数y＝f(x)的单调增区间．
解 (1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1)
＝2(sin ωx－cos ωx)－1＝2sin(ωx－)－1.
由－1≤sin(ωx－)≤1，
得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，
所以函数f(x)的值域为[－3,1]．
(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，
所以＝π，即ω＝2.
所以f(x)＝2sin(2x－)－1，
再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数y＝f(x)的单调增区间为
[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．
已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：
(1)函数f(x)的最小正周期；
(2)函数f(x)的单调区间；
(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．
解 (1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝5(sin 2x－cos 2x)＝5sin(2x－)，
所以函数的周期T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
所以函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称中心为(＋，0)(k∈Z)．
题型二 解三角形
例2 (2016·江苏)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)求cos的值．
解 (1)由cos B＝，0c.已知·＝2，cos B＝，b＝3，求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
解 (1)由·＝2，得c·acos B＝2.
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.
因为a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝
＝ ＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因为a＝b>c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝ ＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
＝×＋×＝.
1．已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ)．
解 (1)∵f()＝Asin(＋)＝Asin
＝A＝，∴A＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin(x＋)，
故f(θ)＋f(－θ)
＝sin(θ＋)＋sin(－θ＋)＝，
∴[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝，
∴cos θ＝，∴cos θ＝.
又θ∈(0，)，∴sin θ＝＝，
∴f(－θ)＝sin(π－θ)＝sin θ＝.
2．(2016·山东)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．
解 (1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2
＝2sin2x－(1－2sin xcos x)
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1
＝sin 2x－cos 2x＋－1
＝2sin＋－1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)．
得到y＝2sin＋－1的图象．
再把得到的图象向左平移个单位，
得到y＝2sin x＋－1的图象，
即g(x)＝2sin x＋－1.
所以g＝2sin ＋－1＝.
3．已知△ABC的面积为2，且满足0<·≤4，设和的夹角为θ.
(1)求θ的取值范围；
(2)求函数f(θ)＝2sin2(＋θ)－cos 2θ的值域．
解 (1)设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则由已知bcsin θ＝2,0
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